Dinamika i kinematika kružnog gibanja: formule i rješenje tipičnog problema

Mogućnost opisivanja kretanja u krugu važna je za izračun tehničkih karakteristika rotirajućih osovina i zupčanika. Ova vrsta kretanja također se nalazi u svakodnevnom životu i prirodi, kao što je rotacija planeta oko sunca i klizača tijekom nastupa na sportskim natjecanjima. U ovom članku ćemo razmotriti kako se sa stajališta fizike može opisati takvo gibanje.

Dinamika rotacije

Kretanje u krugu je rotacija određenog tijela ili materijalne točke oko osi. Da bi se tijelo počelo okretati, potrebno je imati vanjski moment koji djeluje na dotični sustav. Ovaj trenutak određuje se po formuli:

M = F * d

Ovdje je F sila, d je duljina poluge (udaljenost između osi i točke primjene sile). Trenutak sile je vektorska vrijednost. Formula se koristi za izračun modula M.

Učinak trenutka M reflektira se na sustav u obliku pojavljivanja kutnog ubrzanja. To jest, sustav počinje rotirati. Glavna formula kružnog gibanja je:

M = I * a

Ovdje I je trenutak inercije, α je kutno ubrzanje. Obje količine imaju svoje analoge za linearni slučaj. Ako je sve jasno s analogom α vrijednosti, onda je za trenutak inercije potrebno razjasniti. Vrijednost I odražava inercijalna svojstva rotirajućeg sustava. To jest, tijekom rotacije, igra istu ulogu kao i obična tjelesna težina.

Imajte na umu da je gornji izraz analogan Newtonovom drugom zakonu za rotaciju.

Centripetalne i centrifugalne sile, ubrzanje

Proces rotacije podrazumijeva postojanje neke unutarnje sile koja bi osigurala krivulju gibanja tijela. Ta se sila zove centripetal. Prema imenu, uvijek je usmjeren od tijela do osi rotacije. Kako je duljina poluge d jednaka nuli, to ne dovodi do pojave kutnog ubrzanja α. Ipak, mijenja vektor linearne brzine, odnosno stvara ubrzanje.

Ubrzanje kod kretanja u krug bez promjene modula linearne brzine naziva se centripetal. Izračunava se po formuli:

a _c = v2 / r

Gdje je v linearna brzina materijalne točke koja se okreće na udaljenosti r od osi.

Osim centripetala, često možete čuti o centrifugalnoj sili. Potonji nastoji izvući tijelo iz kružne staze do ravne linije. Razlog za njegovo pojavljivanje su inercijalna svojstva rotirajućeg sustava.

Kada se kreću u krug, centripetalne i centrifugalne sile su jednake veličine jedna prema drugoj, au smjeru suprotnom.

Kinematičke jednadžbe rotacije

Kretanje u krug, kao u ravnoj liniji, može biti jednoliko ili se može dogoditi s ubrzanjem. U prvom slučaju, formula je:

θ = ω * t

To jest, središnji kut θ, na kojem se tijelo okreće tijekom vremena t, izravno je proporcionalan kutnoj brzini ω. Kut θ izražava se u radijanima, a brzina ω izražava se u radijanima u sekundi.

Ako na sustav djeluje stalni vanjski moment sila, tada se kretanje u krugu događa s nekim konstantnim ubrzanjem α. U ovom slučaju, sljedeći će kinematički izraz biti istinit:

θ = α * t 2/2

Ako se sustav najprije rotira s određenom brzinom ω _0, a zatim počne povećavati svoju frekvenciju rotacije s ubrzanjem α, tada, počevši od trenutka t, kada se pojavi ubrzanje, formula će biti važeća:

θ = ω ₀ * t + α * t 2/2

Napominjemo da je ovaj izraz linearna kombinacija prethodna dva.

Odnos linearnih i kutnih kinematičkih značajki

Iznad je dana formula za centripetalno ubrzanje, napisana linearnom brzinom v. Međutim, ta se formula može također napisati u smislu odgovarajuće kutne karakteristike ω.

Pretpostavimo da je rotirajuće tijelo napravilo jedan okretaj oko kruga u vremenu t. Tada za linearne i kutne brzine možemo zapisati:

v = 2 * pi * r / t;

ω = 2 * pi / t

Odatle se vidi da je modul linearne brzine v r puta veći od magnitude ω, to jest:

v = ω * r

Ta jednakost povezuje kutne i linearne brzine. Pomoću njega možete napisati formulu za _c kroz ω:

a _c = ω ² * r

Sada izračunavamo u formuli s brzinama vremenske izvedbe za lijevu i desnu stranu jednakosti, dobivamo:

dv / dt = dω / dt * r =>

a = α * r

Ta jednakost povezuje linearno ubrzanje a usmjereno tangencijalno na krug i njegov kutni analog α.

Lako je dokazati da je središnji kut rotacije θ kada se kreće oko kruga povezan s duljinom njegovog luka L, slijedeći izraz:

L = θ * r

Ovdje, ako je θ jednako 2 * pi radijana (puna revolucija), dobivamo duljinu kruga L.

Rješenje problema određivanja centripetalne sile

Poznato je da je kamen težine 0,5 kg vezan za 1 metarsko uže i počeli su ga rotirati s kutnom frekvencijom od 3 okretaja u sekundi. Potrebno je pronaći silu zatezanja užeta F _c .

Sila zatezanja Fc je centripetalna. Može se izračunati pomoću formule:

F _c = m * a _c

Masa kamena m je poznata. Centripetalno ubrzanje a _c može se izračunati iz poznavanja kutne brzine ω. S frekvencijom f postavljenom u zadatku, količina ω je povezana izrazom:

ω = 2 * pi * f

Tada će se centripetalno ubrzanje izračunati kao:

a _c = 4 x pi2 * ^f2 * r

Željena sila F _c bit će jednaka:

F _c = 4 * pi ² * f ² * r * m

Ako je uvjet problema zamjena podataka u ovoj formuli, dobivamo vrijednost sile F _c , približno jednaku 177,5 N.