Kako se zove četverokut s pravim kutovima?
Proučavanje geometrije započinje razmatranjem jednostavnih figura na ravnini koje je lako zamisliti koristeći apstraktnu maštu. Jedna od takvih figura je četverokut s pravim kutovima. U trećem razredu općeobrazovnih škola počinju se upoznavati s njim i detaljno istraživati njegova svojstva u višim razredima. Razmotrite glavne karakteristike ove slike u članku, a također navedite primjere njezine uporabe u svakodnevnom životu.
Kako se zove četverokut s pravim kutovima?
Riječ "četverokut" kaže da se dotična figura sastoji od četiri ugla. Na ravnini će biti zatvorena samo ako ima četiri ravne strane. Ako su suprotne strane međusobno paralelne, tada se takva figura naziva paralelogram. Njegova četiri ugla su parno jednaka, ali mogu imati proizvoljne vrijednosti od 0 o do 180 o . Ako su svi njegovi kutovi jednaki 90 o , onda se nazivaju ravnim. Četverokut s pravim kutovima je pravokutnik, a istovremeno je i paralelogram.
Pravokutnik karakteriziraju samo dva parametra: duljine susjednih strana. Nadalje, u članku ćemo ih označiti a i b. Ako su te duljine jednake jedna drugoj, pravokutnik se degenerira u kvadrat.
Kvadratna formula
Pravokutnik je savršena figura na koju se osoba tijekom svoje životne aktivnosti pokušava uklopiti okolne objekte, na primjer, ciglu, oblik dvorišta ispred kuće, računalni monitor i tako dalje. Stoga je često problem izračunavanja površine pravokutnika.
Izračunajte površinu dotične figure nije teško. Budući da je pravokutnik paralelogram, njegova se površina izračunava kao produkt dviju duljina: visina, spuštena na nekoj strani i ova strana. Visina paralelograma nalazi se kao proizvod sinusa jednog od njegovih uglova i njegove strane. Budući da razmatramo određenu vrstu paralelograma - pravokutnik, sinus pravog kuta jednak je jednom, što znači da tražena formula za područje ima sljedeći oblik:
S = a * b
Područje četverokuta s pravim kutom jednako je produktu duljina njegove dvije ne-paralelne strane.
Ispod će biti prikazano kako pronaći područje pravokutnika ako su njegovi drugi elementi poznati, na primjer, duljina dijagonale.
Dijagonalni pravokutnik
Slika ispod prikazuje proizvoljni četverokut s pravim kutovima i njegove dvije dijagonale.
Vidljivo je da se dijagonale dijele na dva dijela suprotnim pravim kutovima figure. Točku križanja dijagonala označit ćemo simbolom C. To je važno jer je to središte simetrije figure. Duljine obje dijagonale jednake su.
Dijagonale dijele pravokutnik na četiri jednakokraka trokuta, za koje je lako izračunati duljine stranica i područja. Svaka dva trokuta čije baze leže na stranicama jednake duljine pravokutnika su iste.
Ako držite jednu dijagonalu, pravokutnik će se podijeliti na dva apsolutno jednaka desna trokuta. Ta činjenica omogućuje vam da s pitagorejskim tioremom izračunate duljinu dijagonale, znajući noge trokuta. Slika ispod pokazuje kako pronaći kvadrat dijagonale c pravokutnika. Ovdje je dijagonala hipotenuza, a strane pravokutnika odgovaraju nogama trokuta.
Tada će vrijednost duljine c biti jednaka:
c = √ (a 2 + b 2 )
Pravokutnik simetrije
Kao što je napomenuto, središte njegove simetrije je točka C koju tvore dijagonale koje se križaju. Uzimajući u obzir sliku na ravnini, možemo reći da je os koja prolazi kroz ovu točku i paralelna s dvije strane pravokutnika je os simetrije drugog reda, to jest, okretanje oko 180 o će prevesti pravokutnik u sebe. Budući da razmatrani četverokut ima dva para paralelnih strana, očito je da ima dvije specificirane osi simetrije.
Os simetrije dijeli oblik na dva identična pravokutnika sa stranama:
a i b / 2 ili b i a / 2
Neka geometrijska svojstva pravokutnika
Budući da dotična figura ima određenu simetriju, ima prave kutove i parne paralelne strane, za nju je moguće identificirati niz važnih svojstava koja se koriste u praksi. Nabrojili smo ih:
- Svaka linija koja prolazi kroz središte C slike siječe je na dvije točke na istoj udaljenosti od točke C. Maksimalna udaljenost od C do strane dijagonale pravokutnika je pola duljine njegove dijagonale, minimalna udaljenost jednaka je polovici duljine njegove kraće strane.
- Ako jednu stranu pravokutnika podijelimo na pola, a zatim povezujući tu točku s vrhovima suprotne paralelne strane, dobivamo jednakokračan trokut s površinom koja je jednaka polovici površine pravokutnika.
- Ako je gore opisana točka pomaknuta od središta strane do jednog ili drugog kraja, tada će se prekršiti jednakokrake označenog trokuta, ali će njegovo područje ostati nepromijenjeno.
- Bilo koji pravokutnik može se unijeti u krug.
Prvo svojstvo je očigledno, budući da će svaka pravac koji prolazi kroz C sijeći paralelne strane oblika. Dokazujemo preostala svojstva.
Dokaz o svojstvima 2, 3 i 4
Najprije razmatramo svojstva 2 i 3. Donja slika prikazuje pravokutnik s tri trokuta na svojim stranama:
ABC 1 , ABC 2 i ABC 3
Prema formuli za pronalaženje područja trokuta, za njih se može pisati:
S1 = 1/2 * h 1 * AB;
S2 = 1/2 * h2 * AB;
S 3 = 1/2 * h 3 * AB
Može se vidjeti da su sve visine h i razmatranih trokuta jednake duljini stranice h pravokutnika. To znači da su njihova područja jednaka:
S1 = S2 = S3
Sada napišemo formulu za područje S pravokutnika i podijelimo S područjem jednog od prikazanih trokuta, dobivamo:
S = AB * h;
S / S 1 = AB * h / (1/2 * h * AB) = 2
Dakle, pravokutnik ima područje dva puta veće od bilo kojeg prikazanog trokuta, to jest, dokazali smo drugo i treće svojstvo.
Što se tiče mogućnosti upisivanja četverokuta pravim kutom u krug, ovdje je potrebno argumentirati kako slijedi: crtamo dijagonale figure, presijecamo u točki C. Budući da je ova točka na istoj udaljenosti od četiri vrha pravokutnika, može poslužiti kao središte kruga. Ako je polumjer kruga jednak polovici duljine dijagonale, onda će kružna linija proći kroz sva četiri vrha pravokutnika, tj. Bit će upisana u nju.
Je li četverokut s jednim kutom, pravokutnik?
Odgovor na pitanje bit će pozitivan samo ako je dotični četverokut paralelogram. U tom slučaju, ako je jedan kut jednak 90 o , druga dva susjedna kuta također će biti ravna, što znači da će četvrti kut također biti jednak 90 o . U četverokutu smo pronašli sve prave kutove, što znači da je pravokutnik.
Ako četverokut s jednim pravim kutom nema paralelne stranice u paru, onda to neće biti pravokutnik.
Gdje se koristi pravokutnik i njegova svojstva?
U proizvodnji tetradnih ploča koristi se pravokutni oblik, a omjer dužine veće strane prema manjoj je √2. Ovaj oblik slike dovodi do činjenice da, ako je podijeljen na pola simetričnom osi paralelnom većoj strani, tada će dva nova formirana pravokutnika imati omjer širine ratio2. Takva se podjela može nastaviti do beskonačnosti, dok će se oblik nastalih pravokutnika održavati.
Pravokutni oblik koristi se u proizvodnji televizijskih ekrana. Prije ere tekućih kristala (LCD) monitori su koristili elektronske zrake, čiji je omjer ekvivalentan 4: 3. S pojavom LCD monitora visoke rezolucije, počeli su primjenjivati novi standard: 16: 9.
Mozaik, koji krasi zidove zgrada, također ima oblik četverokuta s pravim kutovima.
Izračunavanje površine figure duž dijagonale
Članak zaključujemo razmatranjem pitanja izračunavanja površine četverokuta čije su točke pravih kuteva povezane dijagonalom. Izračunajte površinu suvremenog LCD monitora, ako je poznato da je njegova dijagonala c = 35 cm.
Taj se problem može riješiti jer monitor ima standardizirani omjer širine i visine 16: 9. Označavajući x nepoznatim koeficijentom, dobivamo duljine stranica monitora:
a = 16 x x;
b = 9 * x
Sada primjenjujemo formulu za određivanje dijagonale, dobivamo:
c 2 = a 2 + b 2 =>
35 2 = x 2 * (16 2 + 9 2 ) =>
x = 35 / √ (16 2 + 9 2 ) ≈ 1.9
Tada su stranice monitora i njegova područja jednake:
a = 16 x x = 30,4 cm;
b = 9 x x = 17,1 cm;
S = a * b ≈ 520 cm2
Još jednom napominjemo da se područje može odrediti vrijednošću dijagonale samo ako je poznat omjer stranica pravokutnika.