Denominator geometrijske progresije: formule i svojstva

19. 5. 2019.

Geometrijska progresija, zajedno s aritmetikom, važna je numerička serija, koja se proučava u tečaju algebre u 9. razredu. U ovom članku razmatramo nazivnik geometrijske progresije i kako njezina vrijednost utječe na njezina svojstva.

Definicija progresije geometrijskog

Izračun članova progresije geometrijskog

Za početak, dajemo definiciju tog broja brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira sukcesivnim množenjem prvog elementa s konstantnim brojem, koji se naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u retku 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) s 2, dobivamo 6. Ako se 6 množi s 2, dobivamo 12, i tako dalje.

Članovi razmatrane sekvence obično su označeni simbolom a i , gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se napisati na jeziku matematike na sljedeći način: a n = b n-1 * a 1 , gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda b 1-1 = 1, i dobijemo 1 = a 1. Ako je n = 2, onda je a n = b * a 1 , i opet dolazimo do definicije razmatranog niza brojeva. , Slični argumenti mogu se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik napretka geometrijskog

Napredovanje s nazivnikom 2

Broj b u potpunosti određuje prirodu cijelog niza brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan i također imati vrijednost veću od jedne ili manje. Sve ove opcije dovode do različitih sekvenci:

  • 1. Sve je više racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a 1 negativan, tada će se cijeli niz povećavati samo u apsolutnoj vrijednosti, ali će se smanjivati ​​u odnosu na znak brojeva.
  • b <-1. U ovom slučaju govorimo o varijabilnoj seriji, odnosno susjedni će se elementi razlikovati u predznaku. Na primjer, 1, -2, 4, -8, 16, ...
  • -1 <b <1. Ovo je poseban slučaj koji ima svoje ime - smanjenje beskonačne geometrijske progresije. Njegova glavna značajka je da, bez obzira na znak nazivnika, teži ka nekoj konačnoj svoti dodajući beskonačan broj njezinih elemenata.
  • b = 1. Takav se slučaj često ne naziva progresijom, jer postoji uobičajeni niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za iznos

Prije nego što pređemo na razmatranje specifičnih zadataka koristeći nazivnik tipa progresije o kojoj se radi, treba dati važnu formulu za zbroj njezinih prvih n elemenata. Formula ima oblik: S n = (b n - 1) * a 1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni slijed članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da bismo pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.

Beskonačno smanjivanje slijeda

Primjer smanjenja beskonačne progresije

Iznad je objašnjeno što je to. Sada, znajući formulu za S n , primijenite je na ovaj niz brojeva. Budući da bilo koji broj čiji modul nije veći od 1, teži nuli kada se podigne do velikih stupnjeva, tj. B => 0, ako je -1 <b <1 (| b | <1), tada se opća formula za sumu pretvara u sljedeći izraz: S a = a 1 / (1 - b).

Budući da je razlika (1 - b) uvijek pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, znak zbroja padajuće beskonačne progresije geometrijskog S jedinstveno je određen znakom njegovog prvog elementa a 1 .

Sada ćemo razmotriti nekoliko zadataka, gdje ćemo pokazati kako primijeniti znanje stečeno na konkretnim brojevima.

Problem broj 1. Izračun nepoznatih elemenata progresije i iznosa

S obzirom na napredovanje geometrijskog, nazivnik progresije 2, i njegov prvi element 3. Što će biti njegovim 7. i 10. članom jednak, i koji je zbroj njegovih sedam početnih elemenata?

Stanje problema je dovoljno jednostavno i uključuje izravno korištenje gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali element s brojem n, koristimo izraz a n = b n-1 * a 1 . Za sedmi element imamo: a 7 = b 6 * a 1, zamjenjujući poznate podatke, dobivamo: a 7 = 2 6 * 3 = 192. Nastavljamo na isti način za 10. član: a 10 = 2 9 * 3 = 1536 ,

Koristimo dobro poznatu formulu za sumu i određujemo tu vrijednost za prvih 7 elemenata serije. Imamo: S7 = (2 7 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka je -2 jednako nazivniku progresije u geometrijskoj progresiji b n-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti iznos od 5. do 10. elementa ove serije.

Problem koji se postavlja ne može se riješiti izravno pomoću poznatih formula. To se može riješiti s 2 različite metode. Za potpunost, dat ćemo oboje.

Metoda 1. Njegova ideja je jednostavna: potrebno je izračunati dvije odgovarajuće količine prvih članova, a zatim oduzeti jedna od druge. Izračunamo manju sumu: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunamo veliku količinu: S 4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Napominjemo da su u zadnjem izrazu zbrojeni samo 4 termina, jer je peti već uključen u sumu koju treba izračunati uvjetom problema. Konačno, uzmite razliku: S510 = S10-S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije nego što zamijenite brojeve i brojite, možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n serije koja se razmatra. Djelujemo na isti način kao u metodi 1, radeći najprije s simboličkim prikazom zbroja. Imamo: S n m = (b n - 1) * a 1 / (b - 1) - (b m - 1 - 1) * a 1 / (b - 1) = a 1 * (b n - b m - 1 ) / (b - 1). Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S 10 5 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4 ) / (-2 - 1) = -1344.

Problem broj 3. Što je nazivnik?

Geometrijska progresija iz zrcala

Neka je a 1 = 2, pronađe nazivnik progresije geometrijskog, pod uvjetom da je njegova beskonačna suma 3, a poznato je da je to niz koji se smanjuje.

Stanjem problema nije teško pogoditi koja bi se formula trebala koristiti za njezino rješavanje. Naravno, zbroj progresije se beskrajno smanjuje. Imamo: S a = a 1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a 1 / S . Ostaje zamjena poznatih vrijednosti i dobivanje potrebnog broja: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 ili -0.333 (3). Moguće je kvalitativno provjeriti ovaj rezultat ako se prisjetimo da za ovu vrstu slijeda modul b ne smije ići dalje od 1. Kao što se može vidjeti, | -1 / 3 | <1.

Problem broj 4. Oporavak niza brojeva

Neka su dani 2 elementa numeričkog niza, na primjer, 5. je 30, a 10. je 60. Potrebno je iz tih podataka rekonstruirati cijeli niz, znajući da zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da bi se riješio problem, potrebno je početi pisati odgovarajući izraz za svakog poznatog člana. Imamo: a 5 = b 4 * a 1 i a 10 = b 9 * a 1 . Sada podijelimo drugi izraz u prvi, dobivamo: a 10 / a 5 = b 9 * a 1 / (b 4 * a 1 ) = b 5 . Dakle, određujemo nazivnik, uzimajući korijen petog stupnja iz omjera pojmova poznatih iz stanja problema, b = 1.148698. Dobiveni broj je zamijenjen jednim od izraza za poznati element, dobivamo: a 1 = a 5 / b 4 = 30 / (1,148698) 4 = 17.2304966.

Tako smo pronašli što je imenitelj napretka bn jednak, a geometrijsku progresiju b n-1 * 17,2304966 = a n , gdje je b = 1,148698.

Gdje se primjenjuje geometrijska progresija?

Ahil i kornjača

Ako u praksi ne bi bilo primjene ovog niza brojeva, njegovo bi se istraživanje svelo na čisto teoretski interes. Ali takva prijava postoji.

Igra

Slijede tri najpoznatija primjera:

  • Paradoks Zenoa, u kojem spretan Ahil ne može nadoknaditi sporu kornjaču, rješava se korištenjem koncepta smanjenja beskonačnog niza brojeva.
  • Ako stavite žitarice pšenice na svaku ćeliju šahovske ploče, stavite 1 zrno na prvu ćeliju, 2 na 2., 2 i 3 na treću, onda vam je potrebno 18446744073709551615 zrna da popunite sve ćelije ploče!
  • U igri "Tower of Hanoi", kako bi se diskovi preuredili s jednog na drugi, potrebno je izvesti 2 n - 1 operacije, odnosno njihov broj raste eksponencijalno s brojem korištenih diskova n.