Što je to - konus u geometriji. Ravni konus s okruglom podlogom i njegovim karakteristikama

Prostorna geometrija, čiji se tijek odvija u srednjoj školi, ispituje karakteristike i svojstva različitih geometrijskih oblika u tri dimenzije. Jedna od takvih poznatih figura je konus. Da je ovo konus, koje elemente opisuje i koja svojstva posjeduje, članak će odgovoriti na ova pitanja.

Konus u geometriji

Sa stajališta stereometrije, stožac je lik nastao u prostoru spajanjem ravnih segmenata određene točke s krivuljom u ravnini. Ova krivulja se naziva directrix, ili vodič. Ograničava oblik baze. Directrix može biti zatvorena linija, kao što je elipsa ili krug, ili ne može biti zatvorena, kao hiperbola ili parabola. Svi segmenti koji povezuju directrix s gore spomenutom točkom prostora nazivaju se generatrici ili generatori. Skup generatora definira stožastu površinu, a točka iz koje izlaze naziva se vrh stošca.

Tako je konus figura koja ima jedan vrh, nema rubova i sastoji se od dvije površine (ravna i lateralna stožasta površina). Eliptični konus je prikazan na slici gore.

Kružni ili okrugli konus

Pod riječju "okrugli" u naslovu stavke razumjeti lik, čija je baza krug. Za razliku od drugih tipova konusa, kao rezultat rotacije može se dobiti okrugla figura. Donja slika prikazuje ovaj proces.

Ukratko objasnimo što slika pokazuje. Trokut ABC je pravokutan. Ako se rotira oko noge AB, noga AC će opisati jednu površinu stožca, bazu i hipotenuzu BC koja će rezultirati stvaranjem konične površine kao rezultat rotacije.

Stožac prikazan na slici nije samo okrugli, već i ravan. Ovo svojstvo važno je uzeti u obzir pri izvođenju proračuna linearnih parametara, površine i volumena slike.

Geometrijski oblik stošca je ravan ako je visina h točno u središtu baze (u ovom slučaju visina je segment AB, a središte baze je točka A). Ako navedeni uvjet nije zadovoljen, tada se ta brojka naziva kosom. Kutni i ravni konusi prikazani su dolje radi jasnoće.

Mnogi objekti koji nas okružuju, kao što su kornetovi za sladoled, prugasti stožasti konus ili lijevak za ulijevanje tekućine kroz uske otvore, imaju konusni oblik s okruglom bazom.

Zatim ćemo razmotriti kvantitativna svojstva ravnog konusa s okruglom bazom.

Linearne dimenzije figure i kut u bazi

Linearne dimenzije stošca su skup parametara koji omogućuju jedinstveno određivanje figure u prostoru. One su sljedeće:

• radijus baze r;
• visina h;
• generatrix g.

Treba primijetiti da su za tip razmatranog konusa sve generacije jednake jedna drugoj i presjeći bazu figure pod istim kutom.

Osim gore navedenih linearnih parametara, konus je karakteriziran i kutom the između generatora i baze.

Sve ove karakteristike su međusobno povezane slijedećim osnovnim jednadžbama:

g = √ (h2 + r2);

g = h / sin (φ);

g = r / cos (;);

h = r * tg (φ)

Te se jednakosti mogu pisati neovisno ako razmotrimo pravokutni trokut unutar stožca i prisjetimo se definicija navedenih trigonometrijskih funkcija.

Površina

Područje baze i konusne površine važna je karakteristika konusa. Jasno je i lakše proučavati površinu figure ne u trodimenzionalnom, već u dvodimenzionalnom prostoru. Da biste to učinili, napravite takozvane uzorke skeniranja. Možete zamisliti postupak njegovog prijema na sljedeći način: Pretpostavimo da postoji konus od papira. Prvo izrežemo njezinu podlogu duž oboda, a zatim odrežemo konusnu površinu uz generator i rasklopimo je. Primili smo skeniranje konusa, koji je prikazan na slici ispod.

Površina cjelokupnog čišćenja S jednaka je:

S = S _o + S _b

Kada je prvi pojam (S _o ) područje kruga, drugi izraz (Sb) je područje kružnog sektora koji odražava konusnu površinu. Vrijednost S _o izračunava se pomoću sljedeće formule:

S _o = pi * r ²

S kružnim sektorom situacija je složenija. Obrubljen je s dva radijusa čija je duljina jednaka generatrixu g, a jedan luk odgovara opsegu osnovne kružnice. Ove numeričke informacije omogućuju vam da jedinstveno odredite područje sektora. Nećemo ulaziti u matematičke izračune, ali ćemo odmah dati konačnu formulu za S _b :

S _b = pi * r * g

Usporedba pisanih formula za Sb i S _o sugerira da je površina bočne površine uvijek veća od one za bazu pomoću g / r.

Formula za ukupnu površinu je sljedeća:

S = pi * r * (r + g)

Veličina tijela

Stožac je prostorna figura, tako da ima određeni volumen. Numerički odgovara području prostora koje je omeđeno konusnom površinom i kružnom bazom. Za određivanje volumena konusa koristite sljedeći izraz:

V = 1/3 * S _o * h

Zamjenjujući u ovaj izraz formulu za S _o , dobivamo:

V = 1/3 * pi * r ² * h

Neki su čitatelji možda primijetili da formula za volumen konusa odgovara onoj za piramidu. Ta slučajnost nije slučajna, budući da oblici tih figura postaju identični ako se broj rubova piramide poveća do beskonačnosti.