Kako izračunati površinu trokuta

Trokut je dobro poznata figura. I to, unatoč bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutni, istostranični, akutni, istostrani, tupi. Svaka je drugačija. Ali za svakoga koga trebate znati područje trokuta.

Zajedničko za sve formule trokuta koje koriste duljinu stranica ili visina

Oznake koje su u njima usvojene: stranke - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama n _i , n _u , n _s .

1. Površina trokuta izračunata je kao proizvod od ½, strana i visine spuštene na njoj. S = ½ * a * n _a . Isto tako, trebate napisati formulu za druge dvije strane.

2. Heronova formula u kojoj se pojavljuje poluproizvod (uobičajeno je označen malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Polu-perimetar se mora brojati na sljedeći način: sve strane složiti i podijeliti ih na 2. Polu-perimetarska formula: p = (a + b + c) / 2. Tada jednakost za područje figure izgleda ovako: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ako ne želite koristiti polu-perimetar, tada je korisna formula u kojoj su prisutne samo duljine stranica: S = √ * √ (((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). To je nešto duže od prethodnog, ali pomoći će vam, ako zaboravite kako pronaći polu-perimetar.

Opće formule u kojima se pojavljuju kutovi trokuta

Oznake koje su potrebne za čitanje formula: α, β, γ - kutova. Nalaze se nasuprot stranama a, b, c.

1. Prema tome, polovica proizvoda dviju strana i sinusa kuta između njih jednaka je površini trokuta. To je: S = ½ a * b * sin γ. Isto tako, formule za druga dva slučaja.

2. Područje trokuta može se izračunati jednom stranom i trima poznatim kutovima. S = (a ² * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Tu je i formula s jednom dobro poznatom stranom i dva ugla uz njega. Izgleda ovako: S = c ² / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najlakše. Zapamtite ih vrlo teško.

Opće formule za situaciju kada su poznati radijusi upisanih ili opisnih krugova.

Dodatne oznake: r, R - radijus. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisano.

1. Prva formula pomoću koje se izračunava površina trokuta povezana je s polu-perimetrom. S = p * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S = ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju trebat ćete pomnožiti sve strane trokuta i podijeliti ih četverostrukim radijusom kružnice. U doslovnom smislu, izgleda ovako: S = (a * c * s) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućuje da ne znate strane, ali će biti potrebne vrijednosti sva tri kuta. S = 2 R2 ² sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

To je najjednostavnija situacija, jer zahtijeva poznavanje samo duljine obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i c. Područje pravokutnog trokuta jednako je polovici površine dovršenog pravokutnika.

Matematički izgleda ovako: S = ½ a * c. Najlakše se pamti. Budući da izgleda kao formula za područje pravokutnika, pojavljuje se samo još jedna frakcija, što znači polovica.

Poseban slučaj: jednakokračan trokut

Budući da ima dvije jednake strane, neke formule za njezino područje izgledaju pomalo pojednostavljeno. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava područje jednakostraničnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ u √ (((+ ½ in) * (a - ½ in)).

Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokračan trokut je napisana kao:

S = u √ (4 * a ² - b ² ).

Nešto jednostavnije nego za proizvoljni trokut, formula površine izgleda kao da su strane i kut između njih poznati. S = ½ a ² * sin β.

Poseban slučaj: jednakostraničan trokut

Obično u problemima oko njega je poznata strana ili možete nekako saznati. Tada formula, koja je područje takvog trokuta, izgleda ovako:

S = (a2 = 3) / 4.

Zadaci na pronalaženju područja, ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija je situacija kada je pravokutni trokut nacrtan tako da se njegove noge podudaraju s linijama papira. Tada trebate samo brojati broj stanica koje se uklapaju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite na dva.

Kada je trokut akutno-nagnut ili tup, mora se povući prema pravokutniku. Tada će se u dobivenom obliku pojaviti 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dan u problemu. A druga dva - pomoćna i pravokutna. Odredite područje zadnje dvije potrebe za gore navedenu metodu. Zatim brojite područje pravokutnika i od njega oduzmite one koje su izračunate za pomoćno. Definirano je područje trokuta.

Mnogo je teža situacija u kojoj se niti jedna strana trokuta ne podudara s crtama papira. Zatim ga treba upisati u pravokutnik tako da vrhovi izvorne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju bit će tri pomoćna pravokutna trokuta.

Primjer problema na formuli Gerone

Stanje. Neki trokuti imaju strane. One su jednake 3, 5 i 6 cm.

Odluka. Prije svega potrebno je brojiti polu-perimetar trokuta. Napravite zbroj svih triju, danih u problemu, brojevima i podijelite na dva. Jednostavni izračuni vode do broja 7. To je vrijednost od pola metra.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. ispod kvadratni korijen Pokazalo se da je rezultat četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To znači da je područje √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ako nije potrebna veća preciznost, možete izvaditi kvadratni korijen od 14. To je jednako 3.74. Tada će područje biti jednako 7.48.

Odgovor je. S = 2 x 14 cm2 ili 7,48 cm2.

Primjer problema s pravim trokutom

Stanje. Jedna noga pravokutnog trokuta je 31 cm dulja od druge, a ako je površina trokuta 180 cm ^2, morate znati njihove duljine.
Odluka. Morat ćemo riješiti sustav od dvije jednadžbe. Prvi se odnosi na trg. Drugi je sa stavom nogu, koji je dan u problemu.
180 = ½ a * c;

a = na + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora se zamijeniti u prvu jednadžbu. Ispada: 180 = ½ (u + 31) * c. Ima samo jednu nepoznatu količinu, tako da je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobiva se kvadratna jednadžba: u ² + 31 u - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj ne odgovara odgovoru, jer duljina strane trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje da se izračuna druga noga: dodajte 31 na dobiveni broj.Izlazi 40. To su količine tražene u problemu.

Odgovor je. Noge trokuta su 9 i 40 cm.

Zadatak pronalaženja strane kroz područje, stranu i kut trokuta

Stanje. Površina trokuta je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih strana, ako je druga strana 15 cm, a kut između njih 30º.

Odluka. Na temelju prihvaćenog zapisa, željena strana "a", poznata "u", je zadani kut "γ". Tada se formula područja može prepisati kao:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stupnjeva 0,5.

Nakon transformacije, "a" je jednako 60 / (0.5 * 0.5 * 15). To je 16.

Odgovor je. Potrebna strana je 16 cm.

Problem kvadrata ispisanog u pravokutnom trokutu

Stanje. Vrh kvadrata sa stranom od 24 cm podudara se s pravim kutom trokuta. Druga dva leže na nogama. Treći pripada hipotenuze. Duljina jedne od nogu je 42 cm, što je područje pravokutnog trokuta?

Odluka. Razmislite o dva desna trokuta. Prvi je dan u zadatku. Drugi se temelji na poznatom kraku izvornog trokuta. Slični su, jer imaju zajednički kut i formiraju se paralelnim linijama.

Tada su odnosi njihovih nogu jednaki. Noge manjeg trokuta su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (zadana noga 42 cm oduzima stranu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm, a to je "x" koje je potrebno za izračun površine trokuta.

18/42 = 24 / x, tj. X = 24 x 42/18 = 56 (cm).

Tada je područje jednako proizvodu od 56 i 42, podijeljeno na dva, odnosno 1176 cm2.

Odgovor je. Potrebna površina je 1176 cm ² .