Diskriminantni: primjeri rješenja. Kako riješiti kvadratne jednadžbe preko diskriminantnog

Kvadratne jednadžbe često se pojavljuju tijekom rješavanja različitih problema fizike i matematike. U ovom članku razmotrit ćemo kako riješiti te jednakosti na univerzalan način "kroz diskriminaciju". U članku se također navode primjeri primjene stečenog znanja.

O kojim jednadžbama govorimo?

Slika ispod prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski znakovi a, b, c su neki poznati brojevi.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što možete vidjeti, broj "a" stoji ispred varijable x na kvadrat. To je maksimalni zastupljeni stupanj izražavanja, pa se naziva kvadratna jednadžba. Drugi se naziv često koristi: jednadžba drugog reda. Vrijednost samog sebe je kvadratni koeficijent (stoji s kvadratom varijable), b je linearni koeficijent (nalazi se pored varijable podignute na prvu snagu), i na kraju, broj c je slobodan pojam.

Napominjemo da je tip jednadžbe, prikazan na slici gore, uobičajeni klasični kvadratni izraz. Osim toga, postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b, c mogu biti nula.

Kada je zadatak riješiti razmatranu jednakost, to znači da je potrebno pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Prvo što treba učiniti je zapamtiti sljedeće: budući da je maksimalni stupanj X 2, ovaj tip izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako, dok rješavamo jednadžbu, nađemo 2 vrijednosti x koje je zadovoljavaju, onda možete biti sigurni da ne postoji treći broj, koji bi zamijenio umjesto x, jednakost bi također bila istinita. Jednadžbena rješenja u matematici nazivaju ih korijenima.

Načini rješavanja jednadžbi drugog reda

Rješavanje ove vrste zahtjeva zahtijeva poznavanje nekih teorija o njima. U školskom tečaju algebre razmatraju se 4 različite metode rješavanja. Nabrojili smo ih:

• pomoću faktorizacije;
• koristeći formulu za puni kvadrat;
• primjena grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
• pomoću diskriminantne jednadžbe.

Plus, prva metoda je njezina jednostavnost, ali se ne može primijeniti na sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda je prepoznatljiva po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I na kraju, upotreba diskriminacijske jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednadžbe drugog reda. Stoga u članku razmatramo samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Osvrnimo se na opći oblik kvadratne jednadžbe. Zapisujemo: a * x² + b * x + c = 0. Prije korištenja metode rješavanja "kroz diskriminanta" potrebno je uvijek smanjiti jednakost na zabilježeni oblik. To jest, mora se sastojati od tri pojma (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², najprije trebate prenijeti sve njegove članove na istu stranu jednadžbe i dodati izraze koji sadrže varijablu x u jednake moći.

U ovom slučaju, ova operacija će rezultirati sljedećim izrazom: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, što je ekvivalentno jednadžbi 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (ovdje pomnožimo lijevu i desnu stranu jednakosti s -1) ,

Kada se gore navedeni korak nauči, tada biste trebali naučiti razlikovati koeficijente. Ovdje je sve jednostavno: kada je x² uvijek a, kada je x ¹ b, slobodni pojam c je broj koji nije povezan s x.

U gornjem primjeru, a = 6, b = 4, c = -8. Napominjemo da se svi članovi jednakosti koji se razmatraju uvijek sabiraju međusobno, stoga, ako se pojavi znak "-", to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju c.

Analizirajući ovaj trenutak, sada se okrećemo samoj formuli, koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao da je prikazana na slici ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, omogućuje vam da dobijete dva korijena (obratite pozornost na znak "±"). Da bi se to postiglo, dovoljno je nadomjestiti koeficijente b, c i a.

Pojam diskriminantnog

U prethodnom odlomku dana je formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se izraz korijena naziva diskriminant, tj. D = b²-4 * a * c.

Zašto je taj dio formule izoliran, a ima čak i svoje ime? Činjenica je da diskriminant povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Potonja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti na sljedećem popisu:

1. D> 0: jednakost ima 2 različita rješenja, oba su realni brojevi.
2. D <0: dobivaju se i dva korijena, ali oba su složena. Ovakav se oblik izražavanja naučio rješavati tek u doba renesanse, kada su matematičari novoga vremena uveli pojam "imaginarne jedinice".
3. D = 0: jednadžba ima samo jedan korijen i pravi je broj.

U članku se dalje navode primjeri diskriminirajuće kvadratne jednadžbe i njihovo rješenje.

Zadatak određivanja diskriminanta

Dajemo jednostavan primjer kako pronaći diskriminanta. Neka je dana sljedeća jednakost: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Donosimo ga u standardni oblik, dobivamo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, odakle stižemo do jednakosti: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Ovdje a = -2, b = 2, c = -11.

Sada možete koristiti formulu za diskriminantnu: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je u primjeru diskriminant manji od nule, možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema stvarnih korijena. Njegova odluka bit će samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminanta

Rješavamo probleme nešto drugačijeg tipa: dana je jednakost -3 * x²-6 * x + c = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti c za koje je D> 0.

U ovom slučaju poznata su samo 2 od 3 koeficijenta, stoga se ne može izračunati točna vrijednost diskriminanta, ali se zna da je ona pozitivna. Potonja se činjenica koristi u konstrukciji nejednakosti: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Rješenje rezultirajuće nejednakosti vodi do rezultata: c> -3.

Provjerite dobiveni broj. U tu svrhu izračunamo D za 2 slučaja: c = -2 i c = -4. Broj -2 zadovoljava dobiveni rezultat (-2> -3), odgovarajući diskriminant će imati vrijednost: D = 12> 0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4 <-3), izračunavamo diskriminant: D = -12 <0, što je u suprotnosti sa stanjem problema.

Dakle, bilo koji brojevi c veći od -3 zadovoljit će uvjet.

Primjer rješavanja jednadžbe

Predstavljamo problem koji se ne sastoji samo od pronalaženja diskriminantnog, već i od rješavanja jednadžbe. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2 * x² + 7-9 * x = 0.

U ovom primjeru diskriminant je jednak sljedećoj vrijednosti: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Tada se korijeni jednadžbe definiraju kao: x = (9 ± √137) / (- 4). To su točne vrijednosti korijena, ako izračunamo korijen otprilike, tada dobijemo brojeve: x = -5.176 i x = 0.676.

Geometrijski problem

Riješit ćemo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminanta, već i primjenu vještina apstraktnog mišljenja i znanja, kako napraviti kvadratne jednadžbe.

Bob je imao poplun dimenzija 5 x 4 metra. Dječak mu je htio šivati ​​na obodu čvrste trake lijepe tkanine. Koliko će debela biti ova traka ako se zna da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu x m, tada će površina tkanine duž duge strane pokrivača biti (5 + 2 * x) * x, a budući da su duge strane 2, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratkoj strani, površina šivane tkanine bit će 4 x, budući da su te dvije strane 2, dobivamo vrijednost 8 * x. Imajte na umu da je vrijednost 2 x x dodana na dugu stranu, jer se dužina pokrivača povećava za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivena na deku je 10 m². Dakle, dobivamo jednakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Za ovaj primjer diskriminant je: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Njegov je korijen 22. Koristeći formulu, nalazimo željene korijene: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5, 0,5). Očito, od dva korijena, samo je broj 0.5 prikladan za stanje problema.

Tako će traka tkanine koju Bob šije za svoj pokrivač biti 50 cm široka.