Složeni brojevi i akcije na njima

Kompleksni brojevi , u tradicionalnom smislu riječi, nisu brojevi koji se koriste u brojanju i mjerenju, već matematički objekti koji su definirani svojstvima prikazanim u nastavku.

Koristite 3 oblika kompleksnog broja: algebarski, eksponencijalni, trigonometrijski.

Algebarski oblik

Kompleksni brojevi označeni su izrazom ω + νi, gdje su ω i ν stvarni, a simbol i , određen uvjetom i ² - 1 - jedinica je imaginarna.

Prema tome, kompleksni broj ω + νi podijeljen je na stvarne i imaginarne dijelove. Radi jednostavnosti, ona je prikazana u jednom slovu (na primjer, η ): η = ω + νi .

Dijelovi kompleksnog broja η = ω + νi , stvarni i imaginarni, označeni su ω = Reη, ν = Itη .

Složeni brojevi smatraju se jednakima kada su njihovi stvarni i imaginarni dijelovi ekvivalentni. Smatra se da je kompleksni broj jednak nuli ako su njegovi dijelovi, stvarni i imaginarni, jednaki nuli.

Aritmetičke operacije

dodatak

Zbroj složenih brojeva je kompleksan broj, čiji je stvarni dio ekvivalent zbroja stvarnih dijelova, a imaginarni jednak zbroju imaginarnih dijelova:

η = (ω ₁ + ω ₂ ) + (ν ₁ + ν ₂ ) i.

Rečeno je da smo među kompleksom η stekli kao rezultat dodavanja brojeva kompleksa :

η = η ₁ + η _2.

Kompleks η ₁ i η ₂ nazivaju se pojmovima.

Zakoni postupka dodavanja:

1) zakon asocijativnosti;

2) zakon o komutativnosti ,

Kompleksno -bi-bi se naziva suprotnim ω + νi kompleksnim brojem. Zbroj suprotnih kompleksnih brojeva je nula.

razlika

Razlika između kompleksnih brojeva naziva se kompleksni broj η jednak zbroju broja η ₁ i broja nasuprot η ₂ :

η = η ₁ + (- η ₂ ) = (ω ₁ -ω ₂ ) + (ν ₁ -ν ₂ ) i.

Za broj kompleksa η rečeno je da je dobiven oduzimanjem η ₂ i η ₁ (kompleksni brojevi), te je zapisano:

η = η ₂ -η ₁ .

proizvod

Proizvod složenih brojeva je kompleksan broj:

η = (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i.

Za broj kompleksa η rečeno je da je dobiven množenjem η ₁ s η ₂ (brojevi η ₁ i η ₂ su složeni) i pišu:

η = η ₁ η ₂ .

Kompleks η ₁ i η ₂ nazivaju se množitelji.

Zakoni množenja kompleksnih brojeva:

1) zakon asocijativnosti ;

2) zakon o komutativnosti ,

podjela

Posebni kompleksni brojevi nazivaju se kompleksnim η takvim da η ₁ = η _1: η ₂ ( η2 0 ) . Privatni kompleksni brojevi izračunavaju se po formuli:

η = (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) / (ω ² + ν ² ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i / (ω ² + ν ² ).

Za broj η se kaže da je dobiven dijeljenjem η ₁ s η ₂ , te je zapisano:

η = η ₁ / η _{2 ,}

Dodavanje i množenje kompleksnih brojeva povezano je pravilom koje se naziva zakon distribucije u vezi s zbrajanjem .

Trigonometrijski kompleksni brojevi

Također koristite drugi oblik snimanja složenih brojeva, koji se naziva trigonometrijski.

Kompleksni broj ω + νi može se napisati kao:

η = k (cosβ + isinβ), gdje je k ² = ω ² + ν ² .

Ovaj izraz je oblik snimanja kompleksnih brojeva, koji se naziva trigonometrijski. Modul kompleksnog broja je stvarni broj k , a kut β , izmjeren u radijanima, je njegov argument.

Ako kompleksni broj nije nula, tada je njegov modul pozitivan; ako je η = 0 , drugim riječima, ω = ν = 0 , tada je njegov modul jednak nuli. Modul je definiran jedinstveno.

Produkt trigonometrijskih kompleksnih brojeva je modul kompleksnog broja, koji je ekvivalentan proizvodu faktora, odnosno njihovih modula, a argument je jednak zbroju argumenata faktora:

η ₁ η ₂ = k ₁ k ₂ [cos (β ₁ + β ₂ ) + isin (β ₁ + β ₂ )].

Privatni trigonometrijski kompleksni brojevi, koji nisu nula, je kompleksan broj, čiji je modul ekvivalentan djelomičnoj dividendi i djelitelju (njihovih modula), a argument je jednak razlici argumenata dividende i djelitelja:

η ₁ / η ₂ = k ₁ / k ₂ [cos (p ₁ -p2) + isin (p _1- p ₂ )].

Prirodni stupanj broja kompleksa

U matematici, n-ta snaga kompleksa η je kompleks w koji se nalazi kao rezultat množenja η kompleksa n puta po sebi: w = ηη ... η .

Obično se koristi kraći unos:

w = η ⁿ ,

u kojoj je broj η osnova stupnja, a n (prirodni broj) je eksponent.

N-ta snaga η (kompleksni broj), koja je dana u trigonometrijskom obliku, izračunava se po formuli:

η ⁿ = k ⁿ (cosnβ + isinnβ).

Ova formula se zove formula Moivre.