Glavni tipovi diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Nađite funkciju f pomoću neke zadane ovisnosti, koja uključuje samu funkciju s argumentima i njegovim derivatima. Ova vrsta problema je relevantna u fizici, kemiji, ekonomiji, tehnologiji i drugim područjima znanosti. Takve ovisnosti nazivaju se diferencijalne jednadžbe. Na primjer, y '- 2xy = 2 je diferencijalna jednadžba prvog reda. Pogledajmo kako se rješavaju ove vrste jednadžbi.

Što je ovo?

Jednadžba koja izgleda ovako:

• f (y, y ', ..., y ⁽¹⁰⁾ , y ⁽¹¹⁾ , ..., y ^(k) , x) = 0,

Naziva se obični difur i opisuje se kao jednadžba reda k, a ovisi o x i derivatima y ', y' ', ... - do k-og.

vrsta

U slučaju kada funkcija koja se nalazi u diferencijalnoj jednadžbi ovisi samo o jednom argumentu, tip diferencijalne jednadžbe naziva se običnim. Drugim riječima, u jednadžbi funkcija f i svi njezini derivati ​​ovise samo o argumentu x.

Kada tražena funkcija ovisi o nekoliko različitih argumenata, jednadžbe se nazivaju parcijalni diferencijalni derivati. Općenito govoreći, izgledaju ovako:

• f (x, f _x ', ..., y, f _y ' ..., z, ..., f _z '', ...),

gdje izraz f _x 'znači derivaciju funkcije s obzirom na argument x, a f _z ' 'je dvostruki derivat funkcije s obzirom na argument z, i tako dalje.

odluka

Lako je pogoditi što se točno smatra rješenjem diferencijala. jednadžbe. Ova funkcija, čija zamjena u jednadžbi daje isti rezultat na obje strane znaka jednakosti, naziva se rješenjem. Primjerice, jednadžba t '' + a ² t = 0 ima rješenje u obliku t = 3Cos (ax) - Sin (ax):

Nakon što smo pojednostavili jednadžbu 3, utvrdili smo da t '' + a ² t = 0 za sve vrijednosti argumenta x. Međutim, treba odmah napraviti rezervaciju. Jednadžba t = 3Cos (ax) - Sin (ax) nije jedino rješenje, već samo jedno od beskonačnog skupa, koje je opisano formulom mCos (ax) + nSin (ax), gdje su m i n proizvoljni brojevi.

Razlog za ovaj odnos je definicija primitivne funkcije u integralnom računu: ako je Q primitivna (točnije jedna od mnogih) za funkciju q, onda je q (x) dx = Q (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta koja je nulirana inverzno djelovanje - uzimanje izvedenice funkcije Q '(x).

Izostavljamo definiciju onoga što je rješenje jednadžbe k-tog reda. Nije teško zamisliti da što je veći redoslijed izvedenice, više konstanti nastaju u procesu integracije. Također treba pojasniti da gore opisana definicija rješenja nije potpuna. Ali za matematičare sedamnaestog stoljeća to je bilo dovoljno.

U nastavku ćemo razmotriti samo glavne vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Najosnovnije i najjednostavnije. Osim njih, postoje i druge razlike. jednadžbe: homogene, u punim diferencijalima i Bernoulli. No, rješenje svega često je povezano s metodom odvojivih varijabli, o čemu će se raspravljati u nastavku.

Odvajanje varijabli kao rješenja

F = 0 - je razlika. Jednadžba reda 1. Prilikom rješavanja ove vrste diferencijalnih jednadžbi, one se lako reduciraju na oblik y '= f. Tako je, na primjer, jednadžba e ^{y '} - 1 - xy = 0 reducirana na oblik y' = ln (1 + xy). Operacija reduciranja diferencijalne jednadžbe na ovaj oblik naziva se njezina rezolucija u odnosu na derivat y '.

Nakon što riješite jednadžbu, morate je dovesti u diferencijalni oblik. To se postiže množenjem svih dijelova jednakosti s dx. Iz y '= f dobivamo y'dx = fdx. S obzirom da je y'dx = dy, dobivamo jednadžbu u obliku:

• dy = f dx - što se naziva diferencijalni oblik.

Očito, y '= f (x) je najjednostavnija diferencijalna jednadžba prvog reda. Njegovo rješenje postiže se jednostavnom integracijom. Složeniji oblik je q (y) * y '= p (x), u kojem je q (y) funkcija ovisna o y, a p (x) je funkcija ovisna o x. Nakon što smo ga doveli u diferencijalni oblik, dobivamo:

• q (y) dy = p (x) dx

Lako je razumjeti zašto se jednadžba naziva podijeljena: njezina lijeva strana sadrži samo varijablu y, a desnu samo x. Takva se jednadžba rješava sljedećim teoremom: ako funkcija p ima primitivni P, a q ima Q, tada će difuralni integral biti Q (y) = P (x) + C.

Riješite jednadžbu z '(x) ctg (z) = 1 / x. Smanjivši tu jednadžbu na diferencijalni oblik: ctg (z) dz = dx / x; i uzimajući integral oba dijela gctg (z) dz = dx / x; dobivamo rješenje u općem obliku: C + ln | sin (z) | = ln | x |. Radi ljepote, ova se jednadžba može zapisati u drugom obliku pomoću pravila logaritama, ako postavimo C = ln W - dobivamo W | sin (z) | = | x | ili još jednostavnije, WSin (z) = x.

Jednadžbe oblika dy / dx = q (y) p (x)

Odvajanje varijabli može se primijeniti na jednadžbe oblika y '= q (y) p (x). Potrebno je samo uzeti u obzir slučaj kada q (y) za neki broj nestaje. To jest, q (a) = 0. U ovom slučaju, funkcija y = a je rješenje, jer za nju y '= 0, dakle, q (a) p (x) je također nula. Za sve ostale vrijednosti, gdje q (y) nije jednako 0, možemo napisati diferencijalni oblik:

• p (x) dx = dy / q (y),

integrirajući, dobijte zajedničko rješenje.

Riješite jednadžbu S '= t2 (Sa) (Sb). Očito, korijeni jednadžbe su brojevi a i b. Dakle, S = a i S = b su rješenja ove jednadžbe. Za ostale vrijednosti S imamo diferencijalni oblik: dS / [(Sa) (Sb)] = t ² dt. Odakle je lako dobiti zajednički integral.

Jednadžbe oblika H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0

Rješavanjem ove vrste jednadžbe za y 'dobivamo: y' = - C (x) D (y) / A (x) B (y). Diferencijalni oblik ove jednadžbe bit će kako slijedi:

• W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0

Da bismo riješili ovu jednadžbu, moramo uzeti u obzir nula slučajeva. Ako je a korijen W (x), onda je x = a integral, jer iz toga slijedi da je dx = 0. Slično tome, u slučaju ako je b korijen M (y). Onda za raspon vrijednosti x za koje W i M ne nestaju, moguće je podijeliti varijable dijeljenjem s izrazom W (x) M (y). Tada se izraz može integrirati.

Mnogi tipovi jednadžbi, na koje na prvi pogled nije moguće primijeniti odvajanje varijabli, dokazuju se kao takvi. Na primjer, u trigonometriji, to se postiže identičnim transformacijama. Također je često prikladno imati i neku duhovnu zamjenu, nakon čega će se moći koristiti metoda odvojenih varijabli. Vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda mogu izgledati vrlo različito.

Linearne jednadžbe

Jednako važan tip diferencijalnih jednadžbi, čije rješenje dolazi zamjenom i reducira ih na metodu odvojenih varijabli.

• Q (x) y + P (x) y '= R (x) - je jednadžba koja je linearna kada se razmatra s obzirom na funkciju i njezin derivat. P, Q, R - su kontinuirane funkcije.

Za slučajeve kada P (x) nije jednak 0, moguće je reducirati jednadžbu na oblik riješen s obzirom na y ', dijeleći sve dijelove s P (x).

• y '+ h (x) y = j (x), u kojem su h (x) i j (x) omjeri funkcija Q / P i R / P.

Rješenje za linearne jednadžbe

Linearnu jednadžbu možemo nazvati homogenom u slučaju kada je j (x) = 0, tj. H (x) y + y '= 0. Takva se jednadžba naziva homogena i lako se odvaja: y' / y = -h (x). Integrirajući ga, dobivamo: ln | y | = -H (x) + ln (C). Gdje je y izraženo u obliku y = Ce- ^{H (x)} .

Na primjer, z '= zCos (x). Izdvajajući varijable i reducirajući jednadžbu na diferencijalni oblik, a zatim integrirajući, dobivamo da će opće rješenje imati izraz y = Ce ^{Sin (x)} .

Neujednačena je linearna jednadžba u svom općem obliku, tj. J (x) nije jednaka 0. Njegovo rješenje sastoji se od nekoliko stupnjeva. Najprije trebate riješiti homogenu jednadžbu. To jest, izjednačiti j (x) s nulom. Neka je u jedno od rješenja odgovarajuće homogene linearne jednadžbe. Tada vrijedi identitet u '+ h (x) u = 0.

Izvedite u y '+ h (x) y = j (x) promjenu oblika y = uv i get (uv)' + h (x) uv = j (x) ili u'v + uv '+ h (x) uv = j (x). Nakon što smo doveli jednadžbu u oblik u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), možemo vidjeti da u prvom dijelu u '+ h (x) u = 0. Gdje ćemo dobiti v' (x) = j (x) / u (x). Odavde izračunavamo antiderivativnu =v = V + S. Nakon obrnute zamjene nalazimo y = u (V + C), gdje je u rješenje homogene jednadžbe, a V primitivni odnos j / u.

Pronađite rješenje za jednadžbu y'-2xy = 2, što se odnosi na vrstu diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Da biste to učinili, najprije odlučite homogena jednadžba u '- 2xu = 0. Dobiva se u = e ^2x + C. Za jednostavnost, rješenje je postavljeno na C = 0, jer za rješavanje problema potrebna nam je samo jedna od rješenja, a ne sve vrste opcija.

Zatim zamjenimo y = vu i dobijemo v '(x) u + v (u' (x) - 2u (x) x) = 2. Tada: v '(x) e ^2x = 2, odakle v' (x) ) = 2e- ^2x . Tada je primitivni V (x) = -∫e -2x d (-2x) = - e ^-2x + C. Kao rezultat toga, opće rješenje za y '- 2xy = 2 je y = uv = (-1) (e ^2x + C) ^e2x = ^-l -Ce- ^2x .

Kako odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe? Da biste to učinili, riješite ga s obzirom na izvedenicu i pogledajte možete li koristiti metodu razdvajanja varijabli izravno ili zamjenom.