Površina prizme. Područje baze i bočne površine. Područje baze trokutaste prizme

U prostornoj geometriji, kada se rješavaju problemi s prizmama, često postoji problem s izračunavanjem površine stranica ili lica koja tvore trodimenzionalne oblike. Članak je posvećen pitanju određivanja površine podnožja prizme i njezine bočne površine.

Brojka prizme

Prije nego što pređemo na razmatranje formula za osnovnu površinu i površinu prizme jedne ili druge vrste, potrebno je odrediti koja je to figura u pitanju.

Prizma u geometriji je prostorna figura koja se sastoji od dva paralelna poligona, koji su jednaki, i nekoliko četverokuta ili paralelograma. Broj ovog posljednjeg uvijek je jednak broju vrhova jednog poligona. Primjerice, ako je lik oblikovan s dva paralelna n-gona, tada će broj paralelograma biti n.

Paralelogramski spojni n-goni nazivaju se strane prizme, a njihova ukupna površina je površina bočne površine slike. Sami n-goni se nazivaju baze.

Gornja slika prikazuje primjer prizme od papira. Žuti pravokutnik je njegova gornja baza. Na drugom istom terenu stoji. Crveni i zeleni pravokutnici su bočna lica.

Kakve prizme postoje?

Postoji nekoliko vrsta prizmi. Svi se međusobno razlikuju samo po dva parametra:

• tip n-kuta, koji čini bazu;
• kut između n-kuta i bočnih strana.

Primjerice, ako su baze trokuti, onda se prizma naziva trokutasta, ako su četverokuti, kao u prethodnoj slici, onda se broj zove četverokutna prizma, i tako dalje. Osim toga, n-gon može biti konveksan ili konkavan, a to svojstvo također se dodaje nazivu prizme.

Kut između bočnih strana i baze može biti ravan ili oštar ili tup. U prvom slučaju govore o pravokutnoj prizmi, u drugom - o nagnutoj ili kosoj.

U posebnu vrstu likova dodijeliti ispravnu prizmu. Oni imaju najveću simetriju među ostalim prizmama. Bit će točna samo ako je pravokutna i njezina baza je pravilan n-gon. Na donjoj slici prikazan je niz ispravnih prizmi, u kojima se broj strana n-kotra mijenja od tri do osam.

Površina prizme

Pod površinom razmatranih figura proizvoljnog tipa razumijemo ukupnost svih točaka koje pripadaju licima prizme. Površina prizme prikladna je za proučavanje s obzirom na njegov razvoj. U nastavku je primjer takvog zamaha za trokutastu prizmu.

Vidljivo je da se cijela površina sastoji od dva trokuta i tri pravokutnika.

U slučaju prizme općeg tipa, njezina će se površina sastojati od dvije n-ugljične baze i n četverokuta.

Razmotrimo detaljnije pitanje izračuna površine prizmi različitih tipova.

Osnovna površina prizme je ispravna

Možda je najjednostavniji zadatak pri radu s prizmama problem pronalaženja područja baze ispravne figure. Budući da je formiran n-gonom, u kojem su svi kutovi i duljine stranica jednaki, uvijek se može podijeliti na identične trokute, u kojima su poznati kutovi i strane. Ukupna površina trokuta bit će područje n-kuta.

Drugi način određivanja dijela površine prizme (baze) je korištenje poznate formule. Ima sljedeći oblik:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

To jest, područje S _n n-kuta je jedinstveno određeno iz spoznaje o duljini njegove strane a. Neka teškoća u izračunavanju pomoću formule može biti izračun kotangensa, posebno kada je n> 4 (za n≤4, kotangens vrijednosti su tablični podaci). Za određivanje ove trigonometrijske funkcije preporučuje se korištenje kalkulatora.

Prilikom formuliranja geometrijskog problema treba voditi računa, budući da je možda potrebno pronaći područje baza prizme. Tada bi se vrijednost dobivena formulom trebala pomnožiti s dva.

Područje baze trokutaste prizme

Na primjeru trokutaste prizme razmatramo kako pronaći područje baze ove figure.

Prvo razmotrite jednostavan slučaj - ispravnu prizmu. Površina baze izračunava se pomoću formule iz gornjeg stavka, u nju treba zamijeniti n = 3. Dobivamo:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / =3 = √ 3/4 * a ²

Ostaje zamjena konkretnih vrijednosti duljine a strane jednakostraničnog trokuta izrazom da bi se dobila površina jedne baze.

Pretpostavimo sada da postoji prizma čija je baza proizvoljni trokut. Poznate su njegove dvije strane, a i b, te kut između njih α. Ova slika je prikazana ispod.

Kako u ovom slučaju naći područje baze prizme trokutasto? Mora se imati na umu da je površina bilo kojeg trokuta jednaka polovici proizvoda na strani i visini spuštenoj na ovoj strani. Na slici je prikazana visina h sa strane b. Duljina h odgovara proizvodu sinusa kuta alfa i duljini stranice a. Tada je površina cijelog trokuta jednaka:

S = 1/2 * b * h = 1/2 * b * a * sin (α)

To je područje podnožja prikazane trokutaste prizme.

Bočna površina

Izdvojili smo kako pronaći područje baze prizme. Bočna površina ove figure uvijek se sastoji od paralelograma. Za izravne prizme paralelogrami postaju pravokutnici, tako da je njihovu ukupnu površinu lako izračunati:

S = = _{i = 1} ⁿ (a _i * b)

Ovdje b je dužina bočnog ruba, a _i je dužina strane i-og pravokutnika, koja se podudara s duljinom strane n-kuta. U slučaju regularne n-kutne prizme dobivamo jednostavan izraz:

S = n * a * b

Ako je prizma nagnuta, tada odredite područje njegove bočne površine, napravite okomiti rez, izračunajte njegov perimetar P _sr i pomnožite ga s duljinom bočnog ruba.

Gore prikazana slika pokazuje kako napraviti ovu krišku za kosu peterokutnu prizmu.