Primjeri izračuna područja cilindra

Postoji veliki broj zadataka vezanih uz cilindar. Moraju pronaći radijus i visinu tijela ili vrstu njegovog poprečnog presjeka. Osim toga, ponekad je potrebno izračunati područje cilindra i njegov volumen.

Koje je tijelo cilindar?

U toku školskog kurikuluma proučava se kružni, tj. Kao takav u bazi, cilindar. No, tu je i eliptičan pogled na tu sliku. Iz naslova je jasno da će njegova baza biti elipsa ili ovalna.

Postoje dvije baze cilindara. Oni su međusobno izjednačeni i povezani su segmentima koji kombiniraju odgovarajuće točke baza. Nazivaju se cilindrični generatori. Svi generatori su međusobno paralelni i jednaki. Oni čine lateralnu površinu tijela.

Općenito, cilindar je nagnuto tijelo. Ako generatori formiraju pravi kut s bazama, onda oni već govore o ravnoj figuri.

Zanimljivo, kružni cilindar je rotirajuće tijelo. Dobiva se okretanjem pravokutnika oko jedne njegove strane.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra su sljedeći.

1. Visina. To je najkraća udaljenost između baza cilindra. Ako je ravna, tada se visina podudara s generatorom.
2. Radijus. Podudara se s onim koji se može održati u bazi.
3. Os. To je ravna crta koja sadrži središta obje baze. Os je uvijek paralelna sa svim generatorima. U ravnom cilindru je okomita na baze.
4. Aksijalni presjek. Formira se na sjecištu cilindra s ravninom koja sadrži os.
5. Tangentna ravnina. Prolazi kroz jedan od generatora i okomit je na aksijalni presjek koji se izvlači kroz ovaj generator.

Kako je cilindar povezan s prizmom upisanom u nju ili opisan u blizini?

Ponekad postoje zadaci u kojima je potrebno izračunati površinu cilindra, dok su neki elementi povezane prizme poznati. Kako se te brojke odnose?

Ako je prizma upisana u cilindar, onda su njezine baze jednaki poligoni. I upisani su u odgovarajuću bazu cilindra. Bočni rubovi prizme podudaraju se s generatorima.

Na opisanoj prizmi u temeljima postoje pravilni poligoni. Opisani su oko cilindričnih krugova, koji su njegove baze. Ravnice koje sadrže lica prizme dodiruju cilindar duž generatora.

Na području bočne površine i baze za ravan kružni cilindar

Ako skenirate bočnu površinu, dobivate pravokutnik. Njegove strane će se podudarati s generatorom i obujam baza. Stoga će bočna površina cilindra biti jednaka proizvodu tih dviju veličina. Ako napišete formulu, dobit ćete sljedeće:

S _strana = l * n,

gdje je n generator, l je duljina kruga.

Posljednji parametar izračunava se po formuli:

l = 2 π * r,

ovdje je r polumjer kruga, π je broj "pi", jednak 3.14.

Budući da je baza krug, njezino se područje izračunava pomoću sljedećeg izraza:

S _primarni = π * r ² .

Na području cijele površine ravnog kružnog cilindra

Budući da se sastoji od dvije baze i bočne površine, te tri količine treba dodati. To znači da će se ukupna površina cilindra izračunati pomoću formule:

S _pod = 2 π * r * n + 2 π * r ² .

Često se piše u drugom obliku:

S _floor = 2 π * r (n + r).

Na područjima nagnutog kružnog cilindra

Što se tiče temelja, onda su sve formule iste, jer su još uvijek krugovi. Ali bočna površina ne daje pravokutnik.

Da bi se izračunala bočna površina nagnutog cilindra, bit će potrebno umnožiti vrijednosti generatora i perimetra dionice, koje će biti okomite na odabrani generator.

Formula izgleda ovako:

S _strana = x * P,

gdje je x - duljina cilindra generatora, P - obod dionice.

Odjeljak je, usput, bolje odabrati tako da tvori elipsu. Tada će se pojednostaviti izračunavanje njegovog perimetra. Duljina elipse izračunava se pomoću formule koja daje približan odgovor. Ali to je često dovoljno za školske zadatke:

l = π * (a + c),

gdje su "a" i "b" poluoske elipse, tj. udaljenost od centra do najbliže i najudaljenije točke.

Površina cijele površine mora se izračunati pomoću sljedećeg izraza:

S _kat = 2 π * r ² + x * R.

Koji su neki dijelovi ravnog kružnog cilindra?

Kada dio prolazi kroz os, njegovo područje definira se kao proizvod generatora i promjer baze. To je zbog činjenice da ima oblik pravokutnika, čije se strane poklapaju s označenim elementima.

Da bismo pronašli područje poprečnog presjeka cilindra koji je paralelan s aksijalnim, također trebamo formulu za pravokutnik. U toj situaciji jedna strana će se i dalje podudarati s visinom, a druga je jednaka tetivi baze. Potonji se podudara s linijom presjeka duž baze.

Kada je presjek okomit na os, on ima oblik kruga. Štoviše, područje je isto kao i na dnu slike.

Možda čak i sjecište pod nekim kutom prema osi. Zatim se u presjeku dobiva oval ili njegov dio.

Primjeri zadataka

Zadatak broj 1. Određen je ravan cilindar čija je osnovna površina 12,56 cm2. Potrebno je izračunati ukupnu površinu cilindra ako je njegova visina 3 cm.

Odluka. Potrebno je koristiti formulu za punu površinu kružnog ravnog cilindra. Ali nedostaju mu podaci, naime radijus baze. Ali područje kruga je poznato. Iz njega je lako izračunati radijus.

Ona je jednaka kvadratnom korijenu kvocijenta, koji se dobiva dijeljenjem površine baze s pi. Nakon dijeljenja 12,56 s 3,14 izlazi 4. Kvadratni korijen od 4 je 2. Dakle, radijus će imati upravo tu vrijednost.

Sada možete izračunati površinu bočne površine. Da biste to učinili, pomnožite pi po radijusu, visini i 2. Rad će izgledati ovako: 3.14 * 3 * 2 * 2. Rezultat je: 37.68 cm ² .

Da bi se izračunala ukupna površina potrebno je dodati dvije baze (12,56 cm ² ) i bočnu površinu (37,68 cm ² ). Rezultat je broj od 50,24 cm2.

Odgovor: S _spol = 50,24 cm ² .

Zadatak broj 2. Cilindar s radijusom od 5 cm potisnut je ravninom paralelnom s osi. Razmak od presjeka do osi je 3 cm, visina cilindra je 4 cm, a potrebno je pronaći područje presjeka.

Odluka. Oblik presjeka je pravokutan. Jedna strana se poklapa s visinom cilindra, a druga je jednaka tetivi. Ako je prva vrijednost poznata, potrebno je pronaći drugu.

Da biste to učinili, napravite dodatnu konstrukciju. U bazi napravimo dva segmenta. Oba će početi u središtu kruga. Prvi će se završiti u središtu tetive i biti jednak poznatoj udaljenosti od osi. Drugi je na kraju akorda.

uspjeti pravokutni trokut. Poznata je hipotenuza i jedna od nogu. Hipotenuza se podudara s radijusom. Druga noga je pola tetive. Nepoznata noga, pomnožena s 2, daje željenu duljinu tetive. Izračunavamo njegovu vrijednost.

Da biste pronašli nepoznatu nogu, trebate izravnati hipotenuzu i poznatu nogu, oduzeti drugu od prve i uzeti kvadratni korijen. Kvadrati su 25 i 9. Njihova razlika je 16. Nakon ekstrakcije kvadratni korijen 4. Ovo je željena noga.

Akord će biti jednak 4 * 2 = 8 (cm). Sada možete izračunati površinu poprečnog presjeka: 8 * 4 = 32 (cm2).

Odgovor: S _Sich je 32 cm ² .

Zadatak broj 3. Potrebno je izračunati aksijalni presjek cilindra. Poznato je da je u njega upisana kocka s rubom od 10 cm.

Odluka. Aksijalni dio cilindra podudara se s pravokutnikom koji prolazi kroz četiri vrha kocke i sadrži dijagonale njegovih baza. Strana kocke je generator cilindra, a dijagonala baze se podudara s promjerom. Proizvod tih dviju količina daje područje koje treba prepoznati u problemu.

Da biste pronašli promjer, trebate koristiti znanje da je u podnožju kocke kvadrat, a njegova dijagonala čini jednakostraničan trokut. Njegova hipotenuza je željeni dijagonalni oblik.

Da biste je izračunali, trebate formulu Pitagorina teorema. Potrebno je kvadrirati stranu kocke, pomnožiti je s 2 i izvaditi kvadratni korijen. Deset do drugog stupnja je stotinu. Pomnoženo s 2 - dvije stotine. Kvadratni korijen od 200 je 10√2.

Odjeljak je opet pravokutnik sa stranama 10 i 10√2. Njezino područje lako je prebrojiti množenjem ovih vrijednosti.

Odgovor je. S = √ 100 × ² cm2.