Što je konus u geometriji? Definicija, formule, problem uzorka

Poznavanje svojstava geometrijskih figura omogućuje ne samo rješavanje teorijskih problema, već i izvođenje različitih praktično važnih izračuna. Jedna od takvih figura, čija će svojstva biti razmatrana u ovom članku, je konus. Što je stožac, koje su to vrste, kako pronaći područje i volumen? Sva ova pitanja detaljno su istaknuta u nastavku.

Opća definicija konusa u geometriji

Stereometrija, koja proučava karakteristike figura u trodimenzionalnom prostoru, daje sljedeći odgovor na pitanje što je konus: to je figura čija je površina oblikovana skupom pravocrtnih segmenata koji povezuju određenu točku u prostoru s određenom krivuljom u ravnini.

Označena točka prostora naziva se vrhom konusa, ravni segmenti su generacije figure ili njenih generatora, a sama krivulja na ravnini je directrix.

Prema gornjoj definiciji prikladna je cijela klasa figura, od kojih su najpoznatiji okrugli, eliptični, parabolični i hiperbolički konusi. Eliptična slika je prikazana ispod.

Directrix ovog konusa je zatvorena elipsa koja povezuje bazu figure. Generacije bilo kojeg stošca zajedno tvore konusnu površinu, koja se naziva lateralna. Te dvije površine (baza i strana) ograničavaju prostorni volumen, koji se obično naziva volumen konusa.

Okrugli ravni konus - broj okretanja

Eliptični konus prikazan na gornjoj slici ne može se dobiti kao rezultat rotacije ravne figure. Jedini predstavnik klase kukova, koji se može oblikovati rotacijom, je okrugli ravni konus. Ova slika je prikazana ispod.

Može se vidjeti da njegova baza predstavlja idealan krug. Štoviše, bilo koji dio bočne površine s ravninom koja je paralelna s bazom također će biti krug, ali s manjim promjerom od slike na bazi.

Narančasti trokut ABC, odabran unutar stožca, pravokutan je. Može se vidjeti da je njegova noga AC bazni radijus r. Noga AB je visina slike h. Po konstrukciji, jasno je da je visina duljina okomice koja je povučena od vrha figure B do ravnine baze (krug). Ta visina presijeca krug u njegovom središtu. Ovo posljednje znači da je konus ravan. Konačno, hipotenuza trokuta BC nije ništa više od stošca.

Da bi se oblikovao konus pomoću opisanog trokuta, potrebno ga je rotirati oko strane AB.

Za vizualni prikaz razlike između ravnih i kosih stožaca prikazujemo odgovarajuću sliku.

Razlika između dviju figura je očita: ako su njihove baze iste, onda se visine spuštaju od vrha preko baza na različitim točkama. Prva figura je ravna, druga je ukošena.

Linearni parametri okruglog ravnog konusa i kuta na bazi

Ti su parametri već gore navedeni. Ponovno ih navedite:

• radijus r;
• visina h;
• generatrix g.

Da bi jednoznačno definirali konus, ova tri parametra su redundantna, tj. Dotična se figura može konstruirati i izračunati sva njezina svojstva, znajući samo dva od tri navedena parametra. Oslanjajući se na razmatranu shemu za dobivanje konusa okretanjem pravokutnog trokuta, možemo napisati sljedeći odnos između generatora, radijusa i visine stožca:

g = √ (r² + h²).

Ta jednakost je očigledna i ne zahtijeva dokaz (zapamtite Pitagorin teorem).

Konus možete postaviti ne samo uz pomoć pravocrtnih segmenata r, h i g, već i pomoću kutne mjere između bilo kojeg od generatora oblika i osnovne ravnine. Taj kut označite slovom φ. Koristeći definiciju trigonometrijskih funkcija, možemo napisati niz formula u kojima kut φ povezuje linearne parametre. Pišemo glavne:

g = h / sin (φ);

g = r / cos (;);

h = r * tg (φ).

Površina slike

S obzirom na pitanje što je konus, predstavljamo formulu za određivanje površine njezine pune površine. Da bi bilo jasnije, o čemu će se raspravljati, skenirat ćemo u ravninu dotične figure.

Razvoj konusa na ravnini sastoji se od dvije figure. Krug je baza konusa, kružni sektor polumjera g je bočna površina. Kružni sektor je lako dobiti ako uzmete konusnu površinu papira i izrežete je duž bilo koje generacijske g g. Šireći ovu površinu, dobivamo željeni sektor.

Određivanje područja kruga nije problem. Odgovarajući izraz prikazan je u nastavku:

S _o = pi * r².

Što se tiče kružnog sektora, poznati _su i njegovi potrebni parametri za izračun površine S _b : radijus g i dužina luka koja odgovara krugu gore opisanog kruga. Formula za izračunavanje površine bočne površine konusa S _b je:

S _b = pi * r * g.

Dakle, ukupna površina slike jednaka je:

S = S _o + S _b = pi * r * (r + g).

Formula za volumen

Znajući što je konus ravan, lako je napisati formulu za njezin volumen. Budući da se ta figura može smatrati piramidom s beskonačnim brojem bočnih rubova, tada se za nju, kao i za svaku piramidu, volumen može izračunati pomoću formule:

V = 1/3 * S _o * h.

Vrijednost kvadrata S _o koju smo već naveli, stoga, tražena formula za volumen ravnog konusa s okruglom bazom bit će sljedeća:

V = 1/3 * pi * r² * h.

Rješavanje geometrijskog problema

Poznato je da je vrijednost površine konusa okruglog pravca 300 cm². Potrebno je odrediti radijus konusa, znajući da je njegova generacija 15 cm.

Pišemo jednakost za područje i zamjenjujemo vrijednost g = 15 cm i S = 300 cm², dobivamo:

S = pi * r * (r + g) =>

300 = pi * r² + 15 * pi * r.

Podijelite lijevu i desnu stranu s brojem pi, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu:

r² + 15 * r - 95.54 = 0.

Ovu jednadžbu rješavamo pomoću diskriminanta, dobivamo:

D = 152 - 4 * (- 95,54) = 607,16;

r = (-15 ± D) / 2 = (4,82; -19,82).

Negativni korijen ne odgovara uvjetu problema, tako da možete napisati odgovor: zadani konus ima radijus od 4,82 cm.