Pojam kutnog momenta, njegov zakon očuvanja i primjer rješavanja problema

Rotacijsko gibanje nije ništa manje uobičajeno u prirodi od linearnog kretanja objekata. Da bi to potvrdili, dovoljno je prisjetiti se rotacije kotača automobila i bicikala, lopatica helikoptera i navijača, planeta oko njegove osi i oko njegovih zvijezda. Za opisivanje procesa kružnog kretanja predmeta koristi se fizička veličina, koja se naziva "kutni moment". Razmotrite u članku što je to.

Momentum moment čestice i os rotacije

U nastavku je crtež koji shematski pokazuje da se čestica ili materijalna točka mase m kreće duž kružne putanje polumjera ¯ s brzinom ν usmjerenom tangencijalno. Os rotacije je okomita na ravninu slike na točki O.

Uvedemo sljedeću fizičku veličinu:

L¯ = r¯ * m * v¯ = r¯ * p¯.

To se naziva kutni moment, odnosno kutni moment. Kao što možete vidjeti, ovo je vektorska količina. Smjer se može odrediti pravilom desne ruke: morate usmjeriti 4 prsta tako da oni, krećući se duž vektora r¯, dođu do kraja vektora p ¯ (ili v¯), a zatim će palac pokazati smjer L¯. U tom slučaju, L¯ je usmjeren na čitač okomit na ravninu za crtanje.

Budući da je brzina čestica (impulsa) na slici usmjerena pod pravim kutom prema vektoru ¯, reducirana jednadžba može se prepisati u skalarnom obliku:

L = r * m * v = r * p.

Kutna brzina i moment inercije

Moment čestice iz prethodnog primjera može se zapisati kroz kutnu brzinu ω. Da bismo to učinili, koristimo njegovu vezu s linearnom brzinom:

ω = v / r => v = ω * r.

Zamjenjujući posljednju jednadžbu skalarnoj jednadžbi za L, dobivamo:

L = r ² * m * ω = I * ω, gdje je I = r ² * m.

Ovdje je I trenutak inercije čestice. Rezultirajući izraz često se koristi za rješavanje praktičnih problema, od kojih će jedan biti objašnjen u nastavku.

Zakon očuvanja rotacijskog gibanja

Kretanje u krugu, kao i linearno kretanje objekata u prostoru, karakteriziraju zakoni očuvanja. Jedna od njih je očuvanje kutnog momenta. Dobili smo ovaj zakon.

Jednadžba razmatranog tipa gibanja ima sljedeći oblik:

dL / dt = M.

Gdje dL / dt karakterizira promjenu kutnog momenta tijela tijekom vremena, kada na njega utječe određeni trenutak M stvoren vanjskim (ne unutarnjim) silama. Ako je taj trenutak sile jednak nuli, tada nestaje lijeva strana izraza, što znači L = const. U ovom slučaju možemo napisati sljedeću jednakost:

L = const = I ₁ * ω ₁ = I ₂ * ω ₂ .

Što znači ovaj zapis? Kaže se da ako se neko tijelo okreće brzinom ω ₁ i ima moment inercije I ₁ , onda se zbog nekih unutarnjih (a ne vanjskih) sila moment inercije mijenja i postaje jednak I ₂ , tada će nova brzina vrtnje ω ₂ biti proporcionalna povezane s ovom promjenom.

Zabilježeni odnos nazvan je zakon očuvanja kutnog momenta točke (tijela) po analogiji s odgovarajućim zakonom za linearne veličine (očuvanje momenta), budući da trenutak inercije I igra ulogu mase, a kutna vrijednost ω igra ulogu mase.

Koristeći zakon L = const

Odnos koji se razmatra u prethodnom odlomku može se vidjeti u akciji kada nastupaju klizači ili balerine. Izvodeći složene akrobacije, okreću svoja tijela, raspršuju ruke i noge, a zatim pritisnu svoje udove uz tijelo. Posljednje djelovanje dovodi do smanjenja vrijednosti I i, shodno tome, do povećanja brzine rotacije, što stvara prilično spektakularan učinak.

Drugi primjer uporabe nepromjenjivosti momenta kretanja sustava je provedba rotacije umjetnog satelita u svemiru. U tu svrhu pokrenite poseban zamašnjak. Budući da se ukupni kutni moment ne smije mijenjati zbog djelovanja unutarnjih sila, sam satelit počinje se okretati u suprotnom smjeru. Čim se okrene prema željenom kutu oko svoje osi, zamašnjak se zaustavlja uz pomoć električnog motora, a tijelo satelita također zaustavlja svoju rotaciju.

Izračunajte trenutak inercije

Budući da je vrijednost I prisutna u zakonu očuvanja kružnog gibanja, trebamo reći nekoliko riječi o tome. Karakterizira inerciju sustava, tj. Kako ga je "teško" ili "lako" osloboditi. Primjerice, zamašnjak automobila ima veliku masu i relativno velik radijus, tako da je njegov moment inercije značajan. Naprotiv, kotač za bicikle je izrađen od aluminijskog ruba, tako da ću za to biti relativno mali.

Za izračunavanje ove fizičke karakteristike koristite formulu:

I = ( _m (r2 * dm).

Odatle se vidi da je trenutak inercije karakteristika sustava u koji ulazi tijelo revolucije, a ne samo tijelo. Ta činjenica me razlikuje od linearne inercije, koja ovisi isključivo o svojstvima tijela (njegova masa).

Zadatak s rotirajućom šipkom

Riješit ćemo zanimljiv problem: postoji čvrsta šipka koja se vrti oko osi smještene na njenom kraju. Ako se ova os glatko pomakne prema središtu mase šipke, kako će se promijeniti njezina brzina vrtnje?

To je klasičan zadatak primjene zakona očuvanja kutnog momenta. Teškoća je u izračunavanju promjene momenta inercije. Da biste to učinili, možete koristiti gornju formulu s integralom, ali bit će lakše pogledati potrebne vrijednosti I u referentnoj literaturi.

Na početku je os rotacije prolazila kroz kraj štapa. Za ovaj sustav, moment inercije je jednak:

I ₁ = m * L 2/3, gdje je L duljina štapa, m je njegova masa.

Kada je os bila pomaknuta do središta mase objekta, promijenjen je moment inercije, postao jednak:

I2 = m * L 2/12.

Primijeniti zakon očuvanja za L, dobivamo:

m * L 2/3 * ω ₁ = m * L 2/12 * ω ₂ => ω ₂ / ω ₁ = m * L 2/3 / (m * L 2/12) = 4.

Dobili smo odgovor na problem: štap će se rotirati 4 puta brže nego na početku.