Teorija vjerojatnosti: formule i primjeri rješavanja problema

"Nesreće nisu slučajne" ... Zvuči kao da je filozof rekao, ali u stvari, proučavanje slučajnosti je dio velike znanosti matematike. U matematici se teorija vjerojatnosti bavi slučajnošću. U članku će biti prikazane formule i primjeri zadataka, kao i osnovne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti jedna je od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bi to bilo malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić, može pasti s "orlom" ili "repom". Dok je novčić u zraku, obje su vjerojatnosti moguće. To jest, vjerojatnost mogućih posljedica je 1: 1. Ako iz špila sa 36 karata povučete jednu, onda će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da nema što istraživati ​​i predvidjeti, osobito uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako ponovite određenu radnju mnogo puta, možete identificirati određeni uzorak i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve gore navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost pojave jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada je prvi put pokušano predvidjeti ishod igara s kartama.

U početku, teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Temeljio se na empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi u ovom području, kao iu matematičkoj disciplini, pojavili su se u 17. stoljeću. Blaise Pascal i Pierre Fermat postali su pretci. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce koje su odlučili reći društvu.

Christian Huygens je izmislio istu tehniku, iako nije bio upoznat s rezultatima Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerojatnosti", formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.

Od male važnosti su djela Jakova Bernoullija, Laplaceova i Poissonova teorema. Teoriju vjerojatnosti učinile su više matematičkom disciplinom. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedan od matematičkih dijelova.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. događaji

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:

• Pouzdana. Oni koji se događaju u svakom slučaju (novac će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se ne događaju ni u jednom scenariju (novac će ostati u zraku).
• Random. Oni koji se događaju ili se neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, snaga bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su velikim latinskim slovima, s iznimkom P, kojoj je dodijeljena drugačija uloga. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = "studenti nisu prisustvovali predavanju."

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. To jest, ako okrenete novčić, moguće su sve varijacije izvorne kapljice dok ne padne. Ali i događaji nisu jednako mogući. To se događa kada netko posebno utječe na ishod. Primjerice, "označene" karte za igru ​​ili kockice, u kojima se pomiče središte gravitacije.

Više je događaja kompatibilno i nekompatibilno. Kompatibilni događaji ne isključuju jedan drugog. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "učenik je došao na predavanje".

Ovi događaji su međusobno neovisni, a pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojive događaje određuje činjenica da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, gubitak "repa" onemogućuje da se "orao" pojavi u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu umnožiti i dodati, odnosno u disciplini su uvedeni logički snopovi "AND" i "OR".

Iznos je određen činjenicom da može postojati događaj A, ili B, ili dva u isto vrijeme. U slučaju kada su nespojive, druga mogućnost je nemoguća, ili će A ili B ispasti.

Množenje događaja sastoji se od pojavljivanja A i B istovremeno.

Sada možete dati nekoliko primjera kako bi bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Zadatak 1 : Tvrtka sudjeluje u natječaju za ugovore za tri vrste poslova. Mogući događaji:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• ₁ = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• U ₁ = "tvrtka neće primiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C ₁ = "tvrtka neće primiti treći ugovor."

Koristeći akcije o događajima, pokušavamo izraziti sljedeće situacije:

• K = "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = "tvrtka neće dobiti ni jedan ugovor."

M = A ₁ B ₁ C ₁ .

Komplicirajte zadatak: H = "tvrtka će dobiti jedan ugovor." Budući da nije poznato kakav će ugovor dobiti tvrtka (prva, druga ili treća), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A ₁ BC ₁ υ AB ₁ C ₁ υ A ₁ B ₁ C.

₁ BC ₁ je niz događaja u kojima tvrtka ne dobiva prvi i treći ugovor, već prima drugi. U skladu s time se bilježe i drugi mogući događaji. Simbol υ u disciplini označava hrpu "OR". Ako prenesete navedeni primjer u ljudski jezik, tada će tvrtka primiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično tome, možete zabilježiti i druge uvjete u disciplini "Teorija vjerojatnosti". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to sami napravite.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji pojam. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasična;
• Statistički;
• Geometrijski.

Svako ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (razred 9) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda, koji pogoduje njegovoj pojavi, s brojem svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (A) = m / n.

P znači vjerojatnost događaja A.

I - zapravo, događaj. Ako postoji slučaj nasuprot A, može se napisati kao Ā ili A ₁ .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu pojaviti.

Na primjer, A = "izvucite karticu srčanog odijela". Na standardnoj palubi nalazi se 36 karata, od kojih je 9 od srca. Prema tome, formula za rješavanje zadatka bit će:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da je kartica iz srca izvučena s palube bit će 0,25.

Za višu matematiku

Sada je malo poznato što su teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se susreću u školskom kurikulumu. Međutim, teorija vjerojatnosti nalazi se u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće djeluju na geometrijske i statističke definicije teorije i složenih formula.

Teorija vjerojatnosti je vrlo zanimljiva. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti iz malog - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno utvrditi koliko je vjerojatno da će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se to dogoditi. Ovdje uvodimo novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W _n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

W _n (A) = m / n.

Ako se izračuna klasična formula za predviđanje, tada je statistička formula prema rezultatima eksperimenta. Uzmite, na primjer, mali zadatak.

Odjel za kontrolu procesa provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda pronađeno 3 substandard. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

= Pojava kvalitetnog proizvoda.

Wn (A) = 97/100 = 0.97

Tako je učestalost kvalitetne robe 0.97. Gdje su dobili 97? Od 100 proizvoda koji su bili provjereni, 3 su bila loše kvalitete. Od 100 oduzimamo 3, dobivamo 97, to je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njezino osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može načiniti na različite načine, a izbor B je različit na različite načine, tada se izbor A i B može načiniti množenjem.

Na primjer, od grada A do grada B vodi 5 cesta. Od grada B do grada C vodi 4 načina. Koliko načina možete dobiti od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, dakle dvadeset različitih načina na koje možete doći od točke A do točke C.

Zamijenimo zadatak. Koliko je načina igranja karata u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je polazna točka. Da biste saznali broj metoda, morate oduzeti jednu kartu od početne točke i pomnožiti je.

To jest, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da ga možete jednostavno označiti 36 !. Znak "!" Pokraj broja označava da se cijeli red brojeva množi zajedno.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, položaj i kombinacija. Svaka od njih ima svoju formulu.

Poredak skupa elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponoviti, tj. Jedan se element može koristiti nekoliko puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u plasmanu. Formula za položaj bez ponavljanja bit će:

A _n ^m = n! / (Nm)!

Spojevi n elemenata koji se razlikuju samo po redu položaja nazivaju se permutacijom. U matematici ima oblik: P _n = n!

Kombinacije n elemenata m nazivaju se takvim spojevima, u kojima je važno što su bili i koji je njihov ukupni broj. Formula će biti:

A _n ^m = n! / M! (Nm)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi istaknutih istraživača na svom području koji su je doveli na novu razinu. Jedan takav rad je Bernoullijeva formula, koja omogućuje određivanje vjerojatnosti nastanka određenog događaja u neovisnim uvjetima. To sugerira da izgled A u eksperimentu ne ovisi o izgledu ili nepojavljivanju istog događaja u prethodnim ili naknadnim testovima.

Bernoullijeva jednadžba:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . P _n (m) = C _n ^m × p ^m × q ^nm .

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u broju eksperimenata izračunat će se prema gore navedenoj formuli. Prema tome, postavlja se pitanje kako pronaći broj q.

q = 1-p

Ako se događaj A pojavi više puta, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda neke situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji ukazuje na mogućnost nepojavljivanja događaja.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema (prva razina) dalje će se razmatrati.

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine kupuje s vjerojatnošću od 0,2. Samostalno je u trgovinu ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da nije poznato koliko posjetitelja mora obaviti kupnju, jedno ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0.2 (kako je naznačeno u zadatku). Prema tome, q = 1-0.2 = 0.8.

n = 6 (budući da u trgovini ima 6 posjetitelja). Broj m će varirati od 0 (kupac ne kupuje) do 6 (svi posjetitelji trgovine će dobiti nešto). Kao rezultat toga, dobivamo rješenje:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ P ₆ (0) = C ₀ ⁶ × p ⁰ × q ⁶ = q ⁶ = (0,8) ⁶ 0,2621. = 0.2621.

Nitko od kupaca neće obaviti kupnju s vjerojatnošću od 0,2621.

Kako drugačije koristiti Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja o tome gdje su C i p otišli. U odnosu na p, broj u stupnju 0 bit će jednak jednom. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C _n ^m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, C = 1, što u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kakva je vjerojatnost kupnje robe od strane dva posjetitelja.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² P ₆ (2) = C ₆ ² × p ² × q ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0.8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teorija vjerojatnosti nije toliko komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz toga.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba koristi se za izračunavanje slučajnih slučajnih situacija.

Osnovna formula:

P _n (m) = λ ^m / m! e ^(-λ) . × e ^(-λ) .

U ovom slučaju, λ = n x p. Ovdje je jednostavna Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema razmatrat će se kasnije.

Zadatak 3 : Tvornica je proizvela dijelove u iznosu od 100.000 komada. Pojava neispravnih dijelova = 0.0001. Kolika je vjerojatnost da će stranka imati 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidimo, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja ovakvih problema se ne razlikuju od drugih zadaća discipline, u gornjoj formuli zamjenjujemo potrebne podatke:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema stanju zadatka).

n = 100.000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamijenite podatke u formuli i dobijemo:

R _100,000 (5) = 10 5/5! Xe ^-10 = 0,0375.

Baš kao Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja čija je pomoć napisan gore, Poissonova jednadžba ima nepoznat e. U biti, može se naći po formuli:

e- ^λ = lim _{n -> ∞} (1-λ / n) ⁿ .

Međutim, postoje posebne tablice u kojima se nalaze gotovo sve e vrijednosti.

Teorem Moivard-Laplace

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj testova dovoljno velik, a vjerojatnost pojave događaja A je ista u svim shemama, tada se vjerojatnost pojave događaja A određeni broj puta u nizu testova može pronaći pomoću Laplasove formule:

P _n (m) = 1 / pnpq x ϕ (X _m ).

X _m = m-np / pnpq.

Da bi bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjere problema koji će vam pomoći.

Zadatak 4: Reklamni agent distribuira 800 letaka. Prema statističkim istraživanjima, svaki treći letak pronalazi potrošača. Kolika je vjerojatnost da će točno 267 letaka raditi?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Prvo nalazimo X _m , zamjenjujemo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobivamo 0.025. Pomoću tablica nalazimo broj 25 (0.025), čija je vrijednost 0.3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle vjerojatnost da poklon će raditi točno 267 puta, iznosi 0,03.

Formula Bayes

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka čija će pomoć biti dana u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerojatnost nekog događaja, zasnovanog na okolnostima koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

R (A | B) = R (V | A) h R (A) / R (V).

A i B su određeni događaji.

P (A | B) je uvjetna vjerojatnost, tj. Događaj A može nastati pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B | A) - uvjetna vjerojatnost događaja B.

Dakle, završni dio malog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima je u nastavku.

Zadatak 5 : U skladište su dovedeni telefoni iz tri tvrtke. U isto vrijeme, dio telefona proizvedenih u prvom postrojenju je 25%, na drugom - 60%, na trećem - 15%. Također je poznato da prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici iznosi 2%, u drugom - 4%, au trećem - 1%. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "slučajno uzet telefon."

B ₁ je telefon koji je proizvela prva tvornica. U skladu s tim bit će uvodnih B2 i ₃ (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat toga dobivamo:

P (B1) = 25% / 100% = 0.25; P (B2) = 0,6; P (B3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada morate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A / B1) = 2% / 100% = 0.02;

P (A / B2) = 0,04;

P (A / B3) = 0,01.

Sada ćemo zamijeniti podatke u Bayesovu formulu i dobiti:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

U članku se prikazuje teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema, ali to je samo vrh ledenog brijega opširne discipline. I nakon svega što je napisano, bit će logično pitati je li teorija vjerojatnosti nužna u životu. Običnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati onoga koji je s njom opetovano slomio jackpot.