Metoda konačnih elemenata i njezina primjena
Metoda konačnih elemenata pojavila se kao jedna od tehnika proučavanja različitih dizajna. Trenutno je univerzalno prepoznat kao zajednički način rješavanja širokog spektra zadataka u različitim područjima tehnologije.
definicija
Inženjerska analiza metodom konačnih elemenata sastoji se u aproksimaciji kontinuiranog medija s beskonačno velikim brojem stupnjeva slobode skupom elemenata (poddomena) koji imaju konačan broj stupnjeva slobode. Uspostavljen je odnos između tih elemenata. Prepoznavanje metode objašnjava se jednostavnošću matematičkog oblika i fizičke interpretacije.
Primjena u mehanici
Metoda konačnih elemenata u mehanici loma iu problemima strukturne mehanike izražava se kao omjer MKE u obliku pomaka. Prvo, unutar svakog elementa postavljaju se tzv. Funkcije oblika. Oni definiraju kretanje u unutarnjem području elementa pokretom u čvorovima. Potonje su točke u kojima su kombinirani konačni elementi.
Nepoznati FEM-ovi su mogući i neovisni pokreti čvorova modela konačnih elemenata (CEM). Dakle, KEM dizajn je sustav fiksnih čvorova. Dodatne veze koreliraju s smjerom mogućih pomaka čvorova.
Suština metode
U osnovi, elementarni model konstrukcije sličan je osnovnom sustavu klasične metode pomaka, koja se koristi u proračunu štapnih sustava. Da bi se postigla prijemna točnost rezultata proračuna pomoću metode konačnih elemenata, potrebno je smanjiti veličinu elemenata, čime se povećava točnost aproksimacije geometrijskih značajki i funkcija pomaka unutar konačnog elementa.
CEM kompleksne strukture dosežu stotine ili čak milijune stupnjeva slobode, pa je metoda konačnih elemenata u inženjerstvu strojno orijentirana, čija je provedba moguća samo pomoću računala.
Praktična primjena
Za primjenu FEM-a u praksi potrebno je razumjeti ne samo teoriju mehanike, već i poznavanje programiranja. Primjena metode konačnih elemenata često se temelji na varijacijskim načelima mehanike koji se temelje na dva temeljna skalara: potencijal i kinetička energija elastična konstrukcija. Definicija tih skalara, neovisna o odabranom koordinatnom sustavu, omogućuje pisanje FEM odnosa u nepromjenjivom obliku.
Radi lakšeg programiranja, FEM omjeri se bilježe u kompaktnom obliku matrice ili tenzora. Trenutno je modeliranje metodom konačnih elemenata potpuno matematički potkrijepljeno, stvoreni su visoko-učinkoviti softverski proizvodi koji se stalno poboljšavaju zajedno s programskim alatima.
Obrazovni programi
Tehnički napredak, osobito u području računala, značajno je promijenio stavove o formuliranju i rješavanju inženjerskih problema. Konstrukcija računskog modela usko je povezana s računalnim procesom i gotovo je nemoguće razdvojiti te dvije faze na putu do dobivanja praktičnih rezultata.
Metoda konačnih elemenata naširoko se koristi u inženjerskoj praksi, što je također doprinijelo njezinu uključivanju u kurikulume sveučilišta. FEM nudi načine za izgradnju matematičkog modela fenomena koji se razmatra, na temelju njegove fizičke suštine.
Prvi udžbenici o MKE pisani su složenim jezikom, ali su uskoro pojednostavljene metode podučavanja zahvaljujući uvođenju specijaliziranih programa. Primjerice, softverski paket Assistant se dobro pokazao. Omogućuje vam provjeru znanja studenata putem Interneta i doprinosi razvoju vještina rada s softverskim proizvodima u rješavanju praktičnih problema.
Izračun linearnih deformacija
Danas se osnove metode konačnih elemenata zasnivaju na činjenici da vrijednosti i koncepti svojstveni njoj nisu unaprijed uvedeni, već proizlaze iz suštine problema strukturne mehanike. Raspon problema koji se mogu riješiti uz pomoć MKE gotovo je neograničen. Uzmite u obzir, na primjer, problem izračunavanja linearnih deformacija elastičnih struktura od djelovanja statičkih opterećenja.
Engleski fizičar R. Hooke proveo je istraživanje o deformacijama središnje opterećenih šipki izrađenih od različitih elastičnih materijala pod djelovanjem statičke sile: Pl = Pl / EA.
Utvrdio je i odnos između veličina koje određuju taj proces: σ = Eε, gdje je deformacija izražena odnosom ε = ∆ / l, napon je označen kao σ = P / A (ovdje A je površina poprečnog presjeka šipke).
Koeficijent proporcionalnosti E određuje elastične karakteristike materijala i ima fizičku bit - naprezanje koje odgovara jediničnom naprezanju.
Utjecaj statičke sile
Statički djelujuća sila postupno raste s vremenom (G≥P≥0). Pokreti koje generira također rastu postupno, bez ubrzanja.
Analiza metodom konačnih elemenata omogućuje nam određivanje učinka statičke sile na pomak, s obzirom da se ti pokazatelji razlikuju. Povećanje (povećanje) sile na beskonačno malu vrijednost dP odgovara povećanju (povećanju) pomaka d∆. Radna sila (P + )P) na pomaku d∆ je dA = (P + )P) × d∆.
Konačna vrijednost radne snage određena je formulom A = Pd∆.
Uvedimo odnos dimenzijskih varijabli pod znakom integrala ∆ = Pα, gdje je α koeficijent usklađenosti, koji izražava fizičku bit kretanja točke u koju se dodaje jedinična sila u smjeru te sile. Omjer P = Pα postavlja mjernu jedinicu α (m / N). Slijedi da je d∆ = dPα.
Koeficijent usklađenosti odgovara drugoj važnoj karakteristici strukture - koeficijentu krutosti k = l / α (n / m), koji određuje silu koja uzrokuje pojedinačno kretanje konstrukcije u smjeru te sile.
Uzimajući u obzir sve karakteristike i koeficijente, konačna jednadžba ima oblik: A = PdPα = α × (P 2/2) = (G∆) / 2.
Dobiva se Clapeyron formula, koja određuje stvarni rad statički djelujuće sile na pomaku, koju je sama generirala u elastičnom tijelu. Ovom se tehnikom izračunavaju druge numeričke metode.
Metoda konačnih elemenata za barske sustave
Šipka je prostorno tijelo, od kojih su dvije veličine, širina i visina, mnogo manje od duljine. Time je moguće uzeti u obzir njegov fizički model u obliku pravca koji prolazi kroz središta sekcija. Ako se vanjske sile koje se primjenjuju na šipku nalaze u istoj ravnini s njezinim modelom, možemo pretpostaviti da se njezine deformacije događaju u istoj ravnini.
S matematičkog stajališta, geometrijske karakteristike pomaka i naprezanja unutar šipke su funkcije istog argumenta. Odnosi teorije elastičnosti temelje se na hipotezi o ravnim dijelovima štapa. Odnos između deformacija i naprezanja odgovara linearnom Hookeovom zakonu. U svakom dijelu štapa pojavljuju se tri razine gibanja:
- u koordinata je uzdužna sila;
- koordinata w - otklon;
- koordinata angle - kut zakretanja.
U ovom slučaju, uzdužni u i progib w neovisni su, a kut rotacije izražava se formulom d = dw / dx, gdje je dw količina otklona nakon primjene vanjske sile na šipku, dx je segment otklona (određen vrijednošću w + dw).
Za beskonačno mali štap dx vrijedi odnos dx = dφ × P.
Potencijalna energija Deformacije šipki su prirodno izračunate u lokalnom koordinatnom sustavu čija x osa se poklapa s osi štapa, a os y je okomita na os štapa: U = ½∫N × du + ½M × dφ = ½∫N × (du / dx) dx + 1/2 ×M × (d²w / dx²) dx.
Isoparametrijski pristup u MKE
Razmotriti primjenu metode konačnih elemenata u izoparametrijskom sustavu konačnih elemenata strukture s ravninskim naporom. Proces stvaranja modela konačnih elemenata sastoji se od nekoliko faza, od kojih je prva konstrukcija mreže konačnih elemenata (FE), izbor globalnog koordinatnog sustava s obzirom na cijelu strukturu i lokalni sustav povezan s konačnim elementom.
Ključni korak je definiranje funkcija forme koje daju definiciju pomaka unutar konačnog elementa zbog kretanja njegovih čvorova. Postoje različiti načini izgradnje funkcija oblika, ali oni moraju osigurati ispunjavanje nekoliko uvjeta za aproksimaciju funkcija pomaka.
- Ispunjenje kontinuiteta pomaka ne samo na čvorovima konačnih elemenata, već i na njihovim granicama.
- Osiguravanje očuvanja izvedenih funkcija pomaka, koje su povezane s elastičnim potencijalom.
- Kretanje konačnog elementa kao kruti cijeli broj. To znači da kada se element pomakne kao krutina, komponente vektora deformacije su nule.
Problemi i rješenja
Teorija metoda konačnih elemenata navodi da se FEM odnosi formiraju u lokalnom koordinatnom sustavu. Stoga se navedeni zahtjevi za funkcije formata izvode automatski ako su osi lokalnog sustava orijentirane duž stranica konačnog elementa. Takvi se slučajevi odvijaju za konačne elemente jezgre, pravokutne zidne ploče i pravokutne ploče.
No u praksi postoje konstrukcije s konturama proizvoljne definicije. U ovom slučaju potrebno je izvršiti transformaciju do približnih pomaka u globalnom koordinatnom sustavu, što dovodi do diskontinuiteta pomaka na granicama konačnih elemenata i, kao rezultat, do gubitka točnosti približnih izračuna.
Nastala je ideja prikazivanja ravnog, četverokutnog konačnog elementa općeg oblika na kvadratu s lokalnim koordinatnim sustavom, čiji je izvor u središtu te figure, a osi orijentirane na njegove strane. Za daljnju uporabu konačnih elemenata u obliku kvadrata potrebno je uspostaviti vezu jedan-na-jedan između lokalnih koordinata proizvoljnog četverokutnog FE i lokalnog koordinatnog sustava FE u obliku kvadrata. Doista, za kvadratni konačni element, funkcije forme su konstruirane vrlo jednostavno.
Metoda konačnih elemenata za proračune ploča
Ploča je umetak ili cilindrično tijelo čija je visina mnogo manja od veličine u planu. Dimenzija visine naziva se debljina ploče. Ravnina koja dijeli visinu ploče na pola naziva se srednja ili referentna ravnina. Linija presjeka bočne površine s središnjom ravninom naziva se kontura ploče.
Smatra se da je tanka ploča, za koju je omjer debljine i manje veličine u planu unutar h≤L / 5, gdje je h debljina ploče, L je njezina širina.
Ploča se smatra krutom ako, pod djelovanjem poprečnog opterećenja, njen najveći progib tijekom deformacije ne prelazi 1/5 njegove debljine.
Prilikom izračunavanja metodom FE, prvi se unosi koordinatni sustav: X 1 , X 2 i X 3 . Početak osi X 1 i X 2 nalazi se u srednjoj ravnini. Os X3 je orijentirana duž normale prema središnjoj ravnini.
Proračuni se obično svodi na izračun pomaka (pomaka) ploče na određenoj točki pod utjecajem opterećenja (sila). Na proizvoljnoj točki ploče, koja se smatra trodimenzionalnim tijelom, pojavljuju se tri smjera kretanja: U 1 , U 2 , U 3 . Definiranje je kretanje uzduž normale do središnje ravnine, koje se naziva progib i označava se slovom W.
Smatra se da su proračuni izvedeni ako se iz određenog opterećenja (a to je obično jednoliko raspoređeno, usmjereno na površinu) utvrdi metoda za izračunavanje pomaka U i pomaka W na proizvoljnoj točki ploče. Odnosi FEM-a temelje se na odredbama tehničke teorije elastičnosti koju je predložio fizičar Kirchhoff.
Kirchhoffove hipoteze
Metoda konačnih elemenata uvelike se temelji na hipotezama koje je 1845. formulirao njemački fizičar G. Kirgofom. Izravna normalna hipoteza navodi da svaka pravica koja je normalna do ravnine ravnine nedeformirane ploče ostaje ravna i normalna prema srednjoj površini deformirane ploče, a duljina prave linije se ne mijenja. Njegova bit leži u odsustvu pomaka između slojeva ploče u debljini.
Ako su osi kartezijanskih koordinata postavljene tako da se ravnine X 1 , X 2 podudaraju s središnjom ravninom, iz prvog dijela hipoteze slijede sljedeće jednakosti: y 13 = 0, y 23 = 0. Pretpostavka o nepromjenjivosti duljine pravca pretpostavlja da je linearna deformacija u smjeru osi X3 nula: ε 33 = 0.
Hipoteza o odsutnosti tlaka između slojeva ploče paralelno s srednjom površinom upućuje na to da se naprezanja σ 33 u usporedbi s naprezanjima σ 11 i σ 22 mogu zanemariti, odnosno σ 33 = 0.
Hipoteza o ne-deformabilnosti srednje ravnine sugerira da u srednjoj ravnini ploče nema deformacija napetosti, kompresije i smicanja. To jest, srednja ravnina je neutralna. Tako je u njemu pomak U 1 = U 2 = 0.
zaključak
Metoda konačnih elemenata, koja se široko koristi u konstrukciji i mehanici, omogućuje izračunavanje pomaka različitih elemenata podvrgnutih određenim opterećenjima. Sustav, koji su 1936. godine formulirali sovjetski znanstvenici, počeo se široko koristiti tek desetljećima kasnije, budući da je zahtijevao veliku količinu proračuna. Uvođenjem računala taj je zadatak pojednostavljen.