Vietin teorem: primjeri njegove primjene pri radu s kvadratnim jednadžbama
Pri proučavanju metoda rješavanja jednadžbi drugog reda u školskom tijeku algebre, razmotrite svojstva dobivenih korijena. Trenutno su poznati kao Viet-teorem. Primjeri njegove uporabe navedeni su u ovom članku.
Kvadratna jednadžba
Jednadžba drugog reda jednadžba je prikazana na slici ispod.
Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti dotične jednadžbe. Da bi se riješila jednakost, potrebno je pronaći vrijednosti x koje čine istinu.
Primijetite da je maksimalna vrijednost stupnja u kojem je X podignut jednaka dva, tada je i broj korijena u općem slučaju jednak dva.
Postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste jednakosti. U ovom članku razmatramo jedan od njih, koji uključuje upotrebu takozvane Viet teoreme.
Formulacija Viet teorema
Krajem XVI., Poznati matematičar Francois Vietta (Francuz) je, analizirajući svojstva korijena različitih kvadratnih jednadžbi, napomenuo da određene kombinacije od njih zadovoljavaju određene odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov proizvod i zbroj.
Vieta-teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe s njihovom sumom daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih s suprotnim predznakom, a kada se proizvode, dovode do omjera slobodnog termina i kvadratnog koeficijenta.
Ako je opći oblik jednadžbe napisan onako kako je prikazan na slici u prethodnom odjeljku članka, onda se matematički ovaj teorem može napisati u obliku dvije jednakosti:
- r2 + r1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Gdje je r 1 , r 2 je vrijednost korijena predmetne jednadžbe.
Ove dvije jednadžbe mogu se koristiti za rješavanje niza vrlo različitih matematičkih problema. Uporaba Viet teorema u primjerima s rješenjem dana je u sljedećim dijelovima članka.
Problem broj 1: vraćanje jednadžbe
Predstavljamo sljedeći problem o korištenju Viet teorema. Primjer jednadžbe daje se na sljedeći način: -3.4 * x - 3 * s * x 2 + k = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti s i k, znajući da su dva broja rješenja jednadžbe: -1,2 i 4.
Prvo morate odlučiti o vrijednosti koeficijenata u ovom izrazu. Slijedi da je a = -3 * s, b = -3,4 i c = k.
Sada možete koristiti teorem Viet. Za zbroj korijena dobivamo sljedeću jednakost: -1.2 + 4 = - (- 3.4) / (-3 * s), odakle dobivamo da je s = -0.40476 (preporučuje se koristiti kalkulator za izračunavanje tog izraza). To jest, a = -3 * s = 1.21429. Za proizvodnju korijena imamo:
(-1,2) x4 = k / 1,21429, gdje je k = -5,82859.
Rekonstruirana jednadžba odgovarat će obliku: -3.4 * x + 1.21429 * x 2 - 5.82859 = 0. Da bi se provjerilo je li problem ispravno riješen, i ako postoji greška u njegovom rješavanju, potrebno je zamijeniti poznate vrijednosti korijena u obnovljenom izrazu. Dobivamo: -3.4 * (-1.2) + 1.21429 * (-1.2) 2 - 5.82859 = 0.00001 ≈ 0 i -3.4 * (4) + 1.21429 * ( 4) 2 - 5.82859 = 0.00005 ≈ 0.
Kao što vidimo, dobivene jednakosti su zaista zadovoljne. Mala pogreška je zbog činjenice da pri vraćanju jednadžbe zaokružujemo dobivene brojeve na 5 decimalnih mjesta.
Problem broj 2: pronađite korijene jednadžbe
Rješenje kvadratnih jednadžbi Vietovim teoremom (vidi primjer ispod) moguće je u svim slučajevima. To jest, ova metoda nije univerzalna, jer ako se ispostavi da su koeficijenti jednadžbe "neprikladni", to neće raditi.
Univerzalne metode za rješavanje ovog tipa izraza su upotreba diskriminantnog ili dodatka na puni kvadrat. Međutim, važnost Vietovog teorema u ovom slučaju je u tome što dopušta pogoditi nepoznate korijene bez izvođenja kompliciranih matematičkih izračuna.
Primjerice, dan je sljedeći izraz: -x 2 + 2 * x + 3 = 0. Trebamo upotrijebiti Vieta-teorem za pronalaženje rješenja te jednakosti. Neka njegovi korijeni budu brojevi r 1 i r 2 . Tada možete napisati sljedeći sustav jednadžbi:
r1 + r2 = -2 / (- 1) = 2;
r1 * r2 = 3 / (-1) = -3.
Sada je potrebno pogoditi koji je zbroj brojeva dva, a njihov proizvod će biti -3. Očito su to brojevi 3 i -1. Oni će biti korijeni jednadžbe.
Ako malo pređemo u temu, treba napomenuti da se svaka jednadžba drugog reda, koja se lako predstavlja kao proizvod dva faktora, može riješiti uz pomoć teorema o kojem se raspravlja. Doista, u ovom slučaju možemo napisati (3-x) * (x + 1), ako proširimo zagrade, dobivamo izvorni izraz.
Problem broj 3: zbroj kvadrata
Dajemo još jedan primjer Viet-teorema s rješenjem. S obzirom na jednadžbu:
6 * x 2 - 13 * x + 11 = 0. Potrebno je pronaći zbroj kvadrata njegova dva korijena, to jest (r 1 ) 2 + (r 2 ) 2 .
Naravno, ovu jednadžbu možete riješiti na jedan od načina, a zatim odgovoriti na pitanje problema. Međutim, ako se prisjetimo Viet teorema i svojstva kvadrata zbroja, onda nema potrebe za tim.
Treba zapamtiti kako se izračunava zbroj dvaju kvadrata. Tada nalazimo da je za pronalaženje nepoznatog zbroja kvadrata potrebno izračunati vrijednost izraza (r 1 + r 2 ) 2 - 2 * r 1 * r 2 . Koristimo obje jednakosti razmatranog teorema, dobivamo: (13/6) 2 - 2 * 11/6 = 1,02 (7) (7 u razdoblju).
Dakle, primjenom Viet teorema, uštedjeli smo vrijeme na rješavanju jednadžbe. Općenito, svojstva korijena mogu se koristiti za sve zadatke koji uključuju izračun njihovih različitih kombinacija.