Kako napraviti ravnu jednadžbu na dvije točke: dvodimenzionalne i trodimenzionalne slučajeve

12. 5. 2019.

Pravac u geometriji je jedan od najvažnijih elemenata, budući da se iz njega prikupljaju mnoge figure, i to u ravnini iu prostoru. Dovoljno je navesti trokut, paralelogram, prizmu, piramidu - sve su oblikovane presjecima ravnih linija. Ovaj članak odgovara na pitanje kako napraviti pravac jednadžbe koristeći dvije točke.

Jednadžba pravca za dvodimenzionalne i trodimenzionalne slučajeve

Izravno u prostoru

Prije nego što pređemo na raspravu o tome kako sastaviti ravnu jednadžbu iz dvije točke, treba razumjeti što je u pitanju.

Jednadžba ravne crte razumijeva se kao jednakost povezana s usvojenim koordinatnim sustavom, a sve vrijednosti varijabli koje ga zadovoljavaju moraju ležati na jednoj pravoj liniji. U dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim slučajevima ova se jednadžba može definirati na sljedeći način:

Q = P + α * u¯

Ovdje je Q koordinata proizvoljne točke linije, P je koordinata određene točke koja pripada liniji, u¯ je vektor smjera, a bilo koji stvarni broj. Smjer vektor u je paralelan s pravom. Ovaj izraz se naziva parametarsko-vektorska jednadžba.

U dvodimenzionalnom slučaju svaka točka na ravnini je jedinstveno definirana s dvije koordinate x i y, tako da možete napisati jednadžbu retka u obliku:

(x; y) = (x 0 ; y 0 ) + α * (a; b)

Gdje su (x 0 ; y 0 ) koordinate poznate točke linije, (a; b) su koordinate usmjeravajućeg vektora. U parametarskom obliku, ova se jednadžba može prepisati kao sustav od dvije jednadžbe:

x = x 0 + a * a;

y = y 0 + α * b.

Izražavajući alfa parametar i izjednačavajući dobivene jednakosti, dolazimo do oblika:

y = b / a * x + (y 0 -x 0 * b / a) ili

y = A * x + C, gdje je A = b / a, C = (y 0 - x 0 * b / a)

Rezultat je poznat svakom studentu. To se naziva opća jednadžba pravca na ravnini.

U prostoru svaka točka ne dobiva se po dvije, nego po tri koordinate, stoga njegova parametarsko-vektorska jednadžba ima oblik:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + α * (a; b; c)

Parametarsko-vektorska jednadžba prikladna je za korištenje kada trebate napraviti jednadžbu pravca koja prolazi kroz dvije točke.

Pravac i dvije točke

Opća jednadžba pravca

Sada razmotrite pitanje članka izravno. Kako napraviti izravnu jednadžbu koristeći dvije točke? Prvo dobivamo jednadžbu na ravnini, a zatim je generaliziramo za trodimenzionalni slučaj.

Pretpostavimo da postoje dvije točke na ravnini P (x 1 ; y 1 ) i Q (x 2 ; y 2 ). Ako uzmemo razliku između koordinata točaka, tada dobijemo vektor koji je usmjeren od jednog do drugog. Ovaj vektor je jednak:

PQ¯ (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 )

U ovom slučaju, PQ¯ je usmjeren iz P (početak usmjerenog segmenta) u Q (njegov kraj). Budući da obje točke pripadaju liniji, vektor PQ¯ pripada njoj. To znači da se može smatrati vođenjem. Jednadžba ravne crte poprima oblik:

(x; y) = (x 1 ; y 1 ) + α * (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 )

Ovdje smo uzeli točku P. Ako je zamijenimo točkom Q, tada se jednadžba neće promijeniti.

Kako napraviti jednadžbu pravca u prostoru koristeći dvije točke? Sumirajući dobivenu formulu za ravninu, dobivamo:

(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + β * (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 )

Drugo slovo za parametar uzima se da bi se pokazala neovisnost ove i prethodnih jednadžbi.

Primjer rješavanja problema

Dvije poznate točke

Nakon što smo shvatili kako napraviti izravnu jednadžbu za dvije točke, dajemo primjer korištenja znanja stečenog za dvodimenzionalni slučaj.

Pretpostavimo da postoje točke na ravnini (3; -4) i (0; 7). Potrebno je napraviti izravnu jednadžbu kroz dvije točke.

Izračunajte koordinate vektora vodiča:

(0-3; 7 - (- 4)) = (-3; 11)

Jednadžba parametar-vektor ima oblik:

(x; y) = (3; -4) + α * (- 3; 11)

Otvorite ga i dovedite u opći oblik:

x = 3 - 3 * α => α = (x-3) / (- 3);

y = -4 + 11 * α => α = (y + 4) / 11;

(x-3) / (- 3) = (y + 4) / 11 =>

y = -11 / 3 * x + 7.

Jednadžbu smo dobili u uobičajenom (općem) obliku. Njegovu valjanost možete provjeriti zamjenom koordinata obje točke iz stanja problema.