Linearne jednadžbe: formule i primjeri. Nejednakosti i njihovo rješenje

Učenje rješavanja jednadžbi jedan je od glavnih zadataka koje algebra postavlja studentima. Polazeći od najjednostavnijeg, kada se sastoji od jedne nepoznate, i kreće se na sve složenije. Ako se ne razumiju radnje koje treba izvršiti s jednadžbama iz prve skupine, bit će teško suočiti se s drugima.

Za nastavak razgovora morate se složiti s notacijom.

Opći pogled na linearnu jednadžbu s jednom nepoznatom i načelo njezina rješenja

Bilo koja jednadžba koja može dovesti do zapisa ove vrste:

a * x = u ,

nazivaju linearnim . Ovo je opća formula. Ali često u zadacima, linearne jednadžbe se implicitno pišu. Zatim morate izvršiti identične transformacije kako biste dobili opće prihvaćeni zapis. Te radnje uključuju:

• otvaranje zagrada;
• pomicanje svih pojmova s ​​varijablom na lijevu stranu jednadžbe, a ostatak na desno;
• donosi takve uvjete.

U slučaju kada je nepoznata vrijednost u nazivniku dijela, potrebno je odrediti njezine vrijednosti na kojima izraz neće imati smisla. Drugim riječima, potrebno je poznavati domenu jednadžbe.

Princip kojim se rješavaju sve linearne jednadžbe svodi se na dijeljenje vrijednosti na desnoj strani jednakosti koeficijentom ispred varijable. To jest, "x" će biti jednako / a.

Posebni slučajevi linearne jednadžbe i njihova rješenja

Tijekom razmišljanja, takvi momenti mogu nastati kada linearne jednadžbe uzimaju jednu od posebnih vrsta. Svaka od njih ima specifično rješenje.

U prvoj situaciji:

a * x = 0 , štoviše, a. 0.

Rješenje takve jednadžbe uvijek će biti x = 0.

U drugom slučaju "a" uzima vrijednost jednaku nuli:

0 x = 0 .

Odgovor na ovu jednadžbu će biti bilo koji broj. To jest, on ima beskonačan broj korijena.

Treća situacija izgleda ovako:

0 * x = in , gdje u. 0.

Ova jednadžba nema smisla. Jer korijeni koji ga zadovoljavaju ne postoje.

Opći prikaz linearne jednadžbe s dvije varijable

Iz njenog imena postaje jasno da u njemu već postoje dvije nepoznate količine. Linearne jednadžbe s dvije varijable izgledaju ovako:

a * x + v * y = s .

Budući da u zapisu postoje dvije nepoznate, odgovor će izgledati kao par brojeva. To nije dovoljno da navedete samo jednu vrijednost. To će biti nepotpun odgovor. Par veličina kod kojih se jedna jednadžba pretvara u identitet rješenje je jednadžbe. Štoviše, odgovor je uvijek prvi koji zapisuje varijablu koja ide ranije u abecednom redu. Ponekad kažu da ga ti brojevi zadovoljavaju. Štoviše, takvi parovi mogu biti beskonačni broj.

Kako riješiti linearnu jednadžbu s dvije nepoznanice?

Da biste to učinili, samo pokupite bilo koji par brojeva koji se ispostavi kao istinit. Radi jednostavnosti, možete uzeti jednu od nepoznanica da bude jednaka bilo kojoj prost broj i zatim pronađite drugi.

U rješavanju je često potrebno izvesti akcije kako bi se pojednostavila jednadžba. Nazivaju se transformacije identiteta. Osim toga, sljedeća svojstva uvijek vrijede za jednadžbe:

• svaki se izraz može prenijeti u suprotni dio jednakosti zamjenom njegovog znaka suprotnim;
• dopušteno je lijevu i desnu stranu bilo koje jednadžbe podijeliti s istim brojem ako nije jednako nuli.

Primjeri zadataka s linearnim jednadžbama

Prvi zadatak. Rješavanje linearnih jednadžbi: 4x = 20, 8 (x - 1) + 2x = 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

U jednadžbi koja je prva na ovom popisu, dovoljno je jednostavno podijeliti 20 na 4. Rezultat će biti 5. To je odgovor: x = 5.

Treća jednadžba zahtijeva da se provede transformacija identiteta. Sastavit će se u objavljivanju zagrada i uvođenju takvih uvjeta. Nakon prve akcije, jednadžba ima oblik: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Zatim morate prebaciti sve nepoznanice na lijevu stranu jednakosti, a ostatak na desno. Jednadžba će izgledati ovako: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Nakon smanjivanja takvih pojmova: 14x = 16. Sada izgleda isto kao i prvi, a njegovo rješenje je jednostavno. Odgovor je x = 8/7. Ali u matematici bi trebalo rasporediti cijeli dio pogrešan dio. Tada će se rezultat transformirati, a "x" će biti jednak jednoj cjelini i jednoj sedmoj.

U preostalim primjerima varijable su u nazivniku. To znači da najprije morate znati na kojim vrijednostima su definirane jednadžbe. Za to trebate isključiti brojeve na kojima se denominatori okreću nuli. U prvom primjeru to je "-4", u drugom je "-3". To jest, te vrijednosti moraju biti isključene iz odgovora. Nakon toga, trebate pomnožiti obje strane jednadžbe izrazima u nazivniku.

Otvarajući zagrade i dajući slične izraze, u prvoj od ovih jednadžbi dobivamo: 5x + 15 = 4x + 16, au drugom 5x + 15 = 4x + 12. Nakon transformacija, rješenje prve jednadžbe je x = -1. Drugi je jednak "-3", što znači da potonji nema rješenja.

Drugi zadatak. Riješite jednadžbu: -7x + 2y = 5.

Pretpostavimo da je prvi nepoznat x = 1, tada jednadžba poprima oblik -7 * 1 + 2y = 5. Nakon što je faktor "-7" prebačen na desnu stranu jednadžbe i promijeni svoj znak na plus, ispada da je 2u = 12. Dakle, y = 6. Odgovor: jedno od rješenja jednadžbe je x = 1, y = 6.

Opći pogled na nejednakost s jednom varijablom

Ovdje su prikazane sve moguće situacije za nejednakosti:

• a * x> u;
• a * x <v;
• a * x ≥ u;
• a * x ≤v.

Općenito, izgleda kao najjednostavnija linearna jednadžba, samo znak jednakosti zamjenjuje se nejednakošću.

Identična pravila transformacije za nejednakost

Kao i linearne jednadžbe i nejednakosti mogu se modificirati prema određenim zakonima. Skupe se na sljedeće:

1. bilo koji doslovni ili numerički izraz može se dodati na lijevu i desnu stranu nejednakosti, pri čemu znak nejednakosti ostaje isti;
2. također je moguće pomnožiti ili podijeliti s istim pozitivnim brojem, a opet se znak ne mijenja;
3. kada se množi ili dijeli s istim negativnim brojem, jednakost će ostati istinita pod uvjetom da se znak nejednakosti obrne.

Opći pogled na dvostruke nejednakosti

Sljedeći problemi nejednakosti mogu biti zastupljeni u problemima:

• u <a * x <s;
• u ≤ a * x <s;
• u <a * x ≤ s;
• u ≤ a * x ≤ c.

Dvostruka se zove, jer je ograničena znakovima nejednakosti na obje strane. Rješava se istim pravilima kao i obične nejednakosti. A pronalaženje odgovora svodi se na niz identičnih transformacija. Do najjednostavnijeg.

Značajke rješavanja dvostrukih nejednakosti

Prva od njih je njezina slika na koordinatnoj osi. Nema potrebe koristiti ovu metodu za jednostavne nejednakosti. Ali u teškim slučajevima, to jednostavno može biti potrebno.

Za sliku nejednakosti potrebno je na osi označiti sve točke koje su se pojavile tijekom rasuđivanja. To su obje nevažeće vrijednosti, koje su označene punktiranim točkama, a vrijednosti iz nejednakosti dobivene nakon transformacija. I ovdje je važno točno nacrtati bodove. Ako je nejednakost stroga, to jest, <or>, tada su te vrijednosti probušene. Kod slabih nejednakosti, točke moraju biti obojene.

Tada je potrebno označiti značenje nejednakosti. To se može učiniti s nasadima ili lukovima. Njihovo će sjecište označiti odgovor.

Druga značajka povezana je s njegovim zapisom. Ovdje su dvije opcije. Prvi je konačna nejednakost. Drugi je u obliku praznina. Događa se da mu se javljaju poteškoće. Intervali odgovora uvijek izgledaju kao varijable sa znakom pripadnosti i zagradama s brojevima. Ponekad ima nekoliko praznina, zatim između zagrada morate upisati simbol “i”. Ti znakovi su sljedeći: ∈ i ∩. Razmak u razmacima također igra ulogu. Prvi krug se postavlja kada je točka isključena iz odgovora, a pravokutna uključuje tu vrijednost. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradama.

Primjeri rješavanja nejednakosti

1. Riješite nejednakost 7 - 5x> 37.

Nakon jednostavnih transformacija ispada: -5x ≥ 30. Dijeljenjem s “-5” možete dobiti sljedeći izraz: x ≤ -6. To je odgovor, ali se može napisati na drugi način: x ∈ (-∞; -6].

2. Riješite dvostruku nejednakost -4 <2x + 6 ≤ 8.

Prvo, morate oduzeti svugdje 6. Ispada: -10 <2x ≤ 2. Sada morate podijeliti s 2. Nejednakost će izgledati ovako: -5 <x ≤ 1. Nakon što ste opisali odgovor na broj osi, možete odmah shvatiti da će rezultat biti od -5 1. I prva točka je isključena, a druga je uključena. To jest, odgovor na nejednakost je: x ∈ (-5; 1]).