Geometrijska progresija, zajedno s aritmetikom, važna je numerička serija, koja se proučava u tečaju algebre u 9. razredu. U ovom članku razmatramo nazivnik geometrijske progresije i kako njezina vrijednost utječe na njezina svojstva.
Za početak, dajemo definiciju tog broja brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira sukcesivnim množenjem prvog elementa s konstantnim brojem, koji se naziva nazivnik.
Na primjer, brojevi u retku 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) s 2, dobivamo 6. Ako se 6 množi s 2, dobivamo 12, i tako dalje.
Članovi razmatrane sekvence obično su označeni simbolom a i , gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.
Gornja definicija progresije može se napisati na jeziku matematike na sljedeći način: a n = b n-1 * a 1 , gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda b 1-1 = 1, i dobijemo 1 = a 1. Ako je n = 2, onda je a n = b * a 1 , i opet dolazimo do definicije razmatranog niza brojeva. , Slični argumenti mogu se nastaviti za velike vrijednosti n.
Broj b u potpunosti određuje prirodu cijelog niza brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan i također imati vrijednost veću od jedne ili manje. Sve ove opcije dovode do različitih sekvenci:
Prije nego što pređemo na razmatranje specifičnih zadataka koristeći nazivnik tipa progresije o kojoj se radi, treba dati važnu formulu za zbroj njezinih prvih n elemenata. Formula ima oblik: S n = (b n - 1) * a 1 / (b - 1).
Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni slijed članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da bismo pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.
Iznad je objašnjeno što je to. Sada, znajući formulu za S n , primijenite je na ovaj niz brojeva. Budući da bilo koji broj čiji modul nije veći od 1, teži nuli kada se podigne do velikih stupnjeva, tj. B ∞ => 0, ako je -1 <b <1 (| b | <1), tada se opća formula za sumu pretvara u sljedeći izraz: S a = a 1 / (1 - b).
Budući da je razlika (1 - b) uvijek pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, znak zbroja padajuće beskonačne progresije geometrijskog S jedinstveno je određen znakom njegovog prvog elementa a 1 .
Sada ćemo razmotriti nekoliko zadataka, gdje ćemo pokazati kako primijeniti znanje stečeno na konkretnim brojevima.
S obzirom na napredovanje geometrijskog, nazivnik progresije 2, i njegov prvi element 3. Što će biti njegovim 7. i 10. članom jednak, i koji je zbroj njegovih sedam početnih elemenata?
Stanje problema je dovoljno jednostavno i uključuje izravno korištenje gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali element s brojem n, koristimo izraz a n = b n-1 * a 1 . Za sedmi element imamo: a 7 = b 6 * a 1, zamjenjujući poznate podatke, dobivamo: a 7 = 2 6 * 3 = 192. Nastavljamo na isti način za 10. član: a 10 = 2 9 * 3 = 1536 ,
Koristimo dobro poznatu formulu za sumu i određujemo tu vrijednost za prvih 7 elemenata serije. Imamo: S7 = (2 7 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Neka je -2 jednako nazivniku progresije u geometrijskoj progresiji b n-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti iznos od 5. do 10. elementa ove serije.
Problem koji se postavlja ne može se riješiti izravno pomoću poznatih formula. To se može riješiti s 2 različite metode. Za potpunost, dat ćemo oboje.
Metoda 1. Njegova ideja je jednostavna: potrebno je izračunati dvije odgovarajuće količine prvih članova, a zatim oduzeti jedna od druge. Izračunamo manju sumu: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunamo veliku količinu: S 4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Napominjemo da su u zadnjem izrazu zbrojeni samo 4 termina, jer je peti već uključen u sumu koju treba izračunati uvjetom problema. Konačno, uzmite razliku: S510 = S10-S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije nego što zamijenite brojeve i brojite, možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n serije koja se razmatra. Djelujemo na isti način kao u metodi 1, radeći najprije s simboličkim prikazom zbroja. Imamo: S n m = (b n - 1) * a 1 / (b - 1) - (b m - 1 - 1) * a 1 / (b - 1) = a 1 * (b n - b m - 1 ) / (b - 1). Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S 10 5 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4 ) / (-2 - 1) = -1344.
Neka je a 1 = 2, pronađe nazivnik progresije geometrijskog, pod uvjetom da je njegova beskonačna suma 3, a poznato je da je to niz koji se smanjuje.
Stanjem problema nije teško pogoditi koja bi se formula trebala koristiti za njezino rješavanje. Naravno, zbroj progresije se beskrajno smanjuje. Imamo: S a = a 1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a 1 / S ∞ . Ostaje zamjena poznatih vrijednosti i dobivanje potrebnog broja: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 ili -0.333 (3). Moguće je kvalitativno provjeriti ovaj rezultat ako se prisjetimo da za ovu vrstu slijeda modul b ne smije ići dalje od 1. Kao što se može vidjeti, | -1 / 3 | <1.
Neka su dani 2 elementa numeričkog niza, na primjer, 5. je 30, a 10. je 60. Potrebno je iz tih podataka rekonstruirati cijeli niz, znajući da zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da bi se riješio problem, potrebno je početi pisati odgovarajući izraz za svakog poznatog člana. Imamo: a 5 = b 4 * a 1 i a 10 = b 9 * a 1 . Sada podijelimo drugi izraz u prvi, dobivamo: a 10 / a 5 = b 9 * a 1 / (b 4 * a 1 ) = b 5 . Dakle, određujemo nazivnik, uzimajući korijen petog stupnja iz omjera pojmova poznatih iz stanja problema, b = 1.148698. Dobiveni broj je zamijenjen jednim od izraza za poznati element, dobivamo: a 1 = a 5 / b 4 = 30 / (1,148698) 4 = 17.2304966.
Tako smo pronašli što je imenitelj napretka bn jednak, a geometrijsku progresiju b n-1 * 17,2304966 = a n , gdje je b = 1,148698.
Ako u praksi ne bi bilo primjene ovog niza brojeva, njegovo bi se istraživanje svelo na čisto teoretski interes. Ali takva prijava postoji.
Slijede tri najpoznatija primjera: