Kako izračunati dijagonalu prizme ravnog četverokuta?

Prizma je geometrijska volumetrijska figura čija se obilježja i svojstva proučavaju u srednjim školama. U pravilu, prilikom proučavanja, uzimaju se u obzir količine kao što su volumen i površina. U ovom članku ćemo otvoriti nešto drugačije pitanje: dajemo metodu za određivanje duljine dijagonala prizme primjerom četverokutnog oblika.

Koja se figura naziva prizma?

U geometriji je dana sljedeća definicija prizme: ona je trodimenzionalni oblik, ograničena s dvije poligonalne identične stranice koje su paralelne jedna s drugom i nizom paralelograma. Slika ispod prikazuje primjer prizme koja zadovoljava ovu definiciju.

Vidimo da su dva crvena peterokuta jednaka jedan drugome i nalaze se u dvije paralelne ravnine. Pet ružičastih paralelograma povezuje ove peterokute u jedan objekt - prizmu. Dva pentagona nazivaju se osnovama figure, a paralelogrami su bočna lica.

Prizme su ravne i kose, koje se također nazivaju pravokutnim i kosim. Razlika između njih je u kutovima između baze i bočnih strana. Za pravokutnu prizmu, svi ovi kutovi su 90 ^° .

Prema broju strana ili vrhova poligona u bazi, oni govore o prizmama trokutastim, peterokutnim, četverokutnim i tako dalje. A ako je ovaj poligon ispravan, a sama prizma ravna, tada se takav oblik naziva točnim.

Prizma prikazana na prethodnoj slici je peterokutna. Ispod je peterokutna ravna prizma, koja je ispravna.

Svi izračuni, uključujući i metodu određivanja dijagonale prizme, prikladno je izvesti točno za točne brojke.

Koji elementi karakteriziraju prizmu?

Elementi slike su sastavni dijelovi koji ga čine. Naime, za prizmu postoje tri glavne vrste elemenata:

• vrhovima;
• lica ili strane;
• rebra.

Lica su baze i bočne ravnine koje predstavljaju paralelograme u općem slučaju. U prizmi, svaka strana uvijek ima jednu od dvije vrste: ili poligon ili paralelogram.

Rubovi prizme su oni segmenti koji ograničavaju svaku stranu slike. Poput rubova, rubovi su također dva tipa: pripadaju bazi i bočnoj površini ili pripadaju samo bočnoj površini. Prvi je uvijek dva puta veći od drugog, bez obzira na vrstu prizme.

Vrha su točke presjeka triju rubova prizme, od kojih dvije leže u ravnini baze, a treće pripada dvjema bočnim stranama. Svi vrhovi prizme nalaze se u ravninama baze.

Brojevi opisanih elemenata povezani su u jednu jednakost, koja ima sljedeći oblik:

P = B + C-2.

Ovdje je P broj rubova, B - vrhova, C - strana. Ta se jednakost naziva Eulerovim teoremom za poliedar.

Slika prikazuje trokutastu ispravnu prizmu. Svatko može naći da ima 6 vrhova, 5 strana i 9 rubova. Ovi brojevi su u skladu s Eulerovim teoremom.

Dijagonalne prizme

Nakon svojstava kao što su volumen i površina, u problemima u geometriji, često se nalaze informacije o duljini dane dijagonale slike o kojoj se radi, koja se daje ili treba pronaći drugim poznatim parametrima. Razmotrite što su dijagonale prizme.

Sve dijagonale možemo podijeliti u dvije vrste:

1. Leži u ravnini lica. Oni povezuju ne-susjedne vrhove poligona na dnu prizme ili paralelogram bočne površine. Vrijednost duljina takvih dijagonala određuje se na temelju spoznaja o duljinama odgovarajućih rubova i kutova između njih. Za određivanje dijagonala paralelograma uvijek se koriste svojstva trokuta.
2. Leži unutar volumena prizme. Ove dijagonale povezuju ne-jedan-na-jedan vrhove dviju baza. Ove dijagonale u potpunosti su unutar slike. Njihova duljina je nešto teže izračunati nego za prethodni tip. Metoda izračuna uključuje uzimanje u obzir duljine rubova i baze, te paralelograma. Za ravne i pravilne prizme, izračun je relativno jednostavan, budući da se izvodi pomoću Pitagorina teorema i svojstava trigonometrijskih funkcija.

Ispod su primjeri izračunavanja različitih dijagonala.

Dijagonalne stranice četverokutne ravne prizme

Na gornjoj slici prikazana su četiri identična ravna prizme, a dati su i parametri njihovih rubova. Na prizmama Dijagonala A, Dijagonale B i Dijagonale C crvena crvena crta prikazuje dijagonalu tri različita lica. Budući da je prizma ravna s visinom od 5 cm, a njezina baza je predstavljena pravokutnikom sa stranama od 3 cm i 2 cm, lako je pronaći označene dijagonale. Da biste to učinili, upotrijebite Pitagorin teorem.

Duljina dijagonale osnove prizme (Dijagonala A) jednaka je:

D _A = √ (3 ² +2 ² ) = 13 ≈ 3,606 cm.

Za bočnu stranu prizme, dijagonala je (vidi Dijagonala B):

D _B = √ (3 ² + 5 ² ) = 34 ≈ 5.831 cm.

Konačno, duljina druge dijagonale je jednaka (vidi Dijagonala C):

D _C = √ (2 ² + 5 ² ) = 29 ≈ 5.385 cm.

Duljina unutarnje dijagonale

Sada izračunamo duljinu dijagonale četverokutne prizme, koja je prikazana na prethodnoj slici (Dijagonala D). To nije tako teško učiniti ako primijetite da je to hipotenuza trokuta, u kojoj će visina prizme (5 cm) i dijagonala D _A prikazane na slici na vrhu lijevo (Dijagonala A) biti noge. Tada ćemo dobiti:

D _D = √ (D _A ² + 5 ² ) = √ (2 ² +3 ² + 5 ² ) = 38 ≈ 6.164 cm.

Ispravna prizma četverokutna

Dijagonala pravilne prizme, čija je baza kvadrat, izračunava se na isti način kao u gornjem primjeru. Odgovarajuća formula je:

D = √ (2 x a ² + c ² ).

Gdje su a i c duljine osnovne i bočne strane, odnosno.

Napominjemo da smo u izračunima koristili samo Pitagorin teorem. Da bi se odredile duljine dijagonala regularnih prizmi s velikim brojem vrhova (peterokutna, šesterokutna i tako dalje), već je potrebno koristiti trigonometrijske funkcije.