Što je predikat: definicija i primjeri

Što je predikat? Ta se riječ nalazi u lingvistici, matematici, filozofiji i programiranju. Ali zar ne može biti tako da u ovim vrlo različitim znanostima ta riječ ima isto značenje? Matematička logika daje svoje vlastito posebno tumačenje ovog pojma. Počnimo s tim.

Predikat u matematici

U matematičkoj logici, predikat se obično shvaća kao funkcija P: X → {true, false}, nazvan predikat X. Međutim, predikati imaju mnogo različitih aplikacija i tumačenja u matematici i logici, a njihova točna definicija, značenje i uporaba variraju od teorije do teorije. Tako, na primjer, ako teorija definira pojam relacije, onda je predikat jednostavno karakteristična funkcija, inače poznata kao indikatorska funkcija odnosa. Međutim, nisu sve teorije povezane ili utemeljene na teoriji skupova, pa morate biti oprezni s ispravnom definicijom i semantičkom interpretacijom predikata.

Istina ili laž

Ako još uvijek ne razumijete što je predikat u matematici, vrijedi se detaljnije osvrnuti na to. Neformalno, predikat je izjava koja može biti istinita ili netočna, ovisno o vrijednostima njegovih varijabli. Može se misliti kao operator ili funkcija koja vraća vrijednost koja je istinita ili netočna. Na primjer, predikati se ponekad koriste za određivanje skupa elemenata: kada govorimo o skupovima, ponekad je neprikladno ili nemoguće opisati skup navođenjem svih njegovih elemenata. Dakle, predikat P (x) će biti istinit ili netočan, ovisno o tome pripada li x skupu.

Svojstva objekta

Predikati u matematičkoj logici su također široko korišteni da bi se govorilo o svojstvima objekata, definirajući skup svih objekata koji imaju zajedničko svojstvo. Tako, na primjer, kada je P predikat X, ponekad se može reći da je P svojstvo X. Slično tome, oznaka P (x) se koristi za označavanje rečenice ili izjave P u odnosu na objekt varijable X. Skup definiran s P (x) se piše kao { x | P (x)} i skup objekata za koje je P istinit.

Na primjer, {x | x je pozitivan cijeli broj manji od 4} je skup {1,2,3}.

Ako je t element skupa {x | P (x)}, tada je tvrdnja P (t) istinita.

Ovdje se P (x) naziva predikatom, a x je rezervirano mjesto. Ponekad se P (x) naziva i propozicijskom funkcijom, jer svaki izbor s X stvara rečenicu.

Jednostavan oblik predikata (P) je boolean izraz, au ovom slučaju ulazi u izraz sami su vrijednosti kombinirane korištenjem boolean operacija. Booleov izraz s skupom predikatne istine složeniji je fenomen.

Formalna definicija

• Točna semantička interpretacija atomske formule i atomske rečenice razlikovat će se od teorije do teorije.
• U propozicijskoj logici, atomske formule nazivaju se propozicijskim varijablama. U određenom smislu, to su predikati s nultim vrijednostima.
• U logici prvog reda, atomska formula se sastoji od predikatnog simbola koji se primjenjuje na odgovarajući broj članova.
• U teoriji skupova predikati se shvaćaju kao karakteristične funkcije ili definiraju funkcije pokazatelja, odnosno funkcije od danog elementa do vrijednosti istine.
• Metoda konstruiranja vrsta prosudbi koristi predikate kako bi ih se odredilo.
• U auto-epistemičnoj logici, koja odbacuje zakon isključenog sredina, predikati mogu biti istiniti, lažni, ili jednostavno nepoznati, to jest, ovaj skup činjenica možda nije dovoljan da bi se utvrdila istina ili neistina predikata.
• U neizrazitoj logici predikati su karakteristične funkcije distribucije vjerojatnosti. To jest, stroga istinita / lažna procjena predikata zamjenjuje se vrijednošću koja se tumači kao stupanj istine.

Gramatički predikat

U gramatičkim teorijama postoje dva konkurentna predikatna koncepta. Konkurencija između ta dva pojma stvorila je konfuziju u pogledu upotrebe izraza "predikat" u gramatičkim teorijama. Dakle, što je predikat? Ovaj članak pokriva oba ova pojma.

Prvi se pojam odnosi na tradicionalnu gramatiku, koja smatra da je predikat jedan od dva glavna dijela rečenice, a drugi je predmet. Svrha predikata je dovršiti ideju subjekta, na primjer, što radi ili što je.

Drugi koncept izveden je iz rada u predikatnom računu (logika predikata, logika prvog reda) i istaknut je u modernim teorijama sintakse i gramatike. U tom pristupu, rečenica predikata u osnovi odgovara glavnom glagolu i svim pomoćnim sredstvima koja prate glavni glagol. Istodobno, njegovi argumenti (na primjer, imenice) nalaze se izvan predikata.

U tradicionalnoj gramatici

Pojam P u tradicionalnoj gramatici inspiriran je propozicijskom logikom antike (za razliku od modernije logike predikata). Predikat se smatra svojstvom koje subjekt ima. Stoga je predikat izraz koji može biti istinit. Dakle, izraz "potezi" vrijedi za sve što se kreće. To daje odgovor na pitanje što je predikat.

Takvo klasično razumijevanje predikata bilo je više ili manje izravno u latinskom i grčkom gramatiku, a odatle je upadalo u gramatiku engleskog i ruskog jezika, gdje se izravno primjenjuje na analizu strukture rečenice. Ovo razumijevanje P također se koristi u rječnicima na engleskom jeziku.

Predmet i Predikat

Predikat je jedan od dva glavna dijela rečenice (drugi je predmet koji predikat modificira). Mora sadržavati glagol, a glagol zahtijeva ili dopušta drugim elementima da popune predikat.

Predikat daje informacije o subjektu: što je to, što subjekt radi, ili što je objekt. Veza između subjekta i njegovog predikata ponekad se naziva jezikom predikata. Njegova nominalna vrijednost je imenska fraza. Na primjer, u izrazu "George III - kralj Engleske", kralj Engleske je predikativni nazivnik. Subjekt i predikativna vrijednost moraju biti povezani poveznim glagolom, koji se također naziva kopula. Predmet i predikativni pridjev također moraju biti povezani zajedno.

U sintaksi

Sintaktik P ukazuje na sintaktičku valjanost uporabe djela u formalnoj gramatici i sličan je semantičkom predikatu koji određuje semantičku realnost primjene djela. U svojoj početnoj implementaciji sintaktički predikati imali su oblik “(α)?” I mogli bi se pojaviti samo na lijevom rubu djela. Neophodan sintaktički uvjet α može biti bilo koji valjani fragment gramatike bez konteksta.

Formalno, sintaktički predikat je oblik proizvodnog raskrižja koji se koristi u specifikacijama parsera ili u formalnim gramatikama. U tom smislu pojam ima značenje matematičke funkcije pokazatelja. Ako su p1 i p2 proizvodna pravila, jezik koji generiraju i p1 i p2 je njihovo dano raskrižje.

Reflektivni gramatički izrazi (PEGs), koje je izumio Brian Ford, proširuju ove jednostavne P, dopuštajući im da se pojave bilo gdje unutar proizvodnje zajedno s "ne-predikatima". Štoviše, Ford je izumio postupak parsiranja za obradu ovih gramatika u linearnom vremenu.

Ovaj pristup je implementiran u ANTLR verziji 3, koja koristi determinističke državne strojeve za gledanje. To može zahtijevati testiranje predikata za odabir između sintaktičkih prijelaza (takozvani “pre-LL (*)” parsiranje).

U modernim teorijama sintakse

Većina modernih teorija sintakse i gramatike potječe iz teorije predikatnog računa povezane s Gottlob Fregeom. To razumijevanje vidi predikate kao odnose ili funkcije koje stoje iznad argumenata. Koriste se ili za dodjeljivanje svojstava jednom argumentu, ili za međusobno povezivanje dva ili više argumenata. Prijedlozi se sastoje od predikata i njihovih argumenata (i dodataka) i stoga su strukture argumenta predikata. U skladu s njima, ovaj P se smatra da povezuje svoje argumente s većom strukturom.

Predikati su postavljeni lijevo izvan zagrada, dok su njihovi argumenti smješteni unutar zagrada. Jedan prepoznaje valantnost predikata, prema kojoj može biti dostupna (nije prikazana), monovalentna, dvovalentna ili trovalentna. Ovi tipovi reprezentacija slični su formalnim semantičkim analizama, gdje govorimo o pravilnom obračunavanju činjenica kvantifikatora i logičkih operatora. Međutim, s obzirom na osnovnu strukturu rečenice, ovi prikazi prije svega pretpostavljaju da su glagoli predikati, a imenice koje se pojavljuju su njihovi argumenti. S tim razumijevanjem rečenice, binarna podjela rečenice na subjekt NP i predikat VP jedva je moguća. Umjesto toga, glagol je predikat, a imenice su njegovi argumenti.

U logici

Logika prvog reda, također poznata kao račun predikata prvog reda i logika predikata, skup je formalnih sustava koji se koriste u matematici, filozofiji, lingvistici i računalnoj znanosti. Logika prvog reda koristi kvantizirane varijable nad objektima i omogućuje korištenje rečenica koje sadrže varijable. To ga razlikuje od propozicijske logike, koja ne koristi kvantifikatore ili odnose.

Logika prvog reda

Takve teorije, u pravilu, dio su logike prvog reda, zajedno s određenim područjem diskursa, u kojem se kvantificirane varijable razlikuju. Ponekad se teorija razumije u formalnom smislu, a to je samo skup rečenica u logici prvog reda.

Korišteni pridjevi razlikuju logiku prvog reda od logike višeg reda, u kojoj postoje, imajući definiranje predikata ili funkcija kao argumente, ili u kojima je dopušten jedan ili oba predikatna kvantifikatora ili kvantifikator funkcije. U teorijama prvog reda predikati se često povezuju s skupovima. U interpretativnim teorijama višeg reda one se mogu tumačiti kao skupovi. Nešto slično se koristi u definiranju predikata u programiranju. To ne čudi, jer je matematika postala neka vrsta sirovine za ovu znanost.

Teorijski dio

Postoje mnogi deduktivni sustavi za vrste prosudbi i logike prvog reda, koji su oba zvučni (sve dokazive tvrdnje istinite u svim modelima) i potpune (tvrdnje koje su istinite za sve modele su dokazive). Iako je odnos logičke posljedice samo polupropustljiv, u automatiziranom teoremu dokazanom u logici prvog reda postignut je značajan napredak. Logika prvog reda također zadovoljava nekoliko metaloloških teorema koji ga čine pogodnim za analizu u teoriji dokaza, kao što su Levenheim-Skolem teorem i teorem kompaktnosti.

Logika prvog reda je standard za formalizaciju matematike u aksiomima i proučava se u temeljima matematike. Peano aritmetika i Zermelo-Fraenkelova teorija skupova su aksiomatizacije teorije brojeva i teorija skupova, odnosno dio su logike prvog reda. Međutim, teorija prvog reda nema sposobnost jedinstvenog opisivanja strukture s beskonačnom regijom, na primjer prirodni brojevi. Aksiomski sustavi koji u potpunosti opisuju te dvije strukture (tj. Kategorički sustavi aksioma) mogu se dobiti u jačim oblicima logike, kao što je logika drugog reda.

Osnove logike prvog reda samostalno su razvili Gottlob Frege i Charles Sanders Pierce.