Trodimenzionalni prostor: vektori, koordinate

12. 4. 2019.

Čak i iz školskog tečaja algebre i geometrije znamo o konceptu trodimenzionalnog prostora. Ako razumijemo, izraz "trodimenzionalni prostor" definira se kao koordinatni sustav s tri dimenzije (to svi znaju). Zapravo, moguće je opisati bilo koji objekt volumena uz pomoć duljine, širine i visine u klasičnom smislu. Međutim, neka je, kako kažu, kopati malo dublje.

Što je trodimenzionalni prostor

Kao što je već postalo jasno, razumijevanje trodimenzionalnog prostora i objekata koji postoje u njemu određuju tri glavna pojma. Istina, u slučaju točke to su točno tri vrijednosti, au slučaju ravnih, zakrivljenih, isprekidanih linija ili objekata volumena, odgovarajuće koordinate mogu biti veće.

trodimenzionalni prostor

U ovom slučaju sve ovisi o vrsti objekta i primijenjenom koordinatnom sustavu. Danas se kartezijanski sustav, koji se ponekad naziva i pravokutni, smatra najčešćim (klasičnim). O njoj i nekim drugim vrstama bit će govora kasnije.

vektori u trodimenzionalnom prostoru

Između ostalog, ovdje je potrebno razlikovati apstraktne koncepte (ako je moguće tako reći, bezoblične) poput točaka, ravnih linija ili ravnina i figura koje imaju konačne dimenzije ili čak volumen. Za svaku od tih definicija postoje i vlastite jednadžbe koje opisuju njihov mogući položaj u trodimenzionalnom prostoru. Ali sada se ne radi o tome.

Pojam točke u trodimenzionalnom prostoru

Za početak, definiramo što je točka u trodimenzionalnom prostoru. Općenito, može se nazvati određenom osnovnom jedinicom koja definira bilo koju ravnu ili trodimenzionalnu figuru, liniju, segment, vektor, ravninu itd.

osnova trodimenzionalnog prostora

Sama točka karakteriziraju tri glavne koordinate. Za njih se u pravokutnom sustavu koriste posebni vodiči, nazvani X, Y i Z osi, prve dvije osi koje se koriste za izražavanje vodoravnog položaja objekta, a treće se odnosi na vertikalnu specifikaciju koordinata. Naravno, za praktičnost izražavanja položaja objekta u odnosu na nultu koordinatu u sustavu, pretpostavljaju se pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, danas možete pronaći druge sustave.

Vrste koordinatnih sustava

Kao što je već spomenuto, pravokutni koordinatni sustav koji je stvorio Descartes danas je glavni. Ipak, u nekim tehnikama za određivanje položaja objekta u trodimenzionalnom prostoru koriste se neke druge sorte.

ravnina u trodimenzionalnom prostoru

Najpoznatiji su cilindrični i sferični sustavi. Razlika od klasične je u tome što pri određivanju iste tri vrijednosti koje određuju mjesto točke u trodimenzionalnom prostoru, jedna od vrijednosti je kutna. Drugim riječima, u takvim sustavima koristi se krug koji odgovara kutu od 360 stupnjeva. Odavde i specifični zadatak koordinata, uključujući elemente kao što su radijus, kut i generatrix. Koordinate u trodimenzionalnom prostoru (sustavu) ove vrste poštuju nešto drugačije zakone. Njihov zadatak u ovom slučaju kontrolira pravilo desne ruke: ako kombinirate palac i kažiprst s osima X i Y, preostali prsti u savijenom položaju označavaju smjer Z osi.

Pojam linije u trodimenzionalnom prostoru

Sada nekoliko riječi o tome što čini ravnu liniju u trodimenzionalnom prostoru. Na temelju osnovnog koncepta ravne linije, ovo je neka vrsta beskonačne linije koja se povlači kroz točku ili dvije, ne računajući skup točaka koje se nalaze u nizu koji ne mijenja izravan prolaz kroz njih.

točka u trodimenzionalnom prostoru

Ako pogledate crtu nacrtanu kroz dvije točke u trodimenzionalnom prostoru, morat ćete uzeti u obzir tri koordinate obje točke. Isto vrijedi i za segmente i vektore. Potonje određuje osnovu trodimenzionalnog prostora i njegove dimenzije.

Definicija vektora i osnova trodimenzionalnog prostora

Kao što se uobičajeno vjeruje, u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu mogu postojati tri glavna vektora koji definiraju osnovu. Štoviše, baze s odgovarajućim neovisnim trima vektorima mogu biti bezbrojne.

koordinate u trodimenzionalnom prostoru

Primijetite da mogu postojati samo tri vektora, ali ovdje možete definirati onoliko koliko trojki vektora. Dimenzija prostora određena je brojem linearno neovisnih vektora (u našem slučaju tri). A prostor u kojem postoji konačan broj takvih vektora naziva se konačna dimenzija.

Zavisni i neovisni vektori

Što se tiče definiranja ovisnih i neovisnih vektora, vektori koji su projekcije (na primjer, vektori X-osi projicirani na Y-osi) smatraju se linearno neovisnima.

ravna crta u trodimenzionalnom prostoru

Kao što je već jasno, svaki četvrti vektor ovisi (teorija linearnih prostora). Ali tri nezavisna vektora u trodimenzionalnom prostoru ne moraju nužno ležati u istoj ravnini. Osim toga, ako u trodimenzionalnom prostoru definiramo nezavisne vektore, oni ne mogu biti, da tako kažemo, jedan nastavak drugog. Kao što je već jasno, u slučaju kada razmatramo s tri dimenzije, prema općoj teoriji, mogu se konstruirati samo tri trojke linearno neovisnih vektora u određenom koordinatnom sustavu (bez obzira na vrstu).

Ravnina u trodimenzionalnom prostoru

Ako razmotrimo koncept ravnine, bez ulaženja u matematičke definicije, za jednostavnije razumijevanje ovog pojma, takav se objekt može smatrati samo dvodimenzionalnim. Drugim riječima, to je beskonačna zbirka točaka gdje je jedna od koordinata konstanta (konstanta).

trodimenzionalni prostor

Na primjer, ravnina se može nazvati bilo kojim brojem točaka s različitim koordinatama duž osi X i Y, ali s istim koordinatama duž osi Z. U svakom slučaju, jedna od trodimenzionalnih koordinata ostaje nepromijenjena. Međutim, ovo je, da tako kažem, opći slučaj. U nekim situacijama trodimenzionalni prostor može se presjeći s ravninom duž svih osi.

Postoji li više od tri dimenzije

Interesantno je pitanje koliko mjerenja može postojati. Smatra se da ne živimo u trodimenzionalnom od klasičnog gledišta prostora, već u četverodimenzionalnom. Osim dobro poznatih duljina, širina i visina, ovaj prostor uključuje i životni vijek objekta, a vrijeme i prostor su vrlo snažno povezani. To je dokazao Einstein u svojoj teoriji relativnosti, iako se to više odnosi na fiziku nego na algebru i geometriju.

vektori u trodimenzionalnom prostoru

Još jedna zanimljiva činjenica je da su danas znanstvenici već dokazali postojanje najmanje dvanaest dimenzija. Dakako, daleko od toga svatko će moći razumjeti što je to, jer se odnosi na određeni apstraktni prostor koji je izvan ljudske percepcije svijeta. Ipak, ostaje činjenica. Mnogi antropolozi i povjesničari tvrde da su naši preci mogli imati neke specifično razvijene osjetilne organe kao što je treće oko, što je pomoglo percipiranju višedimenzionalne stvarnosti, a ne samo trodimenzionalnog prostora.

Inače, danas ima dosta mišljenja o činjenici da je ekstrasenzorna percepcija također jedna od manifestacija percepcije višedimenzionalnog svijeta, a može se naći dosta dokaza.

Imajte na umu da moderne osnovne jednadžbe i teoremi opisuju višedimenzionalne prostore koji se razlikuju od našeg četverodimenzionalnog svijeta, također nije uvijek moguće. A znanost u ovom području više se odnosi na područje teorija i pretpostavki nego na ono što se jasno može osjetiti ili, da tako kažemo, dotaknuti ili vidjeti iz prve ruke. Ipak, neizravni dokazi o postojanju višedimenzionalnih svjetova, u kojima može biti četiri ili više dimenzija, danas je nesumnjivo.

zaključak

Općenito, ukratko smo pregledali osnovne pojmove koji se odnose na trodimenzionalni prostor i osnovne definicije. Naravno, postoje mnogi posebni slučajevi povezani s različitim koordinatnim sustavima. Osim toga, pokušali smo ne ulaziti u divljinu matematike kako bismo objasnili osnovne pojmove, samo da bi pitanje koje je bilo povezano s njima bilo jasno svakom učeniku (da tako kažemo, objašnjenje je "na prstima").

Ipak, čini se da se čak i iz takvih jednostavnih interpretacija može zaključiti da je matematički aspekt svih komponenti uključen u osnovni školski tečaj algebre i geometrije.