Ekstremne funkcije. Kako pronaći?

Matematička analiza - ovo je prilično zabavan dio matematike, s kojim se suočavaju apsolutno svi studenti i studenti. Ipak, svatko ne voli matan. Neki možda ne razumiju ni elementarne stvari kao što je naizgled standardna studija funkcije. Namjera je ovog članka ispraviti takvu pogrešku. Želite znati više o analizi funkcije? Želite li znati koje su to ekstremne točke i kako ih pronaći? Tada je ovaj članak za vas.

Proučavanje grafova funkcija

Prije svega, vrijedi razumjeti zašto je uopće potrebno analizirati grafikon. Postoje jednostavne funkcije za crtanje koje nije teško. Parabola može poslužiti kao jasan primjer takve funkcije. Nacrtaj njezin raspored nije težak. Sve što je potrebno je pronaći brojeve za koje funkcija uzima vrijednost pomoću jednostavne transformacije i to je u načelu sve što je potrebno crtati kako bi se nacrtao graf parabole.

Ali što ako je funkcija čije grafove trebamo crtati mnogo teža? Budući da su svojstva složenih funkcija prilično nejasna, potrebno je provesti cijelu analizu. Tek tada se funkcija može grafički prikazati. Kako to učiniti? Odgovor na ovo pitanje možete naći u ovom članku.

Plan analize funkcija

Prvo što treba učiniti je provesti površno proučavanje funkcije, tijekom koje ćemo pronaći domenu definicije. Počnimo redom. Domena definicije je skup vrijednosti kojima se određuje funkcija. Jednostavno rečeno, to su brojevi koji se mogu koristiti u funkciji umjesto x. Da biste odredili opseg, samo trebate pogledati unos. Na primjer, očito je da je funkcija y (x) = x ³ + x ² - x + 43 domena definicije skup realnih brojeva. Pa, s funkcijom kao što je (x ² - 2x) / x, sve je malo drugačije. Budući da broj u nazivniku ne smije biti 0, područje funkcije će biti svi realni brojevi, osim nule.

Zatim morate pronaći takozvane nule funkcije. To su vrijednosti argumenta za koje cijela funkcija uzima vrijednosti nula. Da biste to učinili, potrebno je izjednačiti funkciju s nulom, razmotriti je detaljno i izvršiti neke transformacije. Uzmite funkciju y (x) = (x ² - 2x) / x koja nam je već poznata. Iz školskog tečaja znamo da je frakcija 0 kada je brojnik nula. Stoga odbacujemo nazivnik i počinjemo raditi s brojnikom, izjednačavajući ga s nulom. Dobivamo x ² - 2x = 0 i stavljamo x za zagrade. Stoga x (x - 2) = 0. Kao rezultat toga, nalazimo da je naša funkcija nula kada je x jednako 0 ili 2.

Ekstremne točke na grafu funkcija

Tijekom proučavanja grafa funkcije mnogi se suočavaju s problemom u obliku ekstremnih točaka. I to je čudno. Uostalom, krajnosti su prilično jednostavna tema. Ne vjerujete? Uvjerite se sami čitajući ovaj dio članka u kojem ćemo govoriti o točkama minimuma i maksimuma.

Započeti je shvatiti što predstavlja ekstrem. Ekstrem je granična vrijednost koju funkcija doseže na grafu. Odavde se ispostavlja da postoje dvije ekstremne vrijednosti - maksimum i minimum. Za jasnoću, možete pogledati sliku iznad. U istraživanom području, točka -1 je maksimum funkcije y (x) = x ⁵ - 5x, a točka 1, minimalno.

Također, nemojte brkati pojmove. Ekstremne točke funkcije su argumenti na kojima određena funkcija poprima ekstremne vrijednosti. Zauzvrat, ekstrem je vrijednost minima i maksima funkcije. Na primjer, ponovno razmotrite sliku gore. -1 i 1 su ekstremne točke funkcije, a 4 i -4 su krajnosti.

Pronalaženje ekstremnih točaka

Ali kako se mogu naći ekstremne točke funkcije? Prilično je jednostavno. Prva stvar koju treba učiniti je pronaći derivat jednadžbe. Pretpostavimo da smo dobili zadatak: "Nađite ekstremne točke funkcije y (x), x je argument. Za jasnoću, uzmemo funkciju y (x) = x ³ + 2x ² + x + 54. Razlučimo i dobijemo sljedeću jednadžbu: 3x ² + 4x + 1. Na kraju smo dobili standard kvadratna jednadžba. Sljedeće treba učiniti da se izjednači s nulom i pronađu korijene. Budući da je diskriminantni veći od nule (D = 16 - 12 = 4), ova jednadžba je definirana s dva korijena. Pronaći ih i dobiti dvije vrijednosti: 1/3 i -1. To će biti ekstremne točke funkcije. Međutim, kako odrediti tko je tko? Koja je točka maksimalna i koja je minimalna? Da biste to učinili, uzmite sljedeću točku i saznajte njezinu vrijednost. Primjerice, uzmite broj -2, koji je lijevo od koordinatne linije od -1. Zamjenjujemo ovu vrijednost u našu jednadžbu y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Kao rezultat toga, dobili smo pozitivan broj. To znači da se na intervalu od 1/3 do -1 funkcija povećava. To, zauzvrat, znači da se u intervalima od minus beskonačnosti do 1/3 i od -1 do plus beskonačnosti funkcija smanjuje. Dakle, možemo zaključiti da je broj 1/3 minimalna točka funkcije na ispitivanom intervalu, a -1 je maksimalna točka.

Zbroj ekstremnih točaka funkcije

Također je važno napomenuti da je potrebno ne samo pronaći ekstremne točke na USE, nego i izvršiti neku vrstu operacije s njima (dodavati, množiti, itd.) Zbog toga se posebna pozornost treba posvetiti uvjetima problema. Uostalom, zbog nepažnje, možete izgubiti bodove.