Kako izračunati volumen lopte i druge nijanse u izračunima

Prije nego što počnete proučavati pojam lopte, koliki je volumen lopte, razmotrite formule za izračunavanje njezinih parametara, trebate se prisjetiti koncepta kruga koji je ranije proučavan tijekom geometrije. Uostalom, većina akcija u trodimenzionalni prostor slične su ili proizlaze iz dvodimenzionalne geometrije, korigirane za izgled treće koordinate i trećeg stupnja.

Što je krug?

Krug je lik na kartezijanskoj ravnini (prikazan na slici 1); Najčešće, definicija zvuči kao "mjesto svih točaka na ravnini, udaljenost od koje do određene točke (središte) ne prelazi određeni ne-negativni broj, nazvan radijus."

Kao što vidimo na slici, točka O je središte figure, a skup apsolutno svih točaka koje popunjavaju krug, na primjer, A, B, C, K, E, nisu dalje od određenog radijusa (ne protežu se izvan kruga prikazanog na slici) , 2).

Ako je radijus nula, krug se pretvara u točku.

Razumijevanje problema

Učenici često zbunjuju ove pojmove. Lako se pamti crtajući analogiju. Obruč koji djeca uvijaju u nastavi tjelesnog odgoja je krug. Shvaćajući ovo ili sjetivši se da su prva slova obiju riječi "O", djeca će razumjeti razliku.

Uvođenje pojma "lopta"

Kugla je tijelo (slika 3), omeđeno sferičnom površinom. Kakva će biti "sferna površina" iz njegove definicije: to je geometrijski položaj svih točaka na površini, udaljenost od kojega do određene točke (središta) ne prelazi određeni ne-negativni broj, nazvan radijus. Kao što vidimo, pojmovi kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se oni nalaze razlikuju. Ako nacrtamo kuglu u dvodimenzionalnom prostoru, dobivamo krug, čija je granica krug (na kuglici je granica sferična površina). Na slici vidimo sferičnu površinu s radijusima OA = OB.

Loptica je zatvorena i otvorena

U vektorskim i metričkim prostorima također se razmatraju dva pojma povezana sa sferičnom površinom. Ako lopta uključuje ovu sferu sama po sebi, onda se ona zove zatvorena, a ako ne, onda je lopta otvorena. To su više “napredni” koncepti, oni se proučavaju u institucijama s uvodom u analizu. Za jednostavnu, čak i kućnu uporabu, dovoljne su one formule koje se proučavaju tijekom stereometrije 10-11 klasa. Upravo takvi koncepti dostupni su gotovo svakom prosječnom obrazovanom čovjeku o kojem će se dalje raspravljati.

Koncepti koje trebate znati za sljedeće izračune

- Radijus i promjer.

- Polumjer lopte i njezin promjer određuju se na isti način kao i krug.

- Radius - segment koji povezuje bilo koju točku na granici lopte i točku koja je središte lopte.

- Promjer - segment koji povezuje dvije točke na granici lopte i prolazi kroz njegovo središte. Slika 5a jasno pokazuje koji segmenti su polumjeri kugle, a na slici 5b prikazani su promjeri kugle (segmenti koji prolaze kroz točku O).

Dijelovi u sferi (lopta)

Bilo koji dio kugle je krug. Ako prolazi kroz središte lopte, to se naziva veliki krug (krug promjera AB), preostali dijelovi su mali krugovi (krug promjera DC).

Površina tih krugova izračunava se pomoću sljedećih formula:

Ovdje je S oznaka područja, R je radijus, D je promjer. Također je prisutna konstanta od 3,14. Ali nemojte brkati da za izračunavanje površine velikog kruga pomoću radijusa ili promjera kugle (kugle), te za određivanje područja, potrebne su dimenzije radijusa samo za mali krug.

Postoji bezbroj takvih dijelova koji prolaze kroz dvije točke istog promjera koje leže na granici lopte. Kao primjer - naš planet: dvije točke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi Zemljine osi, au geometrijskom smislu - krajevi promjera i meridijani koji prolaze kroz te dvije točke (Slika 7). To jest, broj velikih krugova u sferi teži do beskonačnosti u broju.

Loptasti dijelovi

Ako odvojite kuglu od kugle uz pomoć određene "komadne" ravnine (slika 8), tada će se zvati sferni ili sferični segment. Imat će visinu - okomitu od središta ravnine rezanja prema sfernoj površini O ₁ K. Točka K na sfernoj površini, na koju dolazi visina, naziva se vrhom sfernog segmenta. I mali krug s polumjerom O ₁ T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prolazila kroz središte kugle, ali ako dionica prođe kroz središte, tada će kružnica kruga biti velika) nastala kada je segment kugle odsječen, nazvat će se baza našeg komada lopta - sferni segment.

Ako svaku točku baze sfernog segmenta povežemo sa središtem kugle, dobivamo oblik nazvan "sektor lopte".

Ako dvije kugle koje su paralelne jedna s drugom prolaze kroz sferu, tada se taj dio kugle koja je zatvorena između njih zove sferni sloj (slika 9, koja prikazuje sferu s dvije ravnine i sferni sloj odvojeno).

Površina (istaknuti dio na slici 9 desno) ovog dijela sfere naziva se pojas (opet, radi boljeg razumijevanja, može se crtati analogija sa zemljom, odnosno s njezinim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim, itd.), A krugovi dionica bit će baze kuglični sloj. Visina sloja je dio promjera koji je izvučen okomito na ravninu rezanja od središta podnožja. Tu je i koncept sfere. Formira se u slučaju kada ravnine, koje su paralelne jedna s drugom, ne sijeku sferu, već je dodiruju u jednoj točki.

Formula za izračunavanje volumena lopte i njene površine

Kugla se formira rotiranjem oko fiksnog promjera polukruga ili kruga. Za izračunavanje različitih parametara ovog objekta neće trebati previše podataka.

Volumen lopte, formula za izračunavanje koja je gore navedena, izvedena je pomoću integracije. Mi ćemo razumjeti točke.

Razmatramo krug u dvodimenzionalnoj ravnini, jer, kao što je gore spomenuto, to je krug koji čini osnovu konstrukcije lopte. Koristimo samo njegov četvrti dio (Slika 10).

Uzmite krug s radijusom jedinice i središtem na početku. Jednadžba takvog kruga je sljedeća: X ² + Y ² = R ² . Ovdje izražavamo Y: Y2 = R2 - X2.

Imajte na umu da je rezultirajuća funkcija ne-negativna, kontinuirana i opada na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada uzmemo u obzir četvrtinu kruga, leži od nule do vrijednosti radijusa, to jest do jednog.

Sljedeća stvar koju trebamo učiniti je rotirati našu četvrtinu kruga oko x-osi. Kao rezultat toga, dobivamo hemisferu. Da bismo odredili njegov volumen, pribjegavamo metodama integracije.

Budući da je ovaj volumen samo hemisfera, udvostručujemo rezultat, odakle dobivamo da je volumen lopte jednak:

Male nijanse

Ako je potrebno izračunati volumen lopte kroz njegov promjer, zapamtite da je polumjer pola promjera, a tu vrijednost zamijenite u gornjoj formuli.

Također, formula za volumen lopte može se doseći kroz područje njegove granične površine - kuglu. Podsjetimo se da je područje kugle izračunato pomoću formule S = 4πr ² , integrirajući to, te dolazimo do gornje formule za volumen lopte. Iz istih formula može se izraziti radijus ako uvjet problema sadrži vrijednost volumena.