Brojevni sustavi: primjeri. Prijevod brojevnih sustava

Govoreći na najjednostavnijem jeziku, sustav brojeva je način predstavljanja brojeva. Koristili smo metodu izračuna pri izračunavanju 10. Drugi sustavi brojeva, na primjer, imaju bazu od 16 (heksadecimalni), 8 (oktalni) i 2 (binarni).

Prapovijesna vremena

Kao što su se prvi pokušaji pisanja pojavili nakon razvoja govora, prvi napori da se grafički prikažu brojevi pojavili su se nakon što su ljudi naučili računati. Vjerojatno je najraniji način brojanja neka vrsta sustava za brojanje fizičkih objekata, kao što su šljunak ili štapići. Sudeći prema običajima sadašnjih autohtonih naroda, kao i najstariji tragovi pisanih ili skulpturalnih nalaza, najranije figure bile su jednostavne posjekotine na daskama, ogrebotine na kamenu, oznake na komadu keramike, itd. Bez fiksnih jedinica, bez novca, bez trgovine osim najprimitivnijeg razmjene, bez poreznog sustava, i bez potreba koje su podržavale život, ljudi nisu trebali pisane brojeve sve do početka takozvanih povijesnih vremena.

Prve metode brojanja

Kada je postalo nužno često brojati više od 10, numeriranje je moralo biti sistematizirano i pojednostavljeno; to se obično činilo pomoću skupine ili grupe. Zapravo, najraniji zabilježeni brojevi bili su jednostavni linearni znakovi za male brojeve s posebnim obrascem za 10. Ovi se simboli pojavljuju u Egiptu već 3400. pr. Kr. Iu Mezopotamiji već 3000. prije Krista, na Kreti (oko 1200. godine prije Krista). ) U Indiji (oko 300. g. Pr. Kr.).

Naravno, posebno mjesto zauzima broj 10 broja ljudskih prstiju, što potvrđuje sadašnju uporabu ovog okvira, ne samo u logičkoj strukturi decimalnog sustava, nego iu imenima brojeva u mnogim jezicima.

Raznolikost metoda brojanja

Međutim, ne treba zaključiti da je 10 ili jedina moguća osnova ili jedina koja se zapravo koristi. Postoji mnogo primjera brojnih sustava. Binarni, u kojem je brojanje "jedan, dva, dva i jedan, dva i dva, dva i dva i jedan", itd., Nalazi se među najstarijim plemenima Australije, u mnogim jezicima naroda Torresovog tjesnaca i susjedne obale Nove Gvineje, među neke afričke pigmeje i razna južnoamerička plemena. Autohtoni narodi Tierra del Fuego i južnoamerički kontinent koriste brojevne sustave s bazama tri i četiri. Osnovni sustav broj pet je vrlo star, ali u svom čistom obliku, čini se da se danas koristi samo u nekim plemenima u Južnoj Americi. U drugim je mjestima u kombinaciji s decimalnim ili dvanaest decimalnim sustavom, gdje je baza 20. Na sličan način, sustav temeljen na 6 je rijedak u sjeverozapadnoj Africi i povezan je s dvanaestom osnovnim sustavom.

Tijekom povijesnog razvoja, decimalni sustav konačno je zasjenio sve ostale. Ipak, još uvijek postoje mnogi drugi sustavi koji se uglavnom koriste u komercijalnoj i stambenoj industriji. Dakle, baza 12 se pojavljuje kao broj inča u stopama, mjeseci u godini, unci u funti, i dvaput za 12 sati dnevno, kao i desetak korištenih u izračunu. Baza 60 se nalazi kod mjerenja vremena i kutova.

Digitalni sustavi

Prve primitivne znamenke bile su |, ||, ||| itd., na primjer, u Egiptu i staroj Grčkoj, ili -, =, itd., kao u Istočnoj Aziji. Ova metoda računanja odgovarala je jednostavnim potrebama ljudi. Kako je život postao složeniji, potreba za brojem skupina brojeva postala je očigledna, i to je bio samo mali korak od jednostavnog sustava s imenima za samo jedan i deset do pojavljivanja drugih posebnih brojeva, na temelju kojih možete odrediti koliko je brojevnih sustava postojalo i postojalo. Ponekad je taj proces bio nesustavan. Primjerice, Yukaghir iz Sibira smatrao je "jedan, dva, tri, tri i jedan, pet, dva tri, dva tri i jedan, dva četiri, deset s jednom propuštenom, deset". Obično je, međutim, redovitiji sustav doveo do činjenice da se većina tih sustava može klasificirati, barem općenito, u skladu s logičkim načelima na kojima se oni temelje.

Jednostavni sustavi grupiranja

Na temelju svoje vrijednosti brojni se sustav može smatrati metodom grupiranja brojeva. U svom čistom obliku, jednostavni sustav grupiranja je dodjeljivanje posebnih imena za male brojeve, baza b i njegove snage b2, b3, itd., Do stupnja bk koji je dovoljan da predstavlja sve brojeve koji su stvarno potrebni za korištenje. Zatim se srednji brojevi formiraju dodavanjem, svaki se znak ponavlja potreban broj puta, kao što je 23 zapisano - XXIII - rimskim brojevima.

Najraniji primjer takvog sustava brojeva je uzorak koji se nalazi u egipatskim hijeroglifima. Koristili su ga stari Egipćani za pisanje na kamenu.

Pozicijski brojčani sustavi

One uključuju one u kojima položaj (znamenka) prilikom pisanja broja određuje njegovu vrijednost. Sustav decimalnih brojeva je primjer pozicijskog sustava u kojem su, nakon što je baza b usvojena, posebna imena dodijeljena brojevima 1, 2, ..., b-1, a svi veći brojevi su zapisani kao sekvence ovih figura. To je jedini među brojnim sustavima koji se mogu koristiti za opisivanje velikih brojeva. To je zato što svaki drugi tip daje posebna imena različitim brojevima većim od b, a svi brojevi zahtijevaju beskonačan broj imena. Uspjeh pozicijskog sustava brojeva ovisi o činjenici da se za proizvoljnu bazu b svaki broj N može jednoznačno napisati u obliku:

N = anbn + an - 1bn - 1 + ⋯ + a1b + a0,

gdje su a, an - 1, ..., a0 brojevi; to jest, brojevi iz skupine 0, 1, ..., b - 1. Tada N na bazi b može biti predstavljen nizom anan - 1 ... a1a0 znakova. Ovaj princip je korišten u multiplikativnim sustavima grupiranja. Pozicijski sustav potječe od multiplikativnog jednostavno isključivanjem naziva stupnjeva b, b2, itd. I određuje se ovisno o položaju brojeva za prezentaciju tih informacija. Međutim, tada je potrebno upotrijebiti neki znak za nulu kako bi se naznačilo nedostajuće osnovno ovlaštenje; inače, 792 može značiti, na primjer, ili 7M9X2 (tj. 7,092) ili 7C9X2 (792).

Razvoj u različitim zemljama

Primjer ove vrste brojčanog sustava je metoda koju su razvili Babilonci (otprilike 3000-2000 godina prije Krista). Ovdje je kao osnova korišten broj 60. Takav se sustav naziva heksadecimalnim. S tako velikom bazom bilo bi neprikladno imati nepovezana imena za brojeve 0, 1, ..., 59, tako da je za te brojeve korišten jednostavan sustav grupiranja do dna 10.

Uz činjenicu da je ovaj sustav bio težak zbog svoje velike baze, babilonski je sustav patio sve do vrlo kasno od odsutnosti nule.

Tijekom ranih ekspedicija na Yucatan, otkriven je još jedan primjer Maya brojevnog sustava. Koristio se uglavnom u kalendaru, a ne za komercijalne ili druge izračune. Bio je to dobro razvijen položajni sustav. Njegova baza je broj 20. Brojevi 0, 1, ..., 19, kao u Babilonu, formirani su jednostavnim sustavom grupiranja, u ovom slučaju bazom 5.

Ni Mayanski ni Babilonski sustavi nisu idealni za aritmetičke izračune, jer brojke manje od 20 ili 60 nisu predstavljene pojedinačnim znakovima.

evolucija

Daljnji razvoj ove ideje povezan je s Indijancima, koji su također prvi koristili nulu u modernoj slici. U sustavima pozicioniranja potreban je neki znak za označavanje mjesta na kojem baza zapravo nije pronađena. Hindusi su to označili točkom ili malim krugom, koji je dobio ime sunya, sanskritska riječ "prazna". Zatim oko 800. godine poslije Krista ta oznaka je prešla na Arape, au prijevodu je vrijednost ostala nepromijenjena. Nakon toga upoznao se s latinskim jezikom (oko 1200), a izgovor je sačuvan, ali je vrijednost zanemarena. Naknadne promjene dovele su do modernog naziva.

Hindu-arapski sustav

Postoji nekoliko različitih mišljenja o podrijetlu modernih zapadnih brojeva: oni obično govore o njihovom arapskom podrijetlu, ali je bolje razmotriti hindu-arapski. U ovom se slučaju tvrdi da je njihovo podrijetlo povezano s Arapima, Perzijancima, Egipćanima i Hindusima. Nije isključeno da je komunikacija između trgovaca služila kao prilika za prijenos tih simbola iz zemlje u zemlju, tako da moderne zapadne figure mogu doći iz različitih izvora. Međutim, koliko je poznato, zemlja koja je prvi put koristila najveći broj ovih numeričkih oblika je Indija. 1, 4 i 6 nalaze se u natpisima Ashoke (III st. Prije Krista); 2, 4, 6, 7 i 9 pojavljuju se u natpisima Nana Ghat nakon otprilike jednog stoljeća; i 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 9 u špiljama Nasika 1. ili 2. stoljeća poslije Krista. Svi ovi brojevi imali su oblik koji je uglavnom sličan današnjim.

Prednosti koje posjeduje savršen sustav pozicioniranja toliko su brojne i toliko očite da su hindu-arapski brojevi i baza 10 prihvaćeni gotovo svugdje. Može se reći da je to najbliži pristup univerzalnom ljudskom jeziku.

Binarni sustav

Međutim, postoji područje u kojem uobičajeni decimalni sustav nije najbolji: računalo. Ovdje binarni pozicijski sustav ima više prednosti od decimalnog. U ovom sustavu baza 2 određuje koliko je brojeva u binarnom brojevnom sustavu: ovdje su samo dvije znamenke - 0 i 1; broj dva je ovdje prikazan kao 10, budući da igra istu ulogu kao deset u decimalnom sustavu.

Binarni broj je obično mnogo dulji od odgovarajućeg decimalnog broja; na primjer, 256 058 ima binarni prikaz 111 11010 00001 11010. Binarna znamenka, kao jedinica u brojevnom sustavu, nosi manje informacija nego decimalna znamenka. Razlog veće duljine binarnog broja je u tome što binarna znamenka razlikuje samo dvije mogućnosti: 0 ili 1, dok decimalna znamenka razlikuje 10 mogućnosti.

Oktalni i heksadecimalni sustavi brojeva

Njihova upotreba također je povezana s računalima i programiranjem.

Stariji sustav numeriranja računala je oktalni broj, gdje je baza broj 8. Brojevi upotrijebljeni u ovom sustavu su: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Vrijednost “osam” se bilježi kao “1 osam i 0 jedinica” ili 10. Svaka vrijednost položaja je osam puta različita od sljedeće.

S tehničkog gledišta, postoji toliko različitih računalnih jezičnih protokola za oktalni sustav.

Drugi se sustav naziva heksadecimalnim, budući da ovaj sustav ima bazu od 16. Valjane šifre uključuju normalne decimalne znakove 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, kao i šest slova A, B, C , D, E i F, ukupno šesnaest. Vrijednost svake pozicije razlikuje se od prethodne šesnaest puta.

Octalni i heksadecimalni sustavi bili bi besmisleni da nije njihova sposobnost da se lako pretvore u i iz binarnog sustava. Njihov glavni cilj je da služe kao "skraćeni" način označavanja broja koji je elektronski predstavljen u binarnom obliku. Budući da su osnove oktalnih (8) i heksadecimalnih (16) sustava parne i višestruke binarnoj bazi (2), binarni bitovi mogu se grupirati zajedno, a brojevi u sustavima brojeva mogu se izravno pretvoriti u oktalne ili heksadecimalne znamenke. Pri konvertiranju u oktalni sustav, binarni bitovi su grupirani u tri (jer 23 = 8), au heksadecimalnom - binarni bitovi su grupirani u četiri (jer je 24 = 16).

Slično tome, pretvorba brojeva u oktalnom ili heksadecimalnom u binarne brojeve izvodi se pomoću svake oktalne ili heksadecimalne znamenke i pretvara se u ekvivalentnu binarnu (3 ili 4-bitnu) skupinu, a zatim se sve skupine bitova kombiniraju.