Polinomi. Polinomna faktorizacija: metode, primjeri

Pojmovi "polinoma" i "dekompozicije polinoma u čimbenike" u algebri su vrlo česti, jer moraju biti poznati kako bi se lako izvodili izračuni s velikim brojčanim brojevima. Ovaj članak će opisati nekoliko metoda razgradnje. Svi oni su vrlo jednostavni za uporabu, samo trebate odabrati pravu za svaki pojedini slučaj.

Polinomni koncept

Polinom je zbroj monomala, to jest izraza koji sadrže samo operaciju množenja.

Na primjer, 2 * x * y je monom, ali 2 * x * y + 25 je polinom koji se sastoji od 2 monomials: 2 * x * y i 25. Takvi polinomi se nazivaju dvočlanim polinomima.

Ponekad zbog praktičnosti rješavanja primjera s višestrukim vrijednostima, izraz mora biti transformiran, na primjer, dekomponiran na više faktora, tj. Brojeva ili izraza između kojih se izvodi akcija množenja. Postoji više načina da se polinom razgradi na čimbenike. Vrijedi ih razmotriti od naj primitivnijih, koji se koriste u osnovnoj školi.

Grupiranje (pisanje općenito)

Formula za dekompoziciju polinoma na faktore u načinu grupiranja u općem obliku izgleda ovako:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (oglas + bd)

Monomijale je potrebno grupirati na takav način da se u svakoj grupi pojavi zajednički faktor. U prvoj zagradi je faktor c, au drugom d. To se mora učiniti kako bi se onda izvukao iz nosača, čime se pojednostavljuju izračunavanja.

Algoritam dekompozicije za određeni primjer

Najjednostavniji primjer proširenja polinoma na čimbenike metodom grupiranja prikazan je u nastavku:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

U prvoj zagradi morate uzeti pojmove s množiteljem a, koji će biti uobičajeni, a drugi s množiteljem b. Obratite pažnju na znakove + i - u gotovom izrazu. Pred monomijal smo stavili znak koji je bio u početnom izrazu. To znači da ne trebate raditi s izrazom 25a, već s izrazom -25. Znak minus čini se da je "zalijepljen" na izraz iza njega i uvijek ga uzeti u obzir pri izračunavanju.

Sljedeći korak je uzeti množitelj, koji je čest, iz zagrade. To je ono za što je grupiranje napravljeno. Staviti iz zagrade znači napisati ispred zagrada (bez znaka množenja) sve one čimbenike koji se točno ponavljaju u svim terminima koji se nalaze u zagradi. Ako zagrada nije 2, a 3 pojmovi i više, zajednički faktor mora biti sadržan u svakom od njih, inače se ne može izvaditi iz zagrada.

U našem slučaju - samo 2 izraza u zagradama. Zajednički faktor je odmah vidljiv. U prvoj zagradi je, u drugom - b. Ovdje morate obratiti pozornost na digitalne koeficijente. U prvoj zagradi, oba koeficijenta (10 i 25) su višestruki od 5. To znači da se iz zagrade ne može staviti samo a, nego i 5a. Prije zagrada, napišite 5a, a zatim podijelite svaki izraz u zagradama prema zajedničkom faktoru koji je izgovoren, a također napišite kvocijent u zagradama, ne zaboravljajući znakove + i -. više od 7.

Dakle:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Pokazalo se da su 2 termina: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Svaki od njih sadrži zajednički faktor (cijeli izraz u zagradama ovdje se podudara, što znači da je uobičajeni faktor): 2c - 5. Također treba iznijeti iz zagrade, to jest, izrazi u drugoj zagradi ostaju 5a i 7b:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Dakle, potpuni izraz:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Dakle, polinom 10ac + 14bc - 25a - 35b se dekomponira na 2 faktora: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak množenja između njih može se izostaviti prilikom pisanja.

Ponekad postoje izrazi ovog tipa: 5a ² + 50a ³ , ovdje možete izvaditi ne samo a ili 5a, nego čak i 5a ² . Uvijek biste trebali pokušati uzeti najveći zajednički faktor iz zagrade. U našem slučaju, ako svaki pojam podijelimo na zajednički faktor, ispada:

5a ² / 5a2 = 1; 50a ³ / 5a ² = 10a (pri izračunu kvocijenta od nekoliko stupnjeva s jednakim osnovama, baza se čuva, a eksponent se oduzima). Tako jedinica ostaje u zagradama (u svakom slučaju, ne zaboravite napisati jednu ako stavite jedan od dodataka iz zagrade) i količnik: 10a. Ispada da:

5a ² + 50a ³ = 5a ² (1 + 10a)

Kvadratne formule

Zbog praktičnosti, izvedeno je nekoliko formula. Nazivaju se skraćene formule množenja i često se koriste. Ove formule pomažu faktor polinoma koji sadrže stupnjeve. Ovo je još jedan učinkovit način faktoringa. Dakle, ovdje su:

• a ² + 2ab + b ² = (a + b) ² - formula koja se naziva "kvadrat zbroja", jer se kao rezultat dekompozicije na kvadrat zbroj brojeva stavlja u zagrade, tj. vrijednost ove sume pomnožuje se sama 2 puta , što znači da je množitelj.
• a ² + 2ab - b ² = (a - b) ^{2 -} formula kvadrata razlike, ona je slična prethodnoj. Rezultat je razlika u zagradama, sadržana u kvadratnoj snazi.
• a ² - b ² = (a + b) (a - b) je formula za razliku kvadrata, budući da se izvorni polinom sastoji od 2 kvadrata brojeva ili izraza između kojih se izvodi oduzimanje. Možda se, od tri navedena, najčešće koristi.

Primjeri izračuna kvadratne formule

Izračuni na njima su napravljeni vrlo jednostavno. Na primjer:

1. 25x ² + 20xy + 4y ² - koristite formulu "kvadratni zbroj".
2. 25x2 je kvadratni izraz 5x. Dvadeseti je dvostruki proizvod 2 * (5x * 2y), a 4y ² je kvadrat 2y.
3. Dakle, 25x2 + 20xy + 4y2 = (5x + 2y) ² = (5x + 2y) (5x + 2u). Taj polinom se dekomponira na 2 faktora (faktori su isti, stoga je napisan kao izraz s kvadratnom snagom).

Radnje koje koriste formulu razlike kvadrata obavljaju se na isti način. Formula ostaje razlika kvadrata. Primjeri ove formule vrlo je lako identificirati i pronaći među ostalim izrazima. Na primjer:

• 25a ² - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Budući da je 25a ² = (5a) ² , a 400 = 20 ²
• 36x2 - 25y2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Od 36x ² = (6x) ² , i 25y ² = (5y2)
• c2-169b2 = (c-13b) (c + 13b). Od 169b ² = (13b) ²

Važno je da svaki dodatak bude kvadrat izraza. Tada je taj polinom podložan faktorizaciji pomoću formule razlike kvadrata. Za to nije potrebno da drugi stupanj bude iznad broja. Postoje polinomi koji sadrže velike stupnjeve, ali još uvijek prikladni za ove formule.

a ⁸ + 10a ⁴ +25 = (a ⁴ ) ² + 2 * a ⁴ * 5 + 5 ² = (a ⁴ + 5) ²

U ovom primjeru, ⁸ može se predstaviti kao (a ⁴ ) ² tj. kvadrat određenog izraza. 25 je 5 ² i 10a ⁴ je dvostruki rad uvjeti 2 * ⁴ * 5. To jest, taj izraz, unatoč prisutnosti stupnjeva s velikim eksponatima, može se dekomponirati na 2 faktora koji će kasnije raditi s njima.

Kocke formule

Iste formule postoje za faktore polinoma koji sadrže kocke. Oni su malo kompliciraniji od onih s kvadratima:

• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - ab + b ² ) - ova formula se naziva zbroj kocki, jer je u početnom obliku polinom zbroj dvaju izraza ili brojeva zatvorenih u kocki.
• a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) - formula jednaka prethodnoj, označena kao razlika kocki.
• a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ = (a + b) ^{3 je} kocka zbroja, kao rezultat kalkulacija, daje se zbroj brojeva ili izraza, stavljen u zagrade i pomnožen 3 puta, tj. u kocki
• a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ = (a - b) ³ - formula sastavljena po analogiji s prethodnom s promjenom samo nekih znakova matematičkih operacija (plus i minus) naziva se "razlika kocka".

Posljednje dvije formule praktički se ne koriste u svrhu razgradnje polinoma na čimbenike, budući da su složeni, a rijetko postoje polinomi koji u potpunosti odgovaraju takvoj strukturi tako da se mogu proširiti prema tim formulama. Ali još uvijek ih trebate znati, jer će biti potrebni za akcije u suprotnom smjeru - prilikom otvaranja zagrada.

Primjeri formule kocke

Razmotrimo primjer: 64a ³ - 8b ³ = (4a) ³ - (2b) ³ = (4a - 2b) ((4a) ² + 4a * 2b + (2b) ² ) = (4a - 2b) (16a ² + 8ab) + 4b ² ).

Ovdje su uzeti dovoljno prosti brojevi stoga možete odmah vidjeti da je 64a ³ (4a) ³ , a 8b ³ je (2b) ³ . Dakle, ovaj polinom se dekomponira pomoću razlike u kubama po 2 faktora. Postupci na formuli za zbroj kocki izrađuju se analogno.

Važno je razumjeti da svi polinomi nisu podložni dekompoziciji barem na jedan od načina. No postoje takvi izrazi koji sadrže više stupnjeve od kvadrata ili kocke, ali se također mogu proširiti u skraćene oblike množenja. Na primjer: x ¹² + 125y ³ = (x ⁴ ) ³ + (5y) ³ = (x ⁴ + 5y) * ((x ⁴ ) ² - x ⁴ * 5y + (5y) ² ) = (x ⁴ + 5y) x ⁸ - 5x ⁴ y + 25y ² ).

Ovaj primjer sadrži čak 12 stupnjeva. Ali čak je i to moguće izračunati pomoću formule za zbroj kocki. Da bi to učinili, x ¹² mora biti predstavljen kao (x ⁴ ) ³ , to jest, kao kocka nekog izraza. Sada, umjesto u formuli, potrebno ju je zamijeniti. Ali izraz 125y3 je 5y kocka. Zatim biste trebali napraviti proizvod formule i izvršiti izračune.

U početku, ili u slučaju sumnje, uvijek možete izvršiti obrnutu provjeru množenja. Trebate samo otvoriti zagrade u dobivenom izrazu i izvesti akcije sa sličnim izrazima. Ova metoda primjenjuje se na sve navedene metode redukcije: kako za rad sa zajedničkim faktorom i grupiranjem, tako i za akcije koje koriste formule kocki i kvadratnih stupnjeva.