Kako izračunati kutove između vektora?

21. 6. 2019.

Kada proučavamo geometriju, postavlja se mnogo pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće pri pronalaženju kutova između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja kutova između vektora, potrebno je upoznati definiciju vektora i pojam kuta između vektora.

kutevi između vektora

Vektor je segment koji ima smjer, tj. Segment za koji je definiran njegov početak i kraj.

Kut između dva vektora na ravnini koji imaju zajednički početak naziva se manji od kutova, čiji iznos želite premjestiti jedan od vektora oko zajedničke točke, u položaj gdje se njihovi pravci poklapaju.

Formula za rješavanje

Shvativši što je vektor i kako je određen njegov kut, možemo izračunati kut između vektora. Rješenje za to je prilično jednostavno, a rezultat njegove primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Prema definiciji, ona je jednaka određenom skalarnom proizvodu vektora i proizvodu njihovih duljina.

Skalarni proizvod vektora smatra se zbrojem odgovarajućih koordinata faktora faktora pomnoženih međusobno. Duljina vektora, ili njegov modul, izračunava se kao kvadratni korijen iz zbroja kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što se dobije vrijednost kosinusa kuta, veličina samog kuta može se izračunati pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

primjer

Kada jednom shvatite kako izračunati kut između vektora, rješenje odgovarajućeg problema postat će jednostavno i jednostavno. Kao primjer, vrijedi razmotriti jednostavan zadatak pronalaženja veličine kuta.

kut između vektora

Prije svega, bit će prikladnije izračunati koliko je potrebno za rješavanje vrijednosti duljina vektora i njihovog skalarnog proizvoda. Pomoću gore navedenog opisa dobivamo:

izračunajte kut između vektora

kut između vektora otopine

Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu izračunavamo kosinus željenog kuta:

kutevi između vektora

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih vrijednosti kosinusa, tako da za dobivanje kuta morate koristiti kalkulator ili trigonometrijsku tablicu Bradisa. Ali prije dobivanja kuta između vektora, formula se može pojednostaviti kako bi se uklonili dodatni negativni znak:

kut između vektora

Konačni odgovor za održavanje točnosti može se ostaviti u ovom obliku, a kut možete izračunati u stupnjevima. Prema tablici Bradisa, njegova vrijednost će biti oko 116 stupnjeva i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost 116,57 stupnjeva.

Izračunajte kut u n-dimenzionalnom prostoru

Pri razmatranju dva vektora u. T trodimenzionalni prostor mnogo je teže shvatiti koji je kutak u pitanju ako ne leže u istoj ravnini. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se sijeku, a koji tvore najmanji kut između njih, i to će biti željeni. Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja kuta između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, luk kosinus njihovog privatnog i odgovor na taj problem.

U geometriji često postoje problemi s prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda isto.

Razlika između 0 i 180 stupnjeva

Jedna od najčešćih grešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje kuta između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno, željeni kut je 0 ili 180 stupnjeva. Taj je odgovor netočan.

Dobivši vrijednost kuta od 0 stupnjeva prema rezultatima odluke, točan odgovor bio bi označiti vektore kao usmjerene, tj. Vektori će imati isti smjer. U slučaju 180 stupnjeva, vektori će biti suprotno usmjereni.

Specifični vektori

Pronalaskom kuteva između vektora, pored codirekcijskih i suprotno usmjerenih, opisanih gore, može se naći jedan od posebnih tipova.

  • Nekoliko vektora paralelnih s jednom ravninom nazivaju se koplanarni.
  • Vektori iste duljine i smjera se nazivaju jednaki.
  • Vektori koji leže na jednoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
  • Ako je duljina vektora nula, tj. Njezin početak i kraj se podudaraju, onda se ona zove nula, a ako je jedna, onda je to jedinica.