Viša matematika: ravnina u prostoru

12. 5. 2019.

Drugi nakon ravne crte važan element prostorne geometrije je ravnina. Sposobnost da se opiše jednadžbom omogućuje izračunavanje prostornih kutova i visina za različite trodimenzionalne oblike. U ovom članku dajemo sve vrste jednadžbi koje opisuju ravninu u prostoru. Također razmotrite moguće opcije za međusobno raspoređivanje zrakoplova.

Geometrijski koncept ravnine

U dvodimenzionalnoj geometriji ravnina se ne razmatra, jer se svi problemi rješavaju samo u x i y koordinatama. Kada dodamo treću koordinatnu os z, ravnina postaje važan geometrijski element.

Pod pojmom "avion" podrazumijeva se skup točaka, od kojih svaka dva, ako je povezan, rezultirajući vektor uvijek će biti okomit na neki dani vektor. Taj se vektor naziva normalnim. Normalna igra važnu ulogu u numeričkom opisu ravnine, a njezina se svojstva koriste za rješavanje različitih problema.

Na donjoj slici prikazane su tri ravnine u prostoru (plava) koje se siječe u četvrtoj (crvenoj) boji.

Položaj zrakoplova u prostoru

Opća jednadžba

Gornja definicija pomoći će dobiti jednadžbu za ravninu u prostoru u koordinatama. Pretpostavimo da postoji neka točka s poznatim koordinatama Q (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Poznato je da leži u određenoj ravnini, kojoj je norma jednaka n¯ (A; B; C). Pretpostavimo sada da proizvoljna točka M (x; y; z) također pripada toj ravnini. Ovo posljednje znači da će vektori QM i np biti okomiti, tj. Njihov skalarni proizvod nestaje. Stoga možemo napisati sljedeću jednakost:

(QM¯ * n¯) = 0.

Zamjenom koordinata i otvaranjem zagrada dolazimo do jednadžbe:

(xx 0 ) * A + (yy 0 ) * B + (zz 0 ) * C = 0 =>

A * x + B * y + C * z + D = 0, gdje je D = -1 * (A * x 0 + B * y 0 + C * z 0 ).

Rezultirajuća jednadžba za ravninu naziva se opća. Ima isti oblik kao i opća jednadžba za izravnu jednadžbu na ravnini. Može se vidjeti da koeficijenti koji se suočavaju s varijablama x, y i z nisu ništa drugo nego koordinate okomite ravnine vektora. Zove se režiranje.

Imajte na umu da ako je, dok dobivamo opću jednadžbu, određenu točku Q nepoznato, a postoji samo pravac smjera np, tada dolazimo do jednadžbe za skup paralelnih ravnina koje se razlikuju samo u parametru D.

Djelomična jednadžba

Kada se prikazuju ravnine u prostoru, kada se daju specifične osi koordinata, najlakše je održavati geometrijske konstrukcije ako postoje točke gdje ravnina presijeca te osi. Izraz koji vam omogućuje da pronađete koordinatne vrijednosti sjecišta ravnine s x, y i z osi naziva se intervalna jednadžba. To se može postići izvođenjem nekih matematičkih transformacija s općom jednadžbom.

Pretpostavimo da je poznata sljedeća jednadžba:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Prebacite slobodni pojam D na desnu stranu jednadžbe, a zatim podijelite obje strane jednadžbe tako da je jedinica na desnoj strani. Imamo:

A * x + B * y + C * z = -D =>

x / (- D / A) + y / (- D / B) + z / (- D / C) = 1 ili

x / p + y / q + z / r = 1, gdje je p = -D / A, q = -D / B, r = -D / C.

Dobiveni izraz naziva se jednadžbom u segmentima, a duljine segmenata koji su odrezani na osi x, y i z, počevši od točke (0; 0; 0), imaju vrijednosti p, q i r. To se može provjeriti na sljedeći način: ako pretpostavimo da su koordinate duž osi y i z jednake nuli, tada se dobiva x jednako q. To jest, sjecište s osi x ima koordinate (p; 0; 0). Slično tome, tvrdeći, dobivamo preostale dvije koordinate (0; q; 0) i (0; 0; r).

Parametarska vektorska jednadžba

Ravnina i vektor

Ovo je treći važan tip jednadžbe, koji se također često koristi u rješavanju problema. Gore je pokazano da je ravnina jedinstveno definirana točkom i normalnim vektorom. Međutim, ovaj geometrijski dvodimenzionalni objekt moguće je odrediti na drugačiji način.

Pretpostavimo da postoje dva koplanarna vektora koji nisu paralelni jedan s drugim. Označavamo ih s u¯ (a 1 ; b 1 ; c 1 ) i v¯ (a 2 ; b 2 ; c 2 ). Točka Q (x 0 ; y 0 ; z 0 ) je također poznata. Koja će biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz ovu točku i dva vektora?

Na ovo pitanje možete odgovoriti općenito pomoću jednadžbe. Međutim, taj ćemo problem riješiti na drugi način. Podsjetimo se da se bilo koji vektor ravnine može rastaviti na dva druga koplanarna vektora, koji također pripadaju ovoj ravnini. To znači da se proizvoljni vektor QP¯, gdje je P (x; y; z), može prikazati kao:

QP¯ = α * u¯ + β * v¯.

Prolazeći kroz sve točke P ravnine, dobivamo odgovarajuće parametre α i β. Jednadžba dana za ravninu naziva se parametrijski vektorski. Često se snima u obliku koordinata:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + α * (a 1 ; b 1 ; c 1 ) + β * (a 2 ; b 2 ; c 2 ).

Može se vidjeti da je ovaj oblik pisanja ravnine sličan vektorskoj jednadžbi za pravac u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim slučajevima.

Ovaj izraz može se eksplicitnije napisati razdvajanjem varijabli:

x = x 0 + a * a 1 + β * a2;

y = y 0 + α * b 1 + β * b 2 ;

z = z 0 + α * c 1 + β * c 2 .

Ove tri jednadžbe imaju oblik sličan parametarskoj jednadžbi za pravac u prostoru. Ovaj tip se često koristi pri konverziji vektorske jednadžbe u zajedničku ravninu.

Paralelne ravnine

Postoje samo dvije opcije za relativni položaj dviju ravnina u prostoru. U ovom dijelu članka dajemo stanje kada su paralelne.

Ako su dvije jednadžbe ravnine dane u općem obliku, onda je njihov paralelizam vrlo jednostavan. Dvije ravnine bit će paralelne ako su njihovi vektori takvi vodiči. Pretpostavimo da postoje dvije jednadžbe:

A 1 * x + B 1 * y + C 1 * z + D 1 = 0;

A 2 * x + B 2 * y + C 2 * z + D 2 = 0.

Okomito na svaku od ravnina vektora su koordinate:

n1 ¯ (A1; B1; C1);

n 2 ¯ (A2; B2; C2).

Ako vektor n 1 ¯ može biti predstavljen kao množenje realnim brojem vektora n 2 ¯, tada će oba biti paralelna, to jest:

n 2 ¯ = l * n 1 ¯, gdje je l pravi broj.

Drugi način da se odredi njihov paralelizam je pronaći kosinus kuta između njih kroz skalarni proizvod i module vektora. Ovaj kosinus treba biti jednak jedinstvu, a vektori (ravnine) će biti paralelni. Odgovarajuća formula je:

cos (=) = | (n 1 ¯ * n 2 ¯) | / (| n 1 ¯ | * | n 2 ¯ |) = 1.

Ako su jednadžbe ravnina dane u parametarskom vektorskom obliku, onda se paralelizam u prostoru ravnina određuje i iz uvjeta paralelizma normala s njima. Da bismo pronašli pravce vektora tih normala, treba uzeti vektorske proizvode vektora koji tvore svaku ravninu.

Paralelne ravnine

Na gornjoj slici prikazane su tri ravnine koje su paralelne jedna s drugom.

Raskrižje ravnina

Ovo je druga verzija međusobnog rasporeda u prostoru ravnina. U ovom slučaju, dvije ravnine sijeku se duž neke ravne crte koja im pripada. U ovom slučaju, važno je izračunati dijalogni kut tog raskrižja. Uvijek je jednak kutu između odgovarajućih vodećih vektora, tj. Između okomica ravnina.

U prethodnom paragrafu već je dana formula koja omogućuje izračunavanje kuta između normala. Ovdje ćemo ga otvoriti samo pisanjem koordinata vektora n 1 ¯ i n 2 ¯:

ar = arccos (| A 1 * A 2 + B 1 * B 2 + C 1 * C 2 | / (√ (A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 ) * √ (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 ))).

Ova se formula često upotrebljava pri izračunavanju kutova između stijenki piramide ili nagnute prizme.

Presijecajuće ravnine

Na gornjoj slici prikazane su dvije ravnine koje seku treću horizontalnu ravninu.

Poseban slučaj presjeka dviju ravnina je kut 90 = 90 o , tj. Postoji okomitost razmatranih geometrijskih objekata. Da bi se odredila okomitost, nije potrebno izračunati kut φ pomoću gore opisane pomalo komplikovane formule, za što je dovoljno izračunati vrijednost skalarnog proizvoda n 1 ¯ i n 2 ¯. Za okomite ravnine, to je nula, to jest:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = A 1 * A 2 + B 1 * B 2 + C 1 * C 2 = 0.

Snop aviona

Snop aviona

Ako se dvije ravnine sijeku, sve njihove zajedničke točke leže na jednoj pravoj liniji. Napominjemo da je jedna od metoda za određivanje ravne linije u prostoru sustav od dvije opće jednadžbe ravnine. Koliko se ravnina u prostoru može povući kroz jednu ravnu crtu? Beskonačan broj. Njihova se zbirka naziva svežanj. Jednadžba koja opisuje ovaj paket ima sljedeći oblik:

k 1 * (A 1 * x + B 1 * y + C 1 * z + D 1 ) + k 2 * (A 2 * x + B 2 * y + C 2 * z + D 2 ) = 0.

Ovdje k 1 i k 2 su proizvoljni brojevi. Poseban slučaj je situacija kada jedan ili oba parametra k ne mogu uzeti vrijednost nula. Pretpostavimo da k 1, 0, tada se jednadžba snopa može prepisati u obliku:

(A 1 * x + B 1 * y + C 1 * z + D 1 ) + k 2 / k 1 * (A 2 * x + B 2 * y + C 2 * z + D 2 ) = 0.

Ova jednakost opisuje sve ravnine grede osim one s izravnim vektorom n 2 ¯ (A2; B2; C2).

Primjer snopa zrakoplova je zbirka listova otvorene knjige.

Listovi knjige - hrpa zrakoplova

Zatim rješavamo nekoliko geometrijskih problema primjenjujući stečena znanja o svojstvima ravnina u prostoru.

Pretvorite parametarsku jednadžbu vektora u opće

Slijedi sljedeća ravninska jednadžba u parametarskom vektorskom obliku:

(x; y; z) = (1; 2; 0) + α * (1; 2; 3) + β * (- 1; 3; 0).

Potrebno ga je napisati kao opću jednadžbu ravnine u prostoru.

Izričito je napišite:

x = 1 + α - β;

y = 2 + 2 * α + 3 * β;

z = 3 * a.

Iz posljednjeg izraza dobivamo α, zatim ga zamjenjujemo prvim jednakostima i izražavamo β. Pronađeni parametri su zamijenjeni u drugu jednadžbu, imamo:

α = z / 3;

β = 1 - x + z / 3;

y = 2 + 2 * z / 3 + 3 - 3 * x + z =>

y + 3 * x + 5/3 * z - 5 = 0 =>

9 * x + 3 * y + 5 * z -15 = 0.

Dakle, da bismo dobili opću jednadžbu iz parametarskog vektora, prvo je moramo eksplicitno napisati, a zatim izraziti parametre u smislu varijabilnih koordinata.

Pretvorba općeg u parametarsku vektorsku jednadžbu

Ovaj zadatak je potpuno suprotan prethodnom. Razmotrite tehnike za njegovo rješavanje.

S obzirom na sljedeću jednadžbu:

x-2 * y + 3 * z -1 = 0.

Za početak, jednu koordinatu treba izraziti u dvije. Express na primjer x:

x = 2 * y-3 * z +1.

To znači da svaka točka s koordinatama pripada ravnini:

(2 * y-3 * z +1; y; z).

Sada ćemo tu koordinatu prepisati kao zbroj triju vektora, a prva će sadržavati samo varijablu y, drugu samo z, a treću samo brojeve. Imamo:

(x; y; z) = (2 * y; y; 0) + (-3 * z; 0; z) + (1; 0; 0).

Vidljivo je da otvaranjem ove jednadžbe dobivamo opće koordinate za točku ravnine. Sada ostaje samo faktorizirati varijable u prvom i drugom vektoru i redefinirati ih s parametrima α i β. Dobivamo:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α * (2; 1; 0) + β * (- 3; 0; 1).

Dobili smo jednadžbu u parametarskom vektorskom obliku, sličnu izvornoj.

Slika ravnine u koordinatnom sustavu

Zadatak je sljedeći: prema poznatoj jednadžbi treba nacrtati ravninu u prostoru. Odgovarajuća jednadžba je:

3 * x - y -4 * z +5 = 0.

Da bi se prikazala ova ravnina, potrebno je pronaći točke na kojima se križaju koordinatne osi. Da biste to učinili, možete dobiti odgovarajuću jednadžbu u segmentima. Međutim, u ovom slučaju nastavljamo drugačije: stavimo dvije koordinate jednake nuli i izračunamo treću. Imamo:

y = 0; z = 0; x = -5/3;

x = 0; z = 0; y = 5;

x = 0; y = 0; z = 5/4.

Ostaje staviti dobivene točke na koordinatne osi i kroz njih nacrtati ravninu. Položaj ravnine u prostoru prikazan je na donjoj slici.

Slika ravnine u prostoru

Tri točke i avion

Neka se daju tri točke u prostoru:

M (l; -1; 3);

N (3; 2; -4);

L (2; 5; 0).

Potrebno je pronaći ravninu koja prolazi kroz njih.

Iz geometrije je poznato da tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji jedinstveno određuju ravninu. Njegova jednadžba može se sastaviti ako pronađemo njen vektor koji vodi n¯. Ona će biti jednaka vektorskom proizvodu koplanarnih vektora koji leže u ravnini. Koordinate vektora mogu se dobiti iz koordinata točaka, na primjer:

MN¯ (2; 3; -7);

ML¯ (1; 6; -3).

Njihov vektorski proizvod će dati vektor n¯. Izračunavajući ga, dobivamo:

n¯ (33; -1; 9).

Uzimajući na primjer točku M, dobivamo opću jednadžbu u obliku:

33 * x -y + 9 * z - 61 = 0.

Koordinate točaka N i L možete zamijeniti u jednadžbu i osigurati da jednakost vrijedi.