Problemi riješeni pomoću jednadžbe: primjeri, objašnjenje. Algebarski problemi

Prije ili kasnije, bilo koji učenik u lekcijama algebre će naići na probleme riješene jednadžbom. U početku, izgled slova umjesto uobičajenih brojeva i akcija s njima zbunjuju čak i najdarovitije, ali ako pogledate, sve nije tako teško kao što se čini na prvi pogled.

Algoritam odluke

Prije prelaska na konkretne primjere potrebno je razumjeti algoritam za rješavanje problema pomoću jednadžbi. U svakoj jednadžbi postoji nepoznato, najčešće označeno slovom X. Također, u svakom problemu postoji ono što treba pronaći, isto nepoznato. Upravo to treba označiti kao X. I onda, slijedeći stanje problema, zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti - izvoditi sve potrebne radnje.

Nakon pronalaženja nepoznatog, neophodno je izvršiti provjeru kako bi bili sigurni da je problem ispravno riješen. Važno je napomenuti da djeca koja su već u osnovnoj školi rješavaju probleme pomoću jednadžbi. Primjeri za to su oni zadaci koje treba riješiti segmentima, koji su najpotpuniji analozi nepoznatih slova.

Temelj osnova - problem košare

Dakle, pokušajmo u praksi primijeniti rješenje problema koristeći jednadžbe, čije je objašnjenje algoritma dano malo više.

Zadatak mu je: zasađen je određeni broj košara s jabukama. Prvo su prodane 3 košare, zatim je dovršeno još 8 košara. Rezultat je bio 12 košara. Koliko je košara jabuka izvorno ubrano ?

Rješenje problema počinjemo označavanjem nepoznatog - tj. Početnog broja košara - slova X. Sada počinjemo izjednačavati: X (početna količina) - 3 (prodane košare) + 8 (one koje su kasnije prikupljene) = 12 (ukupan broj košara) ), to jest, X - 3 + 8 = 12. Rješavajući jednostavnu jednadžbu, dobivamo da je X = 7. Provjerite jeste li izvršili test, tj. zamijenili pronađeni broj u jednadžbu: 7 - 3 + 8 je doista jednako 12, odnosno problem je ispravno riješen.

Pričvršćivanje: koncertne dvorane

Slijedi sljedeći zadatak: U dvije koncertne dvorane ima 450 mjesta. Poznato je da u jednoj dvorani ima 4 puta više mjesta nego u drugoj. Trebate znati koliko mjesta u svakoj sobi .

Kako bismo riješili slične probleme u algebri, ponovno moramo primijeniti jednadžbu. Znamo da je zbroj dva broja, od kojih je jedan 4 puta veći od drugog, 450. Neka broj mjesta u manjoj dvorani, nepoznat, bude jednak X, tada je broj mjesta u većoj dvorani 4 * X = 4X. Stoga, 450 = X + 4X = 5X. I onda trebate riješiti standardnu ​​jednadžbu 450 = 5X, gdje je X = 450/5 = 90, odnosno u manjoj dvorani ima 90 sjedećih mjesta, što znači u većoj - 90 * 4 = 360. Kako bi provjerili da je problem ispravno riješen, možete provjeriti nejednakost: 360 + 90 = 450, to jest, odgovor je točan.

Klasična: police za knjige

Ali problemi riješeni jednadžbom mogu biti složeniji. Na primjer, postoje tri police s knjigama. Na prvoj polici ima još 8 knjiga više nego na drugoj i 3 puta više na trećoj od druge, a broj knjiga na prvoj i trećoj polici jednak je. Koliko je knjiga na svakoj polici?

Jasno je da se morate odvojiti od druge police, koja se nalazi u oba uvjeta. Ako označimo broj knjiga na njemu za X, onda na prvoj polici X + 8 knjiga, a na trećem - X * 3 knjige, dok je X + 8 = 3X. Rješavajući jednadžbu, dobivamo X = 4. Provodimo test, zamjenjujući nepoznato u jednakost: 4 + 8 je stvarno jednako 3 * 4, odnosno problem je ispravno riješen.

Vježbajte dalje: dabrovi

Kao što možete vidjeti, rješavanje problema s jednadžbom je mnogo lakše nego što se čini na prvi pogled. Popravit ćemo vještine rada s jednadžbama pomoću drugog zadatka. Prvi dabar je u jednom danu glodao nekoliko stabala. Drugi dabar glodao je 6 puta više. Treći dabar glodao je 2 puta više stabala nego prvi, ali 3 puta manje od drugog. Koliko je stabala ujedao svaki dabar?

Zadatak nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pronalazimo nepoznato - u ovom problemu, to je broj stabala koje je grizao prvi dabar. Prema tome, drugi dabar je uništio 6 * X stabala, a treći - 2 * X, a taj broj je 3 puta manji od 6 * X. Sastavite jednadžbu: 6X = 3 * 2X. Nakon što smo to riješili, dobili smo da je prvi dabar glodao samo jedno stablo, zatim drugo - 6, a treće - 2. Zamjenjujući brojeve u jednadžbi, razumijemo da je problem ispravno riješen.

Povezujemo jednadžbe i uvjete

Ako vam se kaže: "Za svaki problem, odaberite odgovarajuću jednadžbu," - ne brinite - to je u potpunosti stvarnost.

Dane su sljedeće jednadžbe:

1. 6 + X = 2X;
2. 6 = 2X;
3. 2 + X = 6 .

Uvjeti zadataka su sljedeći:

1. Dječak je imao 6 jabuka, a djevojčica je bila dva puta manja, koliko jabuka ima djevojka?
2. Na stolu su olovke i olovke, poznato je da na stolu ima 6 olovaka, a 2 olovke manje, koliko olovaka i koliko olovaka na stolu?
3. Vanja ima šest kovanica više od Tanje, a Tanya ima dva puta manje od Ani, koliko novčića ima svako dijete, ako Vanya i Ani imaju istu količinu novca?

Izrađujemo jednadžbe za svaki od problema.

• U prvom slučaju ne znamo broj jabuka u djevojčici, to jest, on je jednak X, znamo da je X 2 puta manji od 6, to jest, 6 = 2X, dakle, jednadžba broj 2 odgovara tom uvjetu.
• U drugom slučaju X označava broj olovaka, zatim broj X + 2 olovaka, ali znamo da ima 6 olovaka, to jest, X + 2 = 6, što znači da se ovdje nalazi treća jednadžba.
• Što se tiče zadnjeg zadatka, pod brojem 3, broj tanina, koji se javlja u dva uvjeta, je nepoznato nepoznato, tada Vanya ima 6 + X novčića, a Ani 2X novčića, odnosno 6 + X = 2X - očito je da prva jednadžba.

Ako imate probleme riješene uz pomoć jednadžbe, na koju trebate pronaći odgovarajuću jednakost, napravite jednadžbu za svaki od problema, a zatim povežite ono što imate s tim jednadžbama.

Komplicirano: sustav jednadžbi - slatkiši

Sljedeća faza u primjeni jednakosti slova u algebri jesu problemi riješeni sustavom jednadžbi. U njima postoje dvije nepoznanice, a jedna od njih je izražena u odnosu na drugu na temelju dostupnih podataka. Poznato je da su Pasha i Katie zajedno 20 bombona. Također je poznato da ako je Paša imao još 2 slatkiša, imao bi 15 slatkiša, koliko bombona svaki?

U ovom slučaju, ne znamo ni broj Katynih bombona ni broj Sashinih slatkiša, stoga imamo dvije nepoznanice, X i Y. Istodobno znamo da je Y + 2 = 15.

Stvarajući sustav dobivamo dvije jednadžbe:

1. X + Y = 20;
2. Y + 2 = 15.

I onda se ponašamo prema pravilima rješavanja sustava: izvlačimo Y iz druge jednadžbe, dobivamo Y = 15 - 2, a zatim ga zamjenjujemo prvim, to jest, X + Y = X + (15 - 2) = 20. Nakon što riješimo jednadžbu, dobivamo X = 7, zatim Y = 20 - 7 = 13. Provjerite ispravnost rješenja, zamijenite Y u drugoj jednadžbi: 13 + 2 je stvarno jednako 15, tj. Katya ima 7 bombona, a za Pašu - 13.

Još teže: kvadratne jednadžbe i zemlja

Postoje i problemi u algebri koji su riješeni kvadratna jednadžba. U njima nema ništa komplicirano, samo se standardni sustav pretvara u kvadratnu jednadžbu tijekom rješenja. Primjerice, daje se zemljište od 6 hektara (60.000 četvornih metara), ograda dužine 1000 metara. Koja je duljina i širina parcele?

Izrađujemo jednadžbu. Duljina ograde je obod mjesta, dakle, ako je duljina označena s X, a širina je Y, a zatim 1000 = 2 * (X + Y). Područje je isto, to jest, X * Y = 60000. Iz prve jednadžbe dobivamo X = 500 - Y. Zamjenjujući je u drugu jednadžbu, dobivamo (500 - Y) * Y = 60000, tj. 500Y - Y2 = 60000. Nakon što smo riješili jednadžbu, dobivamo strane jednake 200 i 300 metara - kvadratna jednadžba ima dva korijena, od kojih je jedan često neprikladan za uvjet, na primjer, negativan, a odgovor bi trebao biti broj prirodnih stoga je provjera obvezna.

Ponovite: stabla u vrtu

Popravljajući temu, rješavamo još jedan problem. U vrtu se nalazi nekoliko stabala jabuka, 6 krušaka i nekoliko stabala trešnje. Poznato je da je ukupan broj stabala 5 puta veći od broja stabala jabuke, dok je više od 2 puta više od stabala jabuka. Koliko je stabala svake vrste u vrtu, a koliko u vrtu su sva stabla?

Za nepoznati X, kao što je vjerojatno već jasno, označavamo stabla jabuka, kroz koje možemo izraziti ostale količine. Poznato je da Y = 2X, i Y + X + 6 = 5X. Zamjenom Y iz prve jednadžbe dobivamo jednakost 2X + X + 6 = 5X, odakle je X = 3, stoga u vrtu Y = 3 * 2 = 6 stabala trešnje. Provjeravamo i odgovaramo na drugo pitanje dodajući dobivene vrijednosti: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, odnosno problem je ispravno riješen.

Kontrola: zbroj brojeva

Rješavanje problema pomoću jednadžbe je daleko od teškog kao što se čini na prvi pogled. Glavno je da ne napravite pogrešku u odabiru nepoznatog i, što je još važnije, da ga ispravno izrazite, pogotovo ako govorimo o sustavu jednadžbi. U zaključku je dan posljednji problem, mnogo više uključen nego što je prikazan gore.

Zbroj tri broja je 40. Poznato je da je X = 2Y + 3Z, a Y = Z - 2/3 Što su X, Y i Z jednaki?

Počnimo s uklanjanjem prvog nepoznatog. Umjesto X, odgovarajući izraz zamjenjujemo jednakošću, dobivamo 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Zatim zamjenjujemo i poznati Y, da dobijemo jednakost 3Z - 2 + 4Z = 40, odakle Z = 6. Vraćajući se na Y, nalazimo da je jednak 5,2, a X, zauzvrat, jednak je 18. Uz pomoć verifikacije uvjereni smo u istinitost izraza, stoga je problem ispravno riješen.

zaključak

Dakle, koji su problemi riješeni jednadžbom? Jesu li zastrašujući kao što se čini na prvi pogled? Nema šanse! Uz dužnu revnost da ih razumiju nije teško. A kad jednom shvatite algoritam, u budućnosti ćete moći kliknuti na slične zagonetke, čak i najzahtjevnije, poput sjemenki. Glavna stvar je pažljivost, ona je ona koja će pomoći u ispravnom određivanju nepoznatog i rješavanjem ponekad nizom jednadžbi pronaći odgovor.