Volumen paralelepipeda: osnovne formule i primjeri zadataka

Često se studenti ljutito pitaju: "Kako to mogu koristiti u životu?" O bilo kojoj temi svakog subjekta. Pitanje volumena paralelepipeda nije iznimka. I ovdje možete samo reći: "To je korisno."

Kako, primjerice, saznati hoće li se paket uklopiti u poštanski sandučić? Naravno, moguće je probnim i pogrešnim odabirom odgovarajućeg. A ako ne postoji takva mogućnost? Zatim će doći do spašavanja. Znajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen paketa (barem približno) i odgovoriti na postavljeno pitanje.

Parallelepiped i njegove vrste

Ako doslovno prevedete njegovo ime iz starogrčkoga, ispada da je to figura koja se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje takve ekvivalentne definicije paralelopipeda:

• prizma s bazom u obliku paralelograma;
• poliedar, od kojih je svako lice paralelogram.

Njezine se vrste ističu ovisno o tome koja figura leži u bazi i kako su bočni rubovi usmjereni. Općenito govoreći, radi se o nagnutom paralelopipedu , čija su baza i sva lica paralelogrami. Ako, u prethodnom prikazu, bočna lica postanu pravokutnici, tada će se trebati nazvati pravocrtnim linijama . I pravokutna baza također ima kut od 90º.

A potonji u geometriji pokušavaju prikazati tako da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje se, uzgred, uočava glavna razlika između matematičara i umjetnika. Posljednje je važno prenijeti tijelo uz poštivanje zakona prospekta. I u ovom slučaju paralelnost rebara je potpuno nevidljiva.

O unesenom zapisu

U donjim formulama vrijedi oznaka u tablici.

Formule za kosu paralelepiped

Prvi i drugi za prostor:

Treći kako bi se izračunao volumen paralelepipeda:

Budući da je baza paralelogram, da biste izračunali njezino područje, trebate koristiti odgovarajuće izraze.

Formule za pravokutni paralelopiped

Slično kao i prva stavka - dvije formule za područja:

I još jedan za volumen:

Prvi zadatak

Stanje. S obzirom na pravokutni paralelopiped, čiji volumen želite pronaći. Poznata dijagonala - 18 cm - i činjenica da tvori kutove od 30 i 45 stupnjeva s ravninom bočne strane i bočnog ruba, respektivno.

Odluka. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate znati sve strane u tri desni trokuti. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova, koje treba brojati.

Prvo morate saznati gdje je kut na 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha iz kojeg je izvučena glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih bit će ono što je potrebno.

Prvi trokut, koji će dati jednu od vrijednosti stranica baze, bit će sljedeći. Sadrži željenu stranu i dvije dijagonalno postavljene. Pravokutna je. Sada trebate koristiti omjer suprotne strane (bazna strana) i hipotenuze (dijagonalno). To je jednako sinusu od 30º. To znači da će nepoznata strana baze biti definirana kao dijagonala pomnožena s sinusom od 30º ili ½. Neka bude označena slovom “a”.

Lako se broji: a = 18 * ½ = 9 (cm).

Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim formira 45º. Također je pravokutan i možete ponovno koristiti nogu u odnosu na hipotenuzu. Drugim riječima, bočni rub dijagonale. To je jednako kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao proizvod dijagonale po kosinusu od 45º.

c = 18x1 / 2 = 9 × 2 (cm).

U istom trokutu potrebno je pronaći drugu nogu. To je potrebno kako bi se treće nepoznato - "u" brojilo. Neka bude označena slovom "x". Lako je izračunati Pitagorinim teoremom:

x = √ (18 ² - (9) ² ) ² ) = 9 ( ² (cm).

Sada moramo razmotriti još jedan trokut. Sadrži već poznate strane "s", "x" i one koje trebate računati, "c":

c = (((9√2) ² - 9 ² = 9 (cm).

Sve tri količine su poznate. Možete upotrijebiti formulu za glasnoću i brojiti je:

V = 9 x 9 x 9x2 = 729-2 (cm3).

Odgovor: volumen paralelepipeda je 729x2 cm3.

Drugi zadatak

Stanje. Potrebno je pronaći volumen paralelepipeda. Poznate su strane paralelograma, koji leži u podnožju, 3 i 6 cm, kao i njegov akutni kut - 45º. Bočni rub ima nagib do baze od 30º i iznosi 4 cm.

Odluka. Da biste odgovorili na pitanje problema, trebate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali u njemu su obje količine nepoznate.

Područje baze, tj. Paralelogram, određivat će se formulom u kojoj trebate pomnožiti poznate strane i sinus akutnog kuta između njih.

S _o = 3 * 6 sin 45º = 18 * ()2) / 2 = 9 (2 (cm2).

Druga nepoznanica je visina. Može se izvući iz bilo kojeg od četiriju vrhova iznad baze. Može se naći iz pravokutnog trokuta, u kojem je visina noga, a bočni rub hipotenuza. Kut od 30º nalazi se nasuprot nepoznatoj visini. Dakle, možete koristiti stav noge u hipotenuzi.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Sada su sve vrijednosti poznate i možete izračunati volumen:

V = 9 × 2 x 2 = 18 ± 2 (cm3).

Odgovor: glasnoća je 18 × 2 cm3.

Treći zadatak

Stanje. Pronađite volumen paralelepipeda, ako znate da je ravan. Na bočnim stranama podnožja formira se paralelogram, veličine 2 i 3 cm, a akutni kut između njih je 60º. Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je većoj dijagonali baze.

Odluka. Kako bismo saznali volumen paralelepipeda, koristimo formulu s osnovnom površinom i visinom. Obje količine su nepoznate, ali ih nije teško izračunati. Prva je visina.

Budući da se manja dijagonala paralelepipeda poklapa veličine veće osnove, mogu se označiti jednim slovom d. Veći kut paralelograma je 120º, budući da čini 180º s oštrim. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada se za dvije osnovne dijagonale može pisati kosinusni teoremi :

d ² = a ² + u ² - 2av cos 120º,

x ² = a ² + u ² - 2av cos 60º.

Pronalaženje vrijednosti bez kvadrata nema smisla, jer će se tada ponovno podići na drugu snagu. Nakon dobivanja zamjene podataka:

d ² = 2 ² + 3 ² - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x ² = a ² + u ² - 2av cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Sada će visina, koja je bočni rub paralelepipeda, biti noga u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a druga će biti "x". Možete napisati Pitagorejsku teoremu:

n ² = d ² - x ² = 19 - 7 = 12.

Odavde: n = =12 = 2√3 (cm).

Druga nepoznata količina je područje baze. Može se računati pomoću formule navedene u drugom problemu.

S _o = 2 * 3 sin 60º = 6 * /3 / 2 = 3√3 (cm2).

Kombinirajući sve u formuli volumena, dobivamo:

V = 3'3 x 2'3 = 18 (cm3).

Odgovor: V = 18 cm3.

Četvrti zadatak

Stanje. Potrebno je znati volumen paralelepipeda koji ispunjava ove uvjete: baza - kvadrat sa stranom od 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova iznad baze jednako je udaljen od svih vrhova baze.

Odluka. Prvo se morate nositi s tim stanjem. S prvim odlomkom o trgu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelepiped nagnut. Štoviše, svi rubovi su 5 cm, budući da su strane romba iste. I iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dvije koje leže na bočnim stranama, a potonje je unutar paralelopipeda. I ove dijagonale su jednake rubu, to jest, one također imaju duljinu od 5 cm.

Za određivanje volumena bit će potrebna formula napisana za kosi paralelopiped. Opet, nema poznatih vrijednosti. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je kvadratno.

_S0 = 5 = 25 (cm2).

Malo teže je slučaj s visinom. Bit će to u tri figure: paralelopiped, četverokutna piramida i jednakokračan trokut. Posljednja okolnost i potrebno je iskoristiti.

Budući da je visina, to je noga u pravom trokutu. Hipotenuza u njoj bit će poznati rub, a druga noga jednaka polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijana). I dijagonalu baze je lako pronaći:

d = √ (2 x 5 ² ) = 5√2 (cm).

Bit će potrebno izračunati visinu kao razliku drugog stupnja ruba i kvadrata polovice dijagonale i ne zaboraviti izvući. kvadratni korijen :

n = √ (5 ² - (5/2 * ) ² ) ² ) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 (2 (cm).

Preostaje brojanje glasnoće:

V = 25 x 2,5 x 2 = 62,5 x 2 (cm3).

Odgovor: 62,5 × 2 (cm3).