Relativna i apsolutna pogreška: pojam, proračun i svojstva

U našim godinama, čovjek je izmislio i koristio veliku raznolikost različitih mjernih uređaja. No, bez obzira na to koliko su savršene proizvodne tehnologije, sve one imaju veću ili manju pogrešku. Ovaj je parametar, u pravilu, označen na samom instrumentu, a kako bi se procijenila točnost utvrđene količine, mora se moći razumjeti što znače brojevi označeni na oznaci. Osim toga, relativna i apsolutna pogreška neizbježno se javlja u složenim matematičkim izračunima. Široko se primjenjuje u statistici, industriji (kontrola kvalitete) iu brojnim drugim područjima. Kako se ta vrijednost izračunava i kako interpretirati njezinu vrijednost - to je upravo ono o čemu se radi u ovom članku.

Apsolutna pogreška

Neka je x približna vrijednost bilo koje vrijednosti, dobivena, na primjer, jednim mjerenjem, a x ₀ je njena točna vrijednost. Sada izračunamo modul razlike između ta dva broja. Apsolutna pogreška - to je upravo ono što smo dobili kao rezultat ove jednostavne operacije. U jeziku formula ova se definicija može napisati u ovom obliku: Δ x = | x - x 0 |

Relativna pogreška

Apsolutno odstupanje ima jedan važan nedostatak - ne dopušta procjenu stupnja važnosti pogreške. Primjerice, na tržište kupujemo 5 kg krumpira, a beskrupulozni prodavač je u svojoj mjeri koristio 50 grama za mjerenje težine. To jest, apsolutna pogreška bila je 50 grama. Za nas će takva pogreška biti sitnica i na to nećemo ni paziti. I zamislite što će se dogoditi ako se slična pogreška dogodi tijekom pripreme lijeka? Ovdje će sve biti mnogo ozbiljnije. A prilikom utovara teretnog vagona sigurno su odstupanja mnogo veća od te vrijednosti. Stoga je apsolutna pogreška sama po sebi neinformativna. Osim toga, vrlo često se izračunava dodatno odstupanje, koje je jednako omjeru apsolutne pogreške na točnu vrijednost broja. To se piše sljedećom formulom: δ = Δ x / x ₀ .

Svojstva pogreške

Pretpostavimo da imamo dvije neovisne vrijednosti: x i y. Moramo izračunati odstupanje od približne vrijednosti njihove sume. U ovom slučaju apsolutnu pogrešku možemo izračunati kao zbroj prethodno izračunatih apsolutnih odstupanja svake od njih. Kod nekih mjerenja može se dogoditi da se pogreške u određivanju vrijednosti x i y međusobno kompenziraju. I može se dogoditi da će se zbog dodatka odstupanja povećati do maksimuma. Stoga, kada se izračuna ukupna apsolutna pogreška, treba uzeti u obzir najgoru od svih opcija. Isto vrijedi i za razliku pogrešaka nekoliko veličina. Ovo svojstvo karakteristično je samo za apsolutnu pogrešku i ne može se primijeniti na relativna odstupanja, jer će to neizbježno dovesti do netočnog rezultata. Razmotrite ovu situaciju u sljedećem primjeru.

zadatak

Pretpostavimo da su mjerenja unutar cilindra pokazala da je unutarnji radijus (R ₁ ) 97 mm, a vanjski (R ₂ ) 100 mm. Potrebno je odrediti debljinu zida. Prvo pronađite razliku: h = R ₂ - R ₁ = 3 mm. Ako zadatak ne ukazuje na to koja je apsolutna pogreška jednaka, tada se uzima kao polovica podjele ljestvice mjerni uređaj. Dakle, Δ (R2) = Δ (R1) = 0.5 mm. Ukupna apsolutna pogreška je: Δ (h) = Δ (R2) + Δ (R1) = 1 mm. Sada izračunavamo relativno odstupanje svih količina:

8 (R1) = 0,5 / 100 = 0,005,

δ (R1) = 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ (h) = Δ (h) / h = 1/3 ≈ 0,3333 >> δ (R1).

Kao što možete vidjeti, mjerna pogreška oba radijusa ne prelazi 5,2%, a pogreška u izračunavanju njihove razlike - debljine zida cilindra - iznosila je čak 33, (3)%!

Slijedeće svojstvo glasi kako slijedi: relativno odstupanje proizvoda od nekoliko brojeva približno je jednako zbroju relativnih odstupanja pojedinačnih faktora:

δ (xy) ≈ δ (x) + δ (y).

Štoviše, ovo pravilo vrijedi bez obzira na broj procijenjenih vrijednosti. Treće i posljednje svojstvo relativne pogreške je da je relativna procjena k-tog broja snage približno u k | puta relativna pogreška izvornog broja:

δ (h ^k ) ≈ | k | x δ (x).