Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike

Matematika obuhvaća cijeli niz područja, od kojih je jedna, uz algebru i geometriju, teorija vjerojatnosti. Postoje pojmovi koji su zajednički za sva ova područja, ali pored njih postoje i specifični, svojstveni samo jednoj određenoj "niši" riječi, formule, teoremi.

Izraz "teorija vjerojatnosti" uzrokuje paniku u nepripremljenom učeniku. Doista, mašta slika slike, gdje se pojavljuju strašne volumetrijske formule, a rješenje jednog problema zauzima cijelu bilježnicu. Međutim, u praksi stvari uopće nisu tako strašne: dovoljno je jednom shvatiti značenje nekih pojmova i doći do srži neke čudne logike rasuđivanja kako bi se prestalo bojati zadataka jednom zauvijek. U tom smislu razmatramo osnovne pojmove teorije vjerojatnosti i matematičke statistike - mlado, ali iznimno zanimljivo polje znanja.

Zašto podučavati pojmove

Funkcija jezika je prenošenje informacija s jedne osobe na drugu, tako da on to razumije, ostvari i može je koristiti. Svaki se matematički pojam može objasniti jednostavnim riječima, ali u ovom slučaju za razmjenu podataka potrebno je mnogo više vremena. Zamislite da ćete umjesto riječi "hipotenuza" uvijek morati reći "najduža strana pravog trokuta" - to je iznimno nezgodno i dugo.

Stoga ljudi izmišljaju nove pojmove za određene pojave i procese. Na isti način pojavili su se i osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti - događaj, vjerojatnost događaja, itd. Dakle, da bismo mogli koristiti formule, rješavati probleme i primjenjivati ​​vještine u životu, potrebno je ne samo zapamtiti nove riječi, nego i razumjeti što svaka od njih znači. Što ih dublje postanete svjesni, udubite se u značenje, širi opseg vaših mogućnosti postaje, i što potpunije percipirate svijet oko sebe.

Koje je značenje subjekta

Upoznajmo se s osnovnim pojmovima teorije vjerojatnosti. Klasična definicija vjerojatnosti je sljedeća: to je omjer ishoda koji odgovara istraživaču ukupnom broju mogućih. Hajde da navedemo jednostavan primjer: kada osoba okrene kocku, može spustiti bilo koju od šest strana prema gore. Dakle, ukupan broj ishoda je šest. Vjerojatnost slučajno odabranog ispadanja bokova je 1/6.

Sposobnost predviđanja nastanka određenog rezultata iznimno je važna za različite stručnjake. Koliko se neispravnih dijelova očekuje puno? To ovisi o tome koliko ćete proizvesti. Koja je vjerojatnost da će lijek pomoći u borbi protiv bolesti? Takve su informacije vitalne. Ali nemojmo gubiti vrijeme na dodatne primjere i nastaviti s proučavanjem novog područja za nas.

Prvo poznanstvo

Razmotrite osnovne pojmove teorije vjerojatnosti i njihovu uporabu. праве, естественных pravo prirodno Znanost, ekonomska formula i pojmovi prikazani u nastavku koriste se posvuda, jer su izravno povezani s statistikom i pogreškama mjerenja. Detaljnija studija ovog pitanja otvorit će vam nove formule koje su korisne za točnije i složenije izračune, ali počnimo s jednostavnom.

Jedan od najosnovnijih i temeljnih pojmova teorije vjerojatnosti i matematičke statistike slučajan je događaj. Objasnite jasnim riječima: od svih mogućih ishoda eksperimenta, samo jedan se promatra kao rezultat. Čak i ako je vjerojatnost pojave ovog događaja mnogo veća od druge, to će biti slučajno, budući da je teoretski rezultat mogao biti različit.

Ako smo proveli niz pokusa i dobili određeni broj ishoda, tada se vjerojatnost svakog od njih izračunava pomoću formule: P (A) = m / n. Ovdje je m koliko puta smo u test serijama vidjeli rezultat koji nas zanima. Zauzvrat, n je ukupan broj izvedenih eksperimenata. Ako smo bacili novčić 10 puta i dobili "repove" 5 puta, onda je m = 5, a n = 10.

Vrste događaja

Događa se da će neki ishod biti zajamčen u svakom ispitivanju - takav će se događaj nazvati pouzdanim. Ako se nikada ne dogodi, to će se zvati nemoguće. Međutim, takvi se događaji ne koriste u uvjetima problema na teoriji vjerojatnosti. Osnovni pojmovi koji su mnogo važnije znati su zajednički i nespojivi događaji.

Događa se da se tijekom eksperimenta istovremeno događaju dva događaja. Primjerice, bacamo dvije kockice - u ovom slučaju, činjenica da je netko ispao "šest" ne jamči da drugi neće pasti na drugi. Takvi će se događaji nazivati ​​zajedničkim.

Ako okrenemo jednu umiru, tada dva broja u isto vrijeme neće moći ispasti. U tom slučaju, ishodi u obliku ispuštenih "jedan", "dva" itd. Smatrat će se nekompatibilnim događajima. Vrlo je važno razlikovati koji se ishodi događaju u svakom pojedinom slučaju - ovisi o tome koje formule koristiti u problemu pronalaženja vjerojatnosti. Temeljni pojmovi teorije vjerojatnosti, nastavit ćemo s proučavanjem nekoliko paragrafa kasnije, kada razmotrimo značajke zbrajanja i množenja. Doista, bez njih se ne može riješiti nikakav problem.

Količina i proizvod

Pretpostavimo da okrenete umrijeti s prijateljem, a on ima “četiri”. Morate dobiti pet ili šest za pobjedu. U ovom slučaju, vjerojatnosti će se zbrajati: budući da su izgledi za spuštanje oba broja 1/6, odgovor će izgledati kao 1/6 + 1/6 = 1/3.

Sada zamislite da dvaput okrenete kocku, a vaš prijatelj je dobio 11 bodova. Sada morate imati šest puta dva puta zaredom. Događaji su međusobno neovisni, pa se vjerojatnost treba umnožiti: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Među osnovnim pojmovima i teoremima teorije vjerojatnosti treba obratiti pozornost na zbroj vjerojatnosti zajedničkih događaja, t. to jest, one koje se mogu pojaviti istovremeno. Formula dodatka u ovom slučaju će izgledati ovako: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

kombinatorika

Vrlo često moramo pronaći sve moguće kombinacije nekih parametara objekta ili izračunati broj bilo koje kombinacije (na primjer, pri odabiru šifre). Kombinatorika, koja je usko povezana s teorijom vjerojatnosti, pomoći će nam u tome. Osnovni pojmovi ovdje uključuju neke nove riječi, a brojne formule iz ove teme sigurno će vam dobro doći.

Pretpostavimo da imate tri broja: 1, 2, 3. Potrebno je, koristeći ih, napisati sve moguće troznamenkaste brojeve. Koliko će ih biti? Odgovor: n! (uskličnik znači faktorski). Kombinacije više različitih elemenata (brojeva, slova, itd.), Koje se razlikuju samo po njihovom položaju, nazivaju se permutacijama.

Međutim, češće se susrećemo s takvom situacijom: ima 10 znamenki (od nula do devet), od kojih se sastoji lozinka ili kod. Pretpostavimo da je njegova duljina 4 znaka. Kako izračunati ukupan broj mogućih kodova? Za to postoji posebna formula: (n!) / (N - m)!

S obzirom na prethodno predloženo problemsko stanje, n = 10, m = 4. Nadalje, potrebni su samo jednostavni matematički izračuni. Usput, takve kombinacije će se zvati plasman.

Konačno, tu je i koncept kombinacija - to su sekvence koje se međusobno razlikuju barem jednim elementom. Njihov se broj izračunava po formuli: (n!) / (M! (Nm)!).

Matematičko očekivanje

Važan koncept koji student susreće već u prvim razredima na temu je matematičko očekivanje. To je zbroj svih mogućih vrijednosti rezultata pomnoženih s njihovim vjerojatnostima. U biti, to je prosječan broj koji možemo predvidjeti kao rezultat testa. Na primjer, postoje tri vrijednosti za koje su vjerojatnosti prikazane u zagradama: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Izračunajte očekivanje: M (X) = 0 * 0.2 + 1 * 0.5 + 2 * 0.3 = 1.1. Tako iz predloženog izraza možemo vidjeti da je ova vrijednost konstantna i ne ovisi o ishodu testa.

Ovaj koncept se koristi u mnogim formulama, a vi ćete ga opetovano nailaziti u budućnosti. Lako je raditi s njim: očekivanje iznosa jednako je zbroju tepiha. očekivanja - M (X + Y) = M (X) + M (Y). Isto vrijedi i za proizvod: M (XY) = M (X) * M (Y).

disperzija

To mora biti od tečaja fizičke škole koje pamtite da se raspršuje. Koje je mjesto među temeljnim konceptima teorije vjerojatnosti?

Pogledajte dva primjera. U jednom slučaju dano nam je: 10 (0,2); 20 (0,6); 30 (0,2). U drugom - 0 (0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). Matematičko očekivanje u oba slučaja će biti isto, pa kako možemo usporediti te situacije? Uostalom, golim okom vidimo da je širenje vrijednosti u drugom slučaju mnogo veće.

U tu svrhu uveden je koncept disperzije. Da biste ga dobili, morate izračunati očekivanje zbroja razlika svake slučajne varijable i očekivanja. Uzmite brojeve iz prvog primjera zabilježenog u prethodnom odlomku.

Prvo izračunamo očekivanje: M (X) = 10 * 0,2 + 20 * 0,6 + 30 * 0,2 = 20. Tada vrijednost varijance: D (X) = 40.

Još jedan od osnovnih pojmova statistike i teorije vjerojatnosti je standardna devijacija. Izračunajte to je vrlo jednostavno: samo trebate uzeti kvadratni korijen iz disperzije.

Ovdje možemo uočiti tako jednostavan pojam, kao opseg. Ova vrijednost pokazuje razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti u uzorku.

statistika

Neki osnovni školski koncepti često se koriste u znanosti. Dvije od njih su aritmetička sredina i medijan. Sigurno se sjećate kako pronaći njihove vrijednosti. Ali za svaki slučaj, prisjetimo se: aritmetička sredina je zbroj svih vrijednosti podijeljenih njihovim brojem. Ako je vrijednost 10, dodajemo i dijelimo ih s 10.

Sredina je središnja za sve moguće. Ako imamo neparan broj vrijednosti, onda ih zapisujemo uzlaznim redoslijedom i biramo onu koja je bila u sredini. Ako imamo paran broj vrijednosti, uzimamo dva središnja i dijelimo na dva.

Još dvije vrijednosti, smještene između medijana i dvije krajnje - maksimalne i minimalne vrijednosti skupa, nazivaju se kvartili. Izračunavaju se na isti način - s neparnim brojem elemenata uzima se broj koji se nalazi u sredini reda, a za parnu - polovicu zbroja dva središnja elementa.

Tu je i poseban grafikon u kojem možete vidjeti sve vrijednosti uzorka, njegov raspon, medijan, interval između četvrtina i emisije - vrijednosti koje se ne uklapaju u statističku pogrešku. Dobivena slika ima vrlo specifično (pa čak i ne-matematičko) ime - kutiju s brkovima.

distribucija

Distribucija se također odnosi na osnovne pojmove teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Ukratko, to je sažetak svih slučajnih varijabli koje možemo vidjeti kao rezultat testa. Glavni parametar ovdje je vjerojatnost pojave svake specifične vrijednosti.

Normalna distribucija je ona koja ima jedan središnji vrh, u kojem se najčešće nalazi vrijednost koja se pojavljuje. Iz njega se lukovi razlikuju sve manje i manje vjerojatno. Općenito, raspored sa strane izgleda kao "slajd". U budućnosti ćete naučiti da je središnji granični teorem, koji je temelj za teoriju vjerojatnosti, usko povezan s ovom vrstom distribucije. Ona opisuje zakone koji su važni za grane matematike koje razmatramo, a koje su vrlo korisne za različite izračune.

Ali natrag na temu. Postoje još dvije vrste distribucija: asimetrične i multimodalne. Prva izgleda kao polovica "normalnog" grafikona, tj. Luk se spušta samo u jednom smjeru od vršne vrijednosti. Konačno, multimodalna distribucija je ona koja ima nekoliko “gornjih” vrijednosti. Raspored, dakle, pada, a zatim raste. Najviše frekvencijska vrijednost u bilo kojoj distribuciji naziva se način rada. To je također jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti i matematičke statistike.

Gaussova distribucija

Gaussova, ili normalna, raspodjela je ona u kojoj odstupanje opažanja od srednje vrijednosti slijedi određeni zakon.

Ukratko, glavni raspršeni uzorak vrijednosti eksponencijalno teži modu - najčešćem od njih. Ako govorimo preciznije, onda 99,6% svih vrijednosti leži unutar tri standardne devijacije (sjetite se da smo pogledali ovaj koncept gore?).

Gaussova distribucija je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti. Pomoću njega moguće je razumjeti je li neki element uključen u kategoriju “tipičnog” prema jednom ili drugom parametru - ovako se visina i težina osobe procjenjuje prema dobi, razini intelektualnog razvoja, psihološkom stanju i još mnogo toga.

Kako se prijaviti

Zanimljivo je da se "dosadni" matematički podaci mogu iskoristiti u svoju korist. Na primjer, jedan mladić primijenio je teoriju vjerojatnosti i statistiku kako bi u ruletu osvojio nekoliko milijuna dolara. Istina, morali smo se pripremiti za to - tijekom nekoliko mjeseci zabilježili smo rezultate igara u raznim kockarnicama.

Nakon analize otkrio je da je jedan od stolova lagano nagnut, što znači da se brojne vrijednosti pojavljuju statistički značajno češće od drugih. Malo kalkulacija, strpljenje - a sada su vlasnici ustanove zbunjeni, razmišljajući kako osoba može imati sreće.

Postoji mnogo svakodnevnih svakodnevnih zadataka koji se ne mogu riješiti bez upotrebe statistike. Na primjer, kako odrediti koliko trgovina naručiti odjeću različitih veličina: S, M, L, XL? Da biste to učinili, potrebno je analizirati tko često kupuje odjeću u gradu, na tom području, u obližnjim trgovinama. Ako se takve informacije ne dobiju, vlasnik riskira gubitak mnogo novca.

zaključak

Razmotrili smo čitav niz osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti: test, događaj, permutacije i položaje, očekivanja i varijance, modu i normalnu raspodjelu ... Osim toga, ispitali smo niz formula koje su više od mjesec dana bile posvećene proučavanju kojih.

Ne zaboravite: matematika je neophodna za proučavanje ekonomije, prirodnih znanosti, informacijske tehnologije, inženjerskih specijalnosti. Statistike kao jedno od svojih područja također se ne mogu izbjeći.

Sada je na vama: vježbajte, rješavajte probleme i primjere. Čak će i osnovni pojmovi i definicije teorije vjerojatnosti biti zaboravljeni, ako ne i posvećivanje vremena ponavljanju. Osim toga, sljedeće formule uvelike će se oslanjati na one koje smo razmotrili. Zato ih pokušajte zapamtiti, pogotovo zato što ih nema mnogo.