Geometrijska progresija, njezina primjena u rješavanju problema

Drevna Indijanka kralj je odlučio da velikodušno nagradi izumitelja šaha: "Pitaj me što želiš za tako mudru igru." Skromni odgovor iznenadio je vladara kad je kadulja tražio žitarice toliko koliko je mogao stati na 64 ćelije šahovske ploče. Rekao je: "Stavite 1 zrno na prvu ćeliju, 2 na drugu, 4 na treću, zatim na 8, 16, 32, ...". Broj zrna je morao svaki put udvostručiti. Rezultat brojanja zapanjio je kralja. Zrna su brojila 230.584.300.921.369 funti. Ispada da je iz tog niza brojeva dobivena geometrijska progresija. Zbroj njegovih članova toliko je velik da su zrna brojana više puta nego cjelokupna globalna žetva pšenice.

Redoslijed brojeva

U njemu se svaki sljedeći broj, počevši od drugog, dobiva množenjem prethodnog s nekim konstantnim brojem q (const), nazvanim nazivnikom. Prvi broj je ₁ and 0 i q You 0. Možete ga napisati na sljedeći način:
u ₁ ; u ₂ = u ₁ ; q; u ₃ = u ₂ ; q; ...; u _n = u _n-1 . q.
U našem primjeru {in _n } brojevi rastu vrlo brzo. To je rastuća geometrijska progresija, budući da je pozitivni nazivnik q ›1, a ₁ › 0. Ako | q | ‹1, progresija se smanjuje, a q‹ 0 - naizmjenično. Evo formule za bilo kojeg člana takvog niza:
u _n = u _1. q ^n-1 .
Predloženi problem zrna rješava dobro poznata formula za zbroj n-prvih članova rastuće geometrijske progresije
S = (a ₁ -a _p ) q) :( 1-q), pod uvjetom da q. 1.
Da bi se riješili mnogi drugi problemi, važno je znati karakteristično svojstvo progresije. Bilo koji izraz u kvadratu (osim prvog) jednak je proizvodu termina koji su jednako udaljeni od njega,
u _n ² = u nk ∙ u _{n + k} , gdje je 1 ≤ k ‹n, n ≥ 2.

Beskonačna geometrijska progresija

To je niz brojeva kako n ima tendenciju. Primjer bi bio slijed kvadrata kvadrata, koji su dobiveni kako slijedi. Spajamo središnje točke strana ove jedinice, a zatim povezujemo i središnje točke strana novog kvadrata, a taj proces nastavljamo beskonačno {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Prvi pojam progresije 1, nazivnik ½. Smanjenje geometrijske progresije naziva se beskonačnim ako njegov nazivnik pripada otvorenom segmentu (0, 1). Ako uzmemo u obzir segment (-1, 1), moramo govoriti o konvergirajućem i divergirajućem nizu brojeva. Prilikom rješavanja primjenjenih problema korisno je znati jednostavnu formulu za zbroj članova beskonačno padajuće geometrijske progresije.
S = u ₁ / (1-q).

Primjeri zadataka koji koriste geometrijsku progresiju

1. Zapišite periodičnu frakciju 0, (13) u obliku racionalnog broja (obična frakcija).
   Zamislite decimalni dio kao zbroj:
   0,131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
   Očito, u ₁ = 13/100 izračunavamo q: 13/10000 i dijelimo s 13/100,
   dobivamo q = 1/100. Predloženi iznos lako je pronaći pomoću formule
   S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - ovo je prikaz decimalnog dijela u obliku običnog.
   
2. U beskrajno opadajućoj progresiji, drugi član je poznat kao ₂ = 21, a zbroj je S = 112. Potrebno je pronaći njegov prvi član. Prilikom rješavanja koristimo formule zbroja beskonačnog geometrijskog i drugog termina progresije, dobivamo sustav od 2 jednadžbe s dvije nepoznanice.
   Prva jednadžba ovog sustava je 112 = a ₁ / (1-q), a ₁ = 21 / q je druga.
   Nakon što smo to riješili, dobivamo kvadratna jednadžba u vezi q.
   112q2-112q + 21 = 0, pojednostavljeno 16q2 -16q + 3 = 0.
   Kao rezultat toga, 2 korijena q ₁ = ¾, q ₂ = ¼. Prvi član
   a ₁ = 21 / (3/4), a prvi izraz a ₁ = 21 / (1/4).
   Naš zadatak ima 2 rješenja: a ₁ = 28 i ₁ = 84.

zaključak

Geometrijska progresija je široko korištena u rješavanju mnogih problema pronalaženja broja određenog člana niza, njegovog nazivnika, pod uvjetom da dva susjedna člana nisu specificirana. Postoje zanimljivi problemi u kojima se članovi pišu u obliku izraza s varijablama.