Kako pronaći kvadratni korijen? Svojstva, primjeri ekstrakcije korijena

25. 3. 2019.

Matematika je nastala kada je osoba shvatila sebe i počela se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da se mjeri, usporedi, izračuna ono što vas okružuje - to je bila osnova jedne od temeljnih znanosti naših dana. Isprva, to su bili dijelovi elementarne matematike, što nam je omogućilo povezivanje brojeva s njihovim fizičkim izrazima, kasnije su zaključci predstavljeni samo teoretski (na temelju njihove apstraktnosti), pa, nakon nekog vremena, kako je jedan znanstvenik rekao, "matematika je dosegla gornju granicu složenosti kada je nestala" sve brojeve. " Pojam "kvadratnog korijena" pojavio se u vrijeme kada ga je lako mogao poduprijeti empirijskim podacima, koji nadilaze ravninu računanja.

Kako je sve počelo

Prvi spomen korijena, koji je trenutno označen kao √, zabilježen je u spisima babilonskih matematičara, koji su inicirali modernu aritmetiku. Naravno, izgledali su pomalo kao sadašnji oblik - znanstvenici tih godina najprije su koristili glomazne tablete. No, u drugom tisućljeću prije Krista. e. izvedene su približne formule izračuna koje su pokazale kako izvaditi kvadratni korijen. Slika ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski znanstvenici izrezali proces ,2, i ispostavilo se da je tako istinito da je odstupanje u odgovoru pronađeno samo na desetom decimalnom mjestu. kvadratni korijen

Osim toga, korijen je korišten ako je potrebno pronaći stranu trokuta, pod uvjetom da su druga dva poznata. Pa, kad odlučuješ jednadžbe kvadrata Od vađenje korijena ne može ići nigdje.

Zajedno s babilonskim djelima, predmet članka je također proučavan u kineskom radu "Matematika u devet knjiga", a stari Grci su došli do zaključka da bilo koji broj iz kojeg se ne izvlači korijen bez ostatka daje iracionalan rezultat.

Podrijetlo ovog pojma povezano je s arapskim prikazom broja: drevni znanstvenici vjerovali su da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. U latinskom, ova riječ zvuči kao radix (možete pratiti uzorak - sve što ima korijen što znači opterećenje je suglasno, bilo da je to rotkvica ili radikulitis).

Znanstvenici sljedeće generacije su shvatili tu ideju, nazvavši je Rx. Primjerice, u XV. Stoljeću, da bi se ukazalo na to da je kvadratni korijen izdvojen iz proizvoljnog broja a, napisali su R2a. Poznato "krpelj" pojavio se tek u 17. stoljeću zahvaljujući Reneu Descartesu.

Naši dani

Sa stajališta matematike, kvadratni korijen y je takav broj z, čiji je kvadrat jednak y. Drugim riječima, z2 = y je ekvivalentno =y = z. Međutim, ta je definicija relevantna samo za aritmetički korijen, jer implicira ne-negativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, =y = z, gdje je z veći ili jednak 0. kvadratni korijen

Općenito, ono što radi definirati algebarski korijen, vrijednost izraza može biti i pozitivna i negativna. Dakle, zbog činjenice da z2 = y i (-z) 2 = y, imamo: =y = ± z ili =y = | z |.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici s razvojem znanosti samo povećana, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj, koje se ne izražavaju u suhoj računici. Primjerice, u usporedbi s takvim zabavnim fenomenima kao što je dan Pi, slavi se i praznik kvadratnog korijena. Označavaju se devet puta u stotinama godina, a određuju se prema sljedećem načelu: brojevi, koji označavaju dan i mjesec u redu, moraju biti kvadratni korijen godine. Zato sljedeći put slavimo ovaj praznik 4. travnja 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

  1. Kvadratni korijen proizvoda jednak je kvadratnom korijenu, pod uvjetom da su radikalni izrazi veći ili jednaki 0.
  2. Prilikom podizanja kvadratnog korijena, dovoljno je na tu snagu podići radikalni izraz, pod uvjetom da je veći od nule.
  3. Kvadratni korijen djelića jednak je korijenu numeratora podijeljen s korijenom nazivnika, pod uvjetom da je kvadratni korijen numeratora veći ili jednak 0, a kvadratni korijen nazivnika strogo je veći od 0.
  4. Radikalni izraz, ako je veći od nule, može se podijeliti na nekoliko dijelova, iz kojih je, pak, dopušteno izdvojiti korijen. Na primjer: =75 = *25 * 3 = 5√3.
  5. Pod znakom korijena, možete unijeti bilo koji broj, a podići ga u kvadrat. Na primjer: 5√8 = *25 * =8 = .200. sa strane trga

Praktički svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu ispod njih, ova sudbina i ,y, koja je definirana kao strana kvadrata s područjem y, nije pobjegla.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama za računanje. Najjednostavniji, ali prilično nezgrapan, uobičajeni je aritmetički izračun, koji se sastoji od sljedećeg:

1) iz broja čijeg korijena nam je potrebno oduzeti zauzvrat neparnih brojeva - dok je izlazna bilanca manja od odbitne, ili čak nule. Broj poteza i na kraju će biti željeni broj. Na primjer, izračunati kvadratni korijen od 25:

25-1 = 24

24-3 = 21

21-5 = 17

17-7 = 10

10-9 = 1

Sljedeći neparni broj je 11, ostalo je sljedeće: 1 <11. Broj poteza je 5, dakle korijen od 25 je 5. Čini se da je sve jednostavno i jednostavno, ali zamislite što morate izračunati iz 18769? izračun kvadratnog korijena Za takve slučajeve postoji dekompozicija u Taylorovom nizu:

1 (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n )) y n , gdje n uzima vrijednosti od 0 do

+ ∞, i | y | ≤1.

Grafički prikaz funkcije z = .y

Razmotrimo elementarnu funkciju z = ony na polju realnih brojeva R, gdje je y veći ili jednak nuli. Njen raspored je sljedeći: izračun kvadratnog korijena

Krivulja raste od izvora i nužno prelazi točku (1; 1).

Svojstva funkcije z = ony na polju realnih brojeva R

1. Domena razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti dotične funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je ponovno uključena).

3. Minimalna vrijednost (0) funkcije uzima samo u točki (0; 0). Nedostaje maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z = isy nije ni parna niti neparna.

5. Funkcija z = isy nije periodična.

6. Točka presjeka funkcije funkcije z = withy s osima koordinata je samo jedna: (0; 0).

7. Točka presjeka funkcije funkcije z = isy također je nula ove funkcije.

8. Funkcija z = continuouslyy kontinuirano raste.

9. Funkcija z = takesy uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njezin graf zauzima prvi koordinatni kut.

Varijante funkcije slike z = .y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik moći za pisanje kvadratnog korijena: =y = y 1/2 . Takva je opcija prikladna, na primjer, u podizanju funkcije na snagu: ()y) 4 = (y 1/2 ) 4 = y 2 . Ova metoda je također dobra ideja za diferencijaciju s integracijom, jer je zbog toga kvadratni korijen predstavljen običnom energetskom funkcijom.

A u programiranju, zamjena znaka √ je kombinacija slova sqrt. izračun kvadratnog korijena Valja napomenuti da je u ovom području kvadratni korijen vrlo tražen, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za izračune. Sam algoritam brojanja je vrlo složen i izgrađen je na rekurziji (funkciji koja sebe naziva).

Kvadratni korijen u složenom polju C

Uglavnom je to bio predmet ovog članka koji je potaknuo otvaranje polja. složenih brojeva C, budući da matematičari nisu bili opušteni s pitanjem dobivanja korijena jednakog stupnja od negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica, koju karakterizira vrlo zanimljivo svojstvo: njegov kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, dobivene su kvadratne jednadžbe i s negativnom diskriminantnom otopinom. U C, za kvadratni korijen, važna su ista svojstva kao u R, jedino što su ograničenja radikala uklonjena.