Pravila po kojima se dodaju vektori

Kako je dodavanje vektora, studentima nije uvijek jasno. Djeca ne predstavljaju ono što se krije iza njih. Samo morate zapamtiti pravila, a ne razmisliti o biti. Dakle, radi se o principima zbrajanja i oduzimanja vektorskih veličina za koje je potrebno puno znanja.

Kao rezultat dodavanja dva ili više vektora, uvijek se dobiva jedan. Štoviše, ona će uvijek biti ista bez obzira na to gdje se nalazi.

Najčešće se u školskom tijeku geometrije smatra dodavanje dvaju vektora. Može se izvesti pravilom trokuta ili paralelograma. Ove slike izgledaju drugačije, ali rezultat akcije je jedan.

Kako se dodaje pravilo trokuta?

Koristi se kada vektori nisu kolinearni. To jest, ne leži na jednoj niti na paralelnim crtama.

U ovom slučaju, prvi vektor treba odgoditi s neke proizvoljne točke. Od njegovog kraja potrebno je provoditi paralelu i jednaku je drugoj. Rezultat će biti vektor koji počinje s početka prvog i završava na kraju drugog. Slika podsjeća na trokut. Otuda ime pravila.

Ako su vektori kolinearni, tada se isto pravilo može primijeniti. Samo će crtež biti smješten uz jedan redak.

Kako je dodavanje u skladu s pravilom paralelograma?

Opet? odnosi se samo na ne-kolinearne vektore. Izgradnja se izvodi na drugačijem principu. Iako je početak isti. Potrebno je odgoditi prvi vektor. A od samog početka - drugi. Na temelju njih dovršite paralelogram i nacrtajte dijagonalu od početka oba vektora. Ona će biti rezultat. To je način dodavanja vektora prema pravilu paralelograma.

Do sada su bila dva. A što ako ima 3 ili 10? Koristite sljedeći trik.

Kako i kada se primjenjuje pravilo poligona?

Ako želite izvršiti dodavanje vektora, čiji je broj veći od dva, ne treba se bojati. Dovoljno je odgoditi ih sve sekvencijalno i povezati početak lanca s njegovim krajem. Ovaj će vektor biti željeni iznos.

Koja svojstva vrijede za akcije s vektorima?

O nultom vektoru. Što potvrđuje da kada se s njim doda izvornik dobiva.

Na suprotnom vektoru. To jest, onaj koji ima suprotan smjer i jednak je veličini vrijednosti. Njihova suma će biti jednaka nuli.

O komutativnosti dodavanja. Ono što je poznato još od osnovne škole. Promjena mjesta stavki ne mijenja rezultat. Drugim riječima, bez obzira koji će vektor prvo odgoditi. Odgovor će i dalje biti točan i jedinstven.

O asocijativnosti dodatka. Ovaj zakon vam dopušta da u parovima dodate vektore iz trostrukog i da im dodate treći. Ako ga napišete pomoću znakova, dobivate sljedeće:

prvi + (drugi + treći) = drugi + (prvi + treći) = treći + (prvi + drugi).

Što je poznato o razlici vektora?

Odvojena operacija oduzimanja ne postoji. To je zbog činjenice da je to zapravo dodatak. Samo drugi od njih ima suprotan smjer. A onda se sve radi kao da se uzme u obzir vektorski dodatak. Stoga praktički ne govore o svojim razlikama.

Kako bi se pojednostavio rad s njihovim oduzimanjem, pravilo trokuta je izmijenjeno. Sada (pri oduzimanju) drugi vektor se mora odgoditi od početka prvog. Odgovor će biti onaj koji povezuje krajnju točku deductible s njim. Iako možete odgoditi kako je opisano ranije, jednostavno promjenom smjera drugog.

Kako pronaći sumu i razliku vektora u koordinatama?

Problem daje koordinate vektora i morate znati njihove vrijednosti za konačni. U ovoj izgradnji nije potrebno izvesti. To jest, možete koristiti jednostavne formule koje opisuju pravilo dodavanja vektora. Izgledaju ovako:

a (x, y, z) + u (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -c (k, l, m) = c (xk, il, zm).

Lako je primijetiti da koordinate koje trebate samo dodati ili oduzeti, ovisno o konkretnom zadatku.

Prvi primjer s rješenjem

Stanje. S obzirom na pravokutnik AVSD. Njegove su strane 6 i 8 cm, a sjecište dijagonala označeno je slovom O. Potrebno je izračunati razliku vektora AO i VO.

Odluka. Prvo morate nacrtati te vektore. Oni su usmjereni od vrhova pravokutnika do točke presjeka dijagonala.

Ako pažljivo pogledate crtež, možete vidjeti da su vektori već poravnati tako da je drugi od njih u kontaktu s krajem prvog. To je samo njegov smjer nije u redu. Mora početi od ove točke. To je ako su vektori zbrojeni, au problemu - oduzimanje. Zaustaviti. Ova akcija znači da trebate dodati suprotno usmjeren vektor. To znači da VO treba zamijeniti s OB. I ispada da su dva vektora već formirala par strana iz pravila trokuta. Stoga je rezultat njihovog dodavanja, odnosno željene razlike, vektor AB.

I to se podudara sa stranom pravokutnika. Za snimanje numeričkog odgovora bit će potrebno sljedeće. Nacrtajte pravokutnik tako da velika strana ide vodoravno. Numeriranje vrhova počinje od dna lijevo i ide suprotno od smjera kazaljke na satu. Tada će duljina vektora AB biti jednaka 8 cm.

Odgovor je. Razlika između AO i VO je 8 cm.

Drugi primjer i njegovo detaljno rješenje

Stanje. Dijagonala rombova AVSD-a je 12 i 16 cm. Točka njihovog presjeka označena je slovom O. Izračunajte duljinu vektora formiranog razlikom vektora AO i VO.

Odluka. Neka oznaka vrhova romba bude ista kao u prethodnom problemu. Slično rješenju prvog primjera, ispada da je željena razlika jednaka vektoru AB. Njegova duljina je nepoznata. Rješenje problema je smanjeno kako bi se izračunala jedna od strana romba.

U tu svrhu morate uzeti u obzir trokut ABO. Pravokutna je, jer se dijagonala romba križa pod kutom od 90 stupnjeva. I noge su jednake polovici dijagonala. To je 6 i 8 cm, dok se strana u problemu podudara s hipotenuza u ovom trokutu.

Da bismo ga pronašli, trebamo Pitagorin teorem. Kvadrat hipotenuze bit će jednak zbroju brojeva 6 ² i 8 ² . Nakon kvadriranja vrijednosti su 36 i 64. Njihova suma je 100. Iz toga slijedi da je hipotenuza 10 cm.

Odgovor je. Razlika između vektora AO i HE je 10 cm.

Treći primjer s detaljnim rješenjem

Stanje. Izračunajte razliku i zbroj dvaju vektora. Njihove koordinate su poznate: u prvom - 1 i 2, u drugom - 4 i 8.

Odluka. Za pronalaženje iznosa potrebno je u paru dodati prvu i drugu koordinatu. Rezultat će biti brojevi 5 i 10. Odgovor će biti vektor s koordinatama (5; 10).

Za razliku morate izvršiti oduzimanje koordinata. Nakon izvođenja ove akcije dobivate brojeve -3 i -6. Oni će biti koordinate željenog vektora.

Odgovor je. Zbroj vektora je (5; 10), a njihova razlika je (-3; -6).

Četvrti primjer

Stanje. Duljina vektora AB je 6 cm, BC - 8 cm, a drugi je nacrtan od kraja prvog pod kutom od 90 stupnjeva. Izračunajte: a) razliku modula vektora BA i BC i modula razlike BA i BC; b) zbroj istih modula i modul zbroja.

Rješenje: a) Duljine vektora već su dane u problemu. Stoga, izračunati njihovu razliku nije teško. 6 - 8 = -2. Situacija s modulom razlike je nešto složeniji. Prvo morate znati koji će vektor biti rezultat oduzimanja. U tu svrhu potrebno je odgoditi vektor BA, koji je usmjeren u suprotnom smjeru AB. Zatim od svoga kraja držite vektor sunca, usmjeravajući ga u smjeru suprotnom od izvornika. Rezultat oduzimanja je vektor CA. Njezin se modul može izračunati po Pitagorinom teoremu. Jednostavni izračuni vode do vrijednosti od 10 cm.

b) Zbroj modula vektora je 14 cm, a za traženje drugog odgovora potrebna je neka konverzija. Vektor BA je suprotno usmjeren na onaj koji je dao - AB. Oba vektora usmjerena su iz jedne točke. U tom slučaju možete koristiti pravilo paralelograma. Rezultat dodatka bit će dijagonala, a ne samo paralelogram, već pravokutnik. Njegove dijagonale su jednake, što znači da je modul zbroja isti kao u prethodnom odlomku.

Odgovor: a) -2 i 10 cm; b) 14 i 10 cm.