Značajke rješavanja problema određivanja brzine rijeke. Primjeri rješenja
Jedan od fascinantnih problema u matematici i fizici, koje nastavnik predlaže rješavanju učenika, je problem određivanja brzine protoka rijeke. U ovom članku ćemo razmotriti značajke rješavanja ovih problema i dati neke konkretne primjere.
Koje će se zadaće raspravljati?
Svi znaju da voda u rijeci ima određeni protok. Ravne rijeke (Don, Volga) protječu relativno sporo, dok se male planinske rijeke odlikuju jakom strujom i prisutnošću vodenih lijevaka. Svaki plutajući objekt koji je bačen u rijeku udaljit će se od promatrača brzinom struje rijeke.
Ljudi koji su se okupali u rijeci znaju da je vrlo teško plivati protiv njegove struje. Za pomicanje nekoliko metara, morate uložiti mnogo više truda nego kad se krećete u stajaćoj vodi jezera. Naprotiv, protok se odvija gotovo bez potrošnje energije. Dovoljno je da zadrži tijelo na površini.
Sve ove značajke omogućuju nam da donesemo sljedeći važan zaključak: ako se tijelo koje ima brzinu v u mirnoj vodi, kreće u koritu, tada će njegova brzina u odnosu na obalu biti jednaka:
- v + u za tok;
- v - u za kretanje protiv struje.
Ovdje je u brzina protoka.
Ako se tijelo kreće pod određenim kutom prema toku, tada će rezultirajući vektor njegove brzine biti jednak zbroju vektora v i u¯.
Formule za pamćenje
Osim gore navedenih informacija, za rješavanje problema na brzini rijeke treba zapamtiti nekoliko formula. Mi ih popisujemo.
Brzina struje je konstantna vrijednost, ali brzina tijela (čamac, čamac, plivač) u općem slučaju može varirati, i po veličini iu smjeru. Za jednoliko pravocrtno gibanje vrijedi sljedeća formula:
S = v * t
Gdje je S prijeđena udaljenost, v je brzina kretanja tijela. Ako se kretanje odvija s ubrzanjem a, treba primijeniti formulu:
S = a * t 2/2
Osim ovih formula, za uspješno rješavanje problema treba biti u mogućnosti koristiti trigonometrijske funkcije pri razlaganju vektora brzine u komponente.
Sada se okrećemo rješavanju specifičnih problema.
Zadatak s brodom i ribičem
Jedan ribar je odlučio ići na svoj brod bez motora na protoku rijeke na udaljenosti od 2 kilometra. U ustajaloj vodi, on bi prekrio tu udaljenost za 30 minuta, ali kad bi vozio uz rijeku trebao mu je cijeli sat. Potrebno je pronaći što je brzina protoka rijeke jednaka.
Budući da je brzina vode u rijeci nepoznata, označavamo je slovom x. Brzina broda je također nepoznata, ali se može izračunati korištenjem vrijednosti iz uvjeta za kretanje u mirnoj vodi. Dobijte brzinu za brodove:
v = S / t 1 = 2 / 0.5 = 4 km / h
Pronašli smo brzinu kojom ribar na brodu može ploviti mirnim jezerom. Da biste pronašli brzinu broda protiv struje, potrebno je oduzeti vrijednost x od pronađene vrijednosti. Zatim, da bismo se popeli uz rijeku, možemo napisati sljedeću jednadžbu:
S = (4 - x) * t 2
Iznesite ovdje vrijednost nepoznatog parametra, imamo:
x = 4 - S / t2
Ostaje zamjena brojeva iz stanja problema i snimanje odgovora:
x = 4 - S / t 2 = 4 - 2/1 = 2 km / h
Dakle, brzina struje u rijeci je pola od brzine broda.
Zadatak s motornim brodom
Motorni brod svakodnevno prelazi na rijeku od točke A do točke B. Udaljenost između A i B iznosi 7 km. Poznato je da je brzina plovila nizvodno 8 km / h. Koja je brzina struje, ako plovilo troši 10 minuta više vremena na putu niz rijeku nego kad se kreće gore?
U ovom slučaju ne znamo niti brzinu motornog čamca, niti brzinu vode u rijeci. Označimo prvo kao y, a drugo kao x. Tada možete napisati sljedeće četiri jednadžbe:
x + y = 8;
S / t 1 = x + y;
S / t2 = y - x;
t 2 - t 1 = 1/6
Prva jednadžba odražava brzinu plovila nizvodno, druga i treća jednadžba odnose se na vrijeme i brzinu kretanja prema dolje, odnosno prema gore. Četvrta jednadžba slijedi iz stanja problema vremenske razlike između prednjih i obrnutih staza između točaka A i B.
Prvo, iz tih jednadžbi nalazimo vrijeme t 1 i t 2 :
t '= 7/8 = 0,875 h;
t2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 h
Za određivanje brzine x vode u rijeci, oduzmite treću jednadžbu od druge, dobivamo:
S / t 1 - S / t 2 = 2 x =>
x = S / 2 * (1 / t 1 - 1 / t 2 )
Zamjenjujući izračunate vrijednosti t 1 i t 2 u ovu jednakost, kao i udaljenost između točaka S, vidimo da voda u rijeci teče brzinom od 0,64 km / h.
Zadatak: kretanje broda pod kutom u odnosu na struju
Sada ćemo riješiti problem, koji zahtijeva sposobnost korištenja trigonometrijskih formula.
Brod se počeo kretati od jedne obale rijeke do druge pod kutom od 60 o prema struji. Brzina broda u mirnoj vodi iznosi 10 km / h. Brzina struje je 2 km / h. Potrebno je odrediti koliko će se brod kretati duž obale, stižući na suprotnu stranu rijeke. Širina korita rijeke iznosi 500 metara.
Taj zadatak treba riješiti razbijanjem staze broda na dvije komponente: okomite i paralelne s obalom. Pomoću podataka zadatka, za okomitu komponentu puta, možete napisati izraz:
v * sin (60 o ) * t = S 1
Gdje je v brzina broda, S 1 je širina rijeke. Zamjenjujući podatke, nalazimo vrijeme kada je brod bio na putu:
t = S 1 / (v * sin (60 o )) = 0.0577 h
Da bi se izračunala putanja S 2 paralelno s obalom, brzini protoka treba dodati vodoravnoj projekciji brzine broda, a odgovarajuća jednakost će biti:
S 2 = (v * cos (60 o ) + 2) * t
Zamjenjujući poznate vrijednosti, dobivamo odgovor: brod duž obale putovat će 404 metra.