Poincarev teorem jednostavnim riječima

Jules Henri Poincaré (1854-1912) vodio je Parišku akademiju znanosti i izabran je na znanstvene akademije u 30 zemalja svijeta. Imao je razmjere Leonarda: njegove su se interese odnosile na fiziku, mehaniku, astronomiju, filozofiju. Matematičari cijelog svijeta još uvijek tvrde da su samo dvije osobe u povijesti znale ovu znanost: njemački David Gilbert (1862-1943) i Poincare.

Godine 1904. znanstvenik je objavio rad koji je između ostalog sadržavao pretpostavku, nazvanu Poincarev teorem. Potraga za dokazima istinitosti ove izjave trajala je oko jednog stoljeća.

Topologija osnivača

Matematički genij Poincarea impresivan je u broju dijelova znanosti, gdje je razvio teorijske temelje različitih procesa i pojava. U vrijeme kada su znanstvenici napravili proboj u novim svjetovima kozmosa iu dubinama atoma, bilo je nemoguće bez jedne osnove opće teorije svemira. Prethodno nepoznate grane matematike postale su takva baza.

Poincaré je tražio novi pogled na nebesku mehaniku, stvorio je kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi, teoriju automorfnih funkcija. Istraživački znanstvenik postao je temelj posebna teorija relativnosti Einstein. Poincareov teorem o povratku rekao je, između ostalog, da je moguće razumjeti svojstva globalnih objekata ili pojava ispitivanjem sastavnih čestica i elemenata. To je dalo snažan poticaj znanstvenim istraživanjima u fizici, kemiji, astronomiji itd.

Geometrija je grana matematike u kojoj je Poincaré postao priznati inovator i svjetski lider. Teorija Lobačevskog, otvarajući nove dimenzije i prostore, i dalje je trebala jasan i logičan model, a Poincaré je dao ideje velikog ruskog znanstvenika primijenjenom karakteru.

Razvoj neeuklidske geometrije bio je nastanak topologije - grane matematike, koja se nazivala geometrija položaja. Ona proučava prostorne odnose točaka, linija, ravnina, tijela itd. bez obzira na njihova metrička svojstva. Poincareov teorem, koji je postao simbol najuzbudljivijih problema u znanosti, nastao je upravo u dubinama topologije.

Jedan od sedam milenijskih ciljeva

Na samom početku 21. stoljeća, jedan od odjela Američkog sveučilišta u Cambridgeu - matematički institut utemeljen na sredstvima biznismena Landona T. Claya - objavio je popis problema Milenijske nagrade (milenijski problemi). Ona je sadržavala sedam točaka iz klasičnih znanstvenih problema, za rješenje svake od njih dodijeljena je nagrada od milijun dolara:

• Jednakost klasa P i NP (na podudarnosti algoritama za rješavanje problema i metode za provjeru njihove ispravnosti).
• Hodgeova hipoteza (o povezanosti objekata i njihovoj sličnosti, sastavljena za njihovo proučavanje od "cigli" s određenim svojstvima).
• Poincareova pretpostavka (svako jednostavno povezano kompaktno trodimenzionalno mnoštvo bez granice je homeomorfno trodimenzionalnoj sferi).
• Riemannova hipoteza (o pravilnosti smještaja primes).
• Teorija Yang-Millsa (jednadžbe iz polja elementarnih čestica, koje opisuju različite vrste interakcija).
• Postojanje i glatkoća rješenja Navier - Stokesovih jednadžbi (opisuju turbulencije protoka zraka i tekućine).
• Birch-Swinnerton-Dyer-ova pretpostavka (o jednadžbama koje opisuju eliptičke krivulje).

Svaki je problem imao vrlo dugu povijest, potraga za njihovim rješenjem dovela je do pojave potpuno novih znanstvenih područja, ali jedini ispravni odgovori na postavljena pitanja nisu pronađeni. Razumijevanje ljudi reklo je da je novac Zaklade Clay siguran, ali to je bio tek do 2002. - onaj koji je dokazao Poincaréov teorem. Istina, nije uzeo novac.

Klasična formulacija

Hipoteza za koju se potvrda nalazi postaje teorem koji ima ispravan dokaz. Upravo se to dogodilo s prijedlogom Poincaréa o svojstvima trodimenzionalnih sfera. U općenitijem obliku, ovaj postulat govorio je o homeomorfizmu svake raznolikosti dimenzije n i sferi dimenzije n kao nužnom uvjetu za njihovu homotopsku ekvivalenciju. Sada poznati Poincaréov teorem odnosi se na varijantu kada je n = 3. Upravo su u trodimenzionalnom prostoru matematičari čekali na poteškoće, au drugim slučajevima dokaz je bio brži.

Kako bi barem malo shvatili značenje Poincaré teorema, ne možemo bez upoznavanja s osnovnim pojmovima topologije.

homeomorphism

Govoreći o homeomorfizmu, topologija ga definira kao jedan-na-jedan korespondenciju između točaka jedne i druge figure, u nekom smislu, nerazlučivosti. Poincarev teorem je teško dati nespremnim. Za čajnike možete dati najpopularniji primjer homeomorfnih figura - lopta i kocka, krof i krug su također homeomorfni, ali ne i krug i kocka. Slike su homeomorfne ako se jedna figura može dobiti proizvoljnom deformacijom od druge, a ta je transformacija ograničena nekim svojstvima površine figure: ona ne može biti poderana, probušena, izrezana.

Ako je kocka napuhana, lako može postati kugla, ako je lopta slomljena nadolazećim pokretima, možete dobiti kocku. Prisutnost rupe u krafni i rupa koja se stvara rukom kruga, čini ih homeomorfnim, ista rupa onemogućuje okretanje kruga u kuglu ili kocku.

povezanost

Rupa je važan koncept koji definira svojstva nekog objekta, ali kategorija apsolutno nije matematička. Uveden je koncept povezanosti. Sadrži mnoge topološke postavke, uključujući i Poincaréov teorem. Jednostavnim riječima, možete reći sljedeće: ako omotate površinu kuglice s gumenom petljom, ona će kliznuti i puzati. To se neće dogoditi ako postoji rupa, poput torusa s krafnom, kroz koju možete proći ovu traku. Tako se određuje glavni znak sličnosti ili razlike predmeta.

raznovrsnost

Ako je objekt ili prostor podijeljen na mnoštvo sastavnih dijelova - susjedstva koja okružuju točku - tada se njihova općenitost naziva mnogostrukost. Upravo taj koncept sadrži Poincaréov teorem. Kompaktnost znači konačan broj elemenata. Svako pojedinačno susjedstvo poštuje zakone tradicionalne - euklidske - geometrije, ali zajedno tvore nešto složenije.

Najadekvatnija analogija ovih kategorija je površina Zemlje. Slika njezine površine je karta njezinih pojedinačnih područja, sakupljena u atlasu. Na globusu, te slike poprimaju oblik lopte, koja se, u odnosu na prostor Svemira, pretvara u točku.

Trodimenzionalna sfera

Po definiciji, kugla je skup točaka koje su ekvidistantne od središta - fiksne točke. Jednodimenzionalna sfera nalazi se u dvodimenzionalnom prostoru u obliku kruga na ravnini. Dvodimenzionalna sfera - površina kugle, njezina "kora" - skup točaka u trodimenzionalnom prostoru i, sukladno tome, trodimenzionalna sfera - suština je Poincareova teorema - površine četverodimenzionalne kugle. Vrlo je teško zamisliti takav objekt, ali kažemo da smo unutar takvog geometrijskog tijela.

Matematičari također daju sljedeći opis trodimenzionalne sfere: pretpostavimo da se našem uobičajenom prostoru, koji se smatra neograničenim i definiranim s tri koordinate (X, Y, Z), dodaje točka (u beskonačnosti) na takav način da se uvijek može ući pomicanjem u bilo kojem pravac u pravoj liniji, tj. svaka linija u ovom prostoru postaje krug. Kažu da postoje ljudi koji to mogu zamisliti i mirno se orijentirati u takvom svijetu.

Za njih, uobičajena stvar - trodimenzionalni torus. Takav se objekt može dobiti dvostrukim ponavljanjem dvaju u jednoj točki, koji se nalaze na suprotnim (na primjer, desnoj i lijevoj, gornjoj i donjoj) strani kocke. Da bismo pokušali zamisliti trodimenzionalni torus iz naših uobičajenih položaja, treba provesti apsolutno nerealan eksperiment: potrebno je odabrati pravce, međusobno okomite, - gore, lijevo i naprijed - i početi se kretati u bilo kojoj od njih ravnom linijom. Nakon nekog vremena (konačnog) iz suprotnog smjera, vraćamo se na početnu točku.

Takvo geometrijsko tijelo od temeljne je važnosti ako želite razumjeti što je Poincaréov teorem. Perelmanov se dokaz svodi na opravdanje postojanja u trodimenzionalnom prostoru samo jedne jednostavno povezane kompaktne mnogostrukosti - 3-sfere, druge, poput 3-torusa, nisu jednostavno povezane.

Dug put do istine

Prošlo je više od pola stoljeća prije no što se pojavilo rješenje Poincaré teorema za veće od 3 dimenzije. Steven Smale (rođen 1930.), John Robert Stelling (1935.-2008.), Eric Christopher Ziman (rođen 1925.) pronašao je rješenje za n jednako 5, 6 i jednako ili veće od 7. Samo je 1982. godine Michael Friedman (rođen 1951.) ) dobio najvišu matematičku nagradu - Polja Premium - za dokazivanje Poincareova teorema za složeniji slučaj: kada je n = 4. U 2006, ova nagrada - Fields medalja - je dodijeljena ruski matematike iz St. Petersburgu. Gregory Yakovlevich Perelman dokazao je Poincaréov teorem za trodimenzionalnu višestruku i trodimenzionalnu sferu. Odbio je primiti nagradu.

Obični genij

Grigory Yakovlevich rođen je 13. lipnja u Lenjingradu, u inteligentnoj obitelji. Njegov otac, inženjer elektrotehnike, otišao je u Izrael na stalno prebivalište početkom devedesetih godina, njegova majka je predavala matematiku na stručnoj školi. Osim ljubavi prema dobroj glazbi, usadila je u sina strast za rješavanjem problema i zagonetki. U 9. razredu, Gregory je prešao u Fizičku i matematičku školu br. 239, ali je od 5. razreda pohađao Matematički centar u Pionirskoj palači. Pobjede na sveučilišnim i međunarodnim olimpijadama omogućile su Perelmanu da bez ispita uđe u Lenjingradsko sveučilište.

Mnogi stručnjaci, pogotovo Rusi, kažu da je Grigorij Jakovljević bio spreman za neviđeno polijetanje visoke klase lenjingradske škole geometara, koju je položio na mehaničkom odjelu Lenjingradskog državnog sveučilišta i na diplomskoj školi na Matematičkom institutu. VA Steklov. postaje Kandidat znanosti počeo je raditi u njemu. Teško vrijeme 90-ih prisililo je mladog znanstvenika da ode na posao u SAD. Oni koji su ga poznavali tada su zabilježili njegov asketizam u svakodnevnom životu, predanost poslu, izvrsnu pripremu i visoku erudiciju, koja je postala jamstvo da je Perelman dokazao Poincarev teorem. Ovaj problem je pomno uzeo nakon povratka u St. Petersburg 1996., ali je počeo razmišljati o tome u Sjedinjenim Državama.

U pravom smjeru

Grigory Yakovlevich primjećuje da je oduvijek bio fasciniran složenim problemima, kao što je Poincaréov teorem. Perelman je počeo tražiti dokaze u smjeru preuzetom iz razgovora s profesorom Kolumbije Sveučilišta Richardom Hamiltonom (rođen 1943.). Tijekom svog boravka u Sjedinjenim Državama, posebno je putovao iz drugog grada na predavanja ovog izvanrednog znanstvenika. Perelman primjećuje izvrsni dobronamjerni stav profesora prema mladom matematičaru iz Rusije. U svom razgovoru, Hamilton je spomenuo Ricseove tokove - sustav diferencijalnih jednadžbi - kao način rješavanja teorema geometrizacije. Nakon toga Perelman je pokušao stupiti u kontakt s Hamiltonom i razgovarati o napretku rada na tom zadatku, ali nije dobio odgovor. Dugo vremena nakon povratka u domovinu, Grigorij Jakovljević je proveo sam sa najtežim zadatkom, što je bio Poincaréov teorem. Dokaz o Perelmanu rezultat je golemih napora i samoodricanja.

Hamilton je došao do zastoja kada je vidio da se pod transformacijama krivulja pod djelovanjem Riccijevih tokova formiraju jednine (pretvaraju u beskonačnost) zone, koje nisu predviđene Poincaré teoremom. Jednostavnim riječima, Perelman je uspio neutralizirati stvaranje takvih zona, a raznolikost se sigurno pretvorila u sferu.

Ricci teče

Jednostavno spojena trodimenzionalna mnogostrukost obdarena je geometrijom, uvedeni su metrički elementi s udaljenostima i kutovima. To je lakše razumjeti na jednodimenzionalnim mnogostrukostima. Glatka zatvorena krivulja na euklidskoj ravnini obdarena je u svakoj točki tangentnim vektorom jedinične duljine. Kada prelazimo krivulju, vektor se rotira s određenom kutnom brzinom, koja određuje zakrivljenost. Tamo gdje je linija više zakrivljena, zakrivljenost je veća. Zakrivljenost je pozitivna ako je vektor brzine okrenut prema unutrašnjosti ravnine koju dijeli naša linija, a negativan ako je okrenut prema van. Na točkama infleksije zakrivljenost je 0.

Sada je svakoj točki krivulje dodijeljen vektor koji je okomit na vektor. kutna brzina i duljinu jednaku vrijednosti zakrivljenosti. Njegov je smjer prema unutra s pozitivnom zakrivljenošću i prema van s negativnim. Svaka točka je napravljena da se kreće u smjeru i sa brzinom određenom odgovarajućim vektorom. Zatvorena krivulja povučena bilo gdje u ravnini, s takvom evolucijom pretvara se u krug. To vrijedi za dimenziju 3, a to je ono što je trebalo dokazati.

Nema proroka ...

On je otišao na svoj Everest, koji je priznat po matematičarima Poincarev teorem. Dokaz Perelman objavljen je na internetu u obliku tri mala članka. Odmah su izazvali uzbunu, iako ruski matematičar nije išao putem - objavljivanjem u specijaliziranom časopisu uz profesionalne kritike. Grigory Yakovlevich je objasnio suštinu svog otkrića na američkim sveučilištima mjesec dana, ali je broj ljudi koji su u potpunosti razumjeli njegov trag misli vrlo sporo rastao.

Samo četiri godine kasnije, pojavio se zaključak najvećih autoriteta: dokazi ruskog matematičara su točni, prvi problem milenija je riješen.

Era društvenih mreža

Morao je podnijeti uzbuđenje i grubost u društvenim mrežama, tišinu onih koje je poštovao i krikove drugih koji su ga podučavali životu. Energetski Kinezi su najprije procijenili njegov doprinos rješavanju problema na 25%, nakon što su za sebe i druge brojili 80! Tada se čini da je došlo svjetsko priznanje, ali to ne mogu podnijeti svi. Želim vjerovati: on je podnio, iu svom životu - sklad želja i prilika.