Paradox Monty Hall. Najpreciznija matematika

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja je spremna zbuniti same matematičare. Za razliku od ostalih, egzaktnih i nepokolebljivih dogmi ove znanosti, ovo područje obiluje neobičnostima i netočnostima. U ovom odjeljku nedavno je dodan novi odlomak - paradoks Monty Halla. To je, općenito, zadaća, ali ona se rješava na potpuno drugačiji način od onih na koje smo navikli.

Povijest porijekla

U paradoksu Monty Halla ljudi su razbijali glavu još od daleke 1975. godine. Ali vrijedi početi od 1963. godine. Tada je izašla TV emisija pod nazivom Let's make a deal, što znači "Dogovorimo se." Njezino vodstvo nije bio nitko drugi nego Monty Hall, koji je gledatelje bacao ponekad neugledne zagonetke. Jedno od najupečatljivijih je ono koje je predstavio 1975. godine. Zadatak je postao dio matematičke teorije vjerojatnosti i paradoksa koji se uklapaju u njegov okvir. Također je vrijedno spomenuti da je ova pojava dovela do snažnih rasprava i oštrih kritika znanstvenika. Paradoks Montyja Halla objavljen je u časopisu Parade 1990. godine i od tada postaje još debatiranija i kontroverznija tema svih vremena i naroda. Pa, sada nastavite izravno s njegovom formulacijom i tumačenjem.

Formuliranje problema

Mnogo je tumačenja ovog paradoksa, ali odlučili smo vam predstaviti klasik, koji je prikazan u samom programu. Dakle, prije nego što su tri vrata. Iza jedne od njih je automobil, iza još dva na jednoj kozi. Voditelj vas poziva da odaberete jedno od vrata, i, recimo, ostanete na broju 1. Do sada ne znate što se nalazi iza ovih prvih vrata, budući da ste otvorili treći, i pokazali da iza njega stoji koza. Dakle, još niste izgubili, jer niste izabrali vrata koja skrivaju opciju gubitka. Prema tome, vaše šanse za dobivanje automobila povećavaju se.

Ali ovdje vam vođa nudi promjenu odluke. Prije nego što imate dva vrata, za jednu kozu, za još jednu željenu nagradu. To je suština problema. Čini se da su šanse 50 do 50, bez obzira na to koje od ova dva vrata odaberete. Ali, u stvari, ako promijenite odluku, vjerojatnost da ćete pobijediti bit će veća. Kako to?

Objašnjenje paradoksa Monty Halla

Prvi izbor koji napravite u ovoj igri je slučajan. Ne možete čak ni nagađati koja od triju vrata je skrivena nagrada, pa nasumice ukazuje na prvu. Vođa pak zna gdje se stvari nalaze. Ima vrata s nagradom, vrata koja ste naznačili, i treća bez nagrade, koju vam otvara kao prvi trag. Drugi nagovještaj leži u njegovom prijedlogu da promijeni izbor.

Sada nećete odabrati slučajno jednu od tri, ali čak možete promijeniti svoju odluku da biste dobili željenu nagradu. To je prednost koja daje osobi uvjerenje da auto zapravo nije iza vrata koja je odabrao, nego iza drugih. To je cijela bit paradoksa, jer je, u stvari, potrebno odabrati (barem od dva, a ne od tri) nasumce, ali šanse za pobjedu se povećavaju. Kako statistike pokazuju, od 30 igrača koji su se predomislili, osvojili su automobil 18. A to je 60%. I od istih 30 ljudi koji nisu promijenili odluku - samo 11, odnosno 36%.

Liječenje u brojkama

Sada paradoks Montija Halla daje precizniju definiciju. Prvi izbor igrača razbija vrata u dvije skupine. Vjerojatnost da se nagrada nalazi iza vrata koja ste odabrali je 1/3, a iza onih vrata koja ostaju 2/3. Voditelj dalje otvara jedno od vrata druge skupine. Tako on prenosi preostalu vjerojatnost, 2/3, na jedna vrata koja niste izabrali i koje nije otvorio. Logično je da će nakon takvih izračuna biti isplativije promijeniti vašu odluku. Ali važno je zapamtiti da još uvijek postoji šansa da se izgubi. Ponekad vodeći lukav, jer u početku možete probiti na ispravan, nagradu vrata, a nakon što je dobrovoljno odbiti.

Svi smo navikli na činjenicu da matematika, kao egzaktna znanost, ide ruku pod ruku sa zdravim razumom. Ovdje to čine brojevi, a ne riječi, točne formule, ne nejasna razmišljanja, koordinate, a ne relativni podaci. No, novi odjeljak nazvan teorija vjerojatnosti eksplodirao je cijeli poznati obrazac. Zadaci iz ovog područja, čini se, ne ulažu u okvire zdravog razuma i potpuno proturječe svim formulama i izračunima. U nastavku predlažemo upoznavanje s drugim paradoksima teorije vjerojatnosti, koje imaju nešto zajedničko s onim što je gore opisano.

Paradoks dječaka i djevojčica

Problem je, na prvi pogled, apsurdan, ali se strogo drži matematičke formule i ima dva moguća rješenja. Dakle, određeni čovjek ima dvoje djece. Jedan od njih je vjerojatno dječak. Koja je vjerojatnost da će dječak biti drugi?

Opcija 1. Razmotrimo sve kombinacije dvoje djece u obitelji:

• Djevojka / djevojka
• Djevojka / dječak
• Dječak
• Dječak

Prva nam kombinacija očigledno ne odgovara, dakle, na temelju posljednje tri, dobivamo vjerojatnost 1/3 da će drugo dijete biti mali čovjek.

Opcija 2. Ako u praksi zamislimo takav slučaj, odbacujući frakcije i formule, na temelju činjenice da na Zemlji postoje samo dva spola, vjerojatnost da će drugo dijete biti dječak je 1/2.

Paradoks uspavane ljepotice

Ovo iskustvo nam pokazuje kako se može slavno manipulirati statistikom. Dakle, uspavana ljepotica se ubrizgava tabletom za spavanje i baca se novčić. Ako orao padne, onda se budi i eksperiment prestaje. Ako repovi ispadnu, onda je probude, odmah čine drugu injekciju, a ona zaboravi da se probudila, a nakon toga ponovno se probudi samo drugog dana. Nakon punog buđenja "ljepote", nepoznato je koji dan je otvorila oči, ili kakva je vjerojatnost da je novčić pao kao rep. Prema prvoj varijanti rješenja, vjerojatnost dobivanja repa (orla) je 1/2. Suština druge opcije je da, ako eksperiment provodite 1000 puta, u slučaju orla, "ljepota" će se probuditi 500 puta, a s rijetkom - 1000. Sada je vjerojatnost repa 2/3.