Trigonometrija od nule: osnovni pojmovi, povijest

Sine, kosinus, tangenta - kada izgovarate ove riječi u prisutnosti srednjoškolaca, možete biti sigurni da će dvije trećine njih izgubiti interes za daljnji razgovor. Razlog leži u činjenici da se osnove trigonometrije u školi predaju u potpunoj izolaciji od stvarnosti, te stoga učenici ne vide smisao u proučavanju formula i teorema.

Zapravo, nakon detaljnijeg razmatranja, ovo područje znanja se ispostavlja vrlo zanimljivim, kao i primjenjenim - trigonometrija nalazi primjenu u astronomiji, građevinarstvu, fizici, glazbi i mnogim drugim područjima.

Upoznajmo se s osnovnim pojmovima i navest ćemo nekoliko razloga za proučavanje ovog dijela matematičke znanosti.

Povijest

Nije poznato u kojem trenutku čovječanstvo je počelo stvarati buduću trigonometriju od nule. Međutim, dokumentirano je da su već u drugom tisućljeću prije Krista Egipćani bili upoznati s osnovama ove znanosti: arheolozi su pronašli papirus sa zadatkom u kojem je potrebno pronaći kut nagiba piramide na dvije poznate strane.

Ozbiljniji uspjeh postigli su znanstvenici drevnog Babilona. Tijekom stoljeća, baveći se astronomijom, savladali su brojne teoreme, uveli posebne načine za mjerenje kutova, koje, usput rečeno, danas koristimo: stupnjevi, minute i sekunde posudili su europska znanost u grčko-rimskoj kulturi, u kojoj su te jedinice došle od Babilonaca.

Pretpostavlja se da je poznati Pitagorin teorem, povezan s osnovama trigonometrije, bio poznat babiloncima prije gotovo četiri tisuće godina.

ime

Doslovno, izraz "trigonometrija" može se prevesti kao "mjerni trokut". Glavni predmet istraživanja u ovom dijelu znanosti bio je stoljećima pravokutni trokut ili bolje rečeno, odnos između veličina kutova i duljina njegovih strana (danas, proučavanje trigonometrije od početka počinje ovim dijelom). U životu postoje česte situacije kada je nemoguće praktički izmjeriti sve potrebne parametre nekog objekta (ili udaljenosti do objekta), a onda postaje nužno dobiti podatke koji nedostaju pomoću izračuna.

Na primjer, u prošlosti, osoba nije mogla izmjeriti udaljenost do prostorni objekti ali pokušaji da se izračunaju te udaljenosti događaju se mnogo prije pojave naše ere. Trigonometrija je također odigrala važnu ulogu u plovidbi: kapetan je uvijek imao znanje o plovidbi noću po zvijezdama i prilagođavanju staze.

Osnovni pojmovi

Da biste svladali trigonometriju od nule, morate razumjeti i zapamtiti nekoliko osnovnih pojmova.

Sinus određenog kuta je omjer suprotne noge i hipotenuze. Pojašnjavamo da je suprotna noga strana suprotna kutu koji razmatramo. Dakle, ako je kut 30 stupnjeva, sinus ovog kuta će uvijek, za bilo koju veličinu trokuta, biti ½. Kosinus kuta je omjer susjedne noge i hipotenuze.

Tangenta je omjer suprotne noge i susjednog (ili, ekvivalentno, omjer sinusa i kosinusa). Kotangens je jedinica podijeljena tangentom.

Vrijedno je spomenuti slavnu Pi (3.14 ...), koja predstavlja polovicu obujam s radijusom jedne jedinice.

Popularni bugovi

Ljudi koji proučavaju trigonometriju od nule čine niz pogrešaka - uglavnom iz nepažnje.

Prvo, pri rješavanju problema u geometriji treba imati na umu da je uporaba sinusa i kosinusa moguća samo u pravokutnom trokutu. Događa se da učenik “na stroju” uzme najdužu stranu trokuta za hipotenuzu i dobije netočne rezultate proračuna.

Drugo, na početku je lako zbuniti vrijednosti sinusnog i kosinusnog za odabrani kut: podsjećamo da je sinus od 30 stupnjeva numerički jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Kod zamjene pogrešnog broja svi daljnji izračuni će biti pogrešni.

Treće, dok se problem ne riješi u potpunosti, ne biste trebali zaokruživati ​​vrijednosti, izvlačiti korijene, zapisivati ​​običan dio kao decimalu. Često učenici nastoje dobiti “lijepi” broj u zadatku trigonometrije i odmah izvlače korijen iz tri, iako se u jednom koraku taj korijen može smanjiti.

Etimologija riječi "sinus"

Povijest riječi "sinus" je doista neobična. Činjenica je da doslovni prijevod ove riječi iz latinskog znači "šuplja". To je zato što je ispravno razumijevanje riječi izgubljeno pri prevođenju s jednog jezika na drugi.

Nazivi osnovnih trigonometrijskih funkcija potječu iz Indije, gdje je pojam sinusa označen riječju "tetiva" na sanskrtu - činjenica je da je segment zajedno s lukom kruga na kojem se temeljio nalikovao luk. Tijekom vrhunca arapske civilizacije posuđena su indijska dostignuća na području trigonometrije, a termin je preveden na arapski u obliku transkripcije. Desilo se da je na tom jeziku već postojala slična riječ koja označava šupljinu, a ako su Arapi razumjeli fonetsku razliku između izvorne i posuđene riječi, onda su Europljani, prevođenjem znanstvenih trakta u latinski, doslovno preveli arapsku riječ, nemajući nikakve veze s konceptom sinusa , Mi ih koristimo do danas.

Tablice vrijednosti

Postoje tablice u koje se unose brojčane vrijednosti za sinus, kosinus i tangente svih mogućih kutova. U nastavku donosimo podatke za kutove od 0, 30, 45, 60 i 90 stupnjeva, koji se moraju naučiti kao obvezni dio trigonometrije za lutke, a korist od sjećanja na njih je vrlo jednostavna.

Ako se dogodi da je numerička vrijednost sinusnog ili kosinusnog kuta "izletjela iz glave", postoji način da je sami izvadite.

Geometrijska reprezentacija

Nacrtajte krug, kroz njegovo središte crtamo apscisu i ordinate. Osa apscise nalazi se vodoravno, a osi ordinate je okomita. Obično su potpisani kao "X" i "Y". Sada iz središta kruga nacrtamo liniju tako da se dobije kut koji trebamo između njega i X osi. Konačno, od točke gdje pravac presijeca krug, spuštamo okomicu na os X. Duljina rezultirajućeg segmenta bit će jednaka numeričkoj vrijednosti sinusa našeg kuta.

Ova metoda je vrlo važna ako ste zaboravili željenu vrijednost, na primjer, na ispitu, a nema ni udžbenika o trigonometriji pri ruci. Nećete dobiti točnu brojku na ovaj način, ali sigurno ćete vidjeti razliku između ½ i 1.73 / 2 (sinus i kosinus pod kutom od 30 stupnjeva).

primjena

Jedan od prvih stručnjaka koji su koristili trigonometriju bili su mornari koji nisu imali nikakvu drugu referentnu točku na otvorenom moru, osim neba iznad njihovih glava. Danas su kapetani brodova (zrakoplovi i drugo) vrste prijevoza) Oni ne traže najkraći put kroz zvijezde, ali aktivno koriste GPS navigaciju, što bi bilo nemoguće bez uporabe trigonometrije.

U gotovo svakom odjeljak fizike Čekate kalkulacije pomoću sinusa i kosinusa: bilo da se radi o primjeni sile u mehanici, kalkulacijama puta objekata u kinematici, oscilacijama, širenju valova, lomu svjetlosti - ne možete bez osnovne trigonometrije u formulama.

Druga profesija koja je nezamisliva bez trigonometrije je geodet. Koristeći teodolit i razinu ili složeniji uređaj - tahiometar, ti ljudi mjere razliku u visini između različitih točaka na površini zemlje.

frekvencija

Trigonometrija se ne bavi samo s kutovima i stranama trokuta, iako je od te točke počela postojati. U svim područjima gdje postoji cikličnost (biologija, medicina, fizika, glazba itd.) Naići ćete na raspored čije ime vjerojatno znate kao sinusni val.

Takav graf je krug koji se razvija po vremenskoj osi i izgleda kao val. Ako ste ikada radili s osciloskopom u fizici, shvatite o čemu se radi. I glazbeni ekvilajzer i uređaj koji prikazuje srčane ritmove koriste svoje trigonometrijske formule.

U zaključku

Razmišljajući o tome kako naučiti trigonometriju, većina učenika srednjih i srednjih škola počela je smatrati složenom i nepraktičnom znanošću, jer se samo upoznaju s dosadnim informacijama iz udžbenika.

S obzirom na nepraktičnost - već smo vidjeli da je u različitim stupnjevima sposobnost rukovanja sinusima i tangentima potrebna u gotovo svakom području djelovanja. Što se tiče složenosti ... Razmislite: ako su ljudi koristili to znanje prije više od dvije tisuće godina, kada je odrasla osoba imala manje znanja od današnjeg srednjoškolca, je li vam zaista moguće proučiti ovo područje znanosti na osnovnoj razini? Nekoliko sati promišljenih sati s rješavanjem problema - i postići ćete svoj cilj proučavanjem osnovnog tečaja, tzv. Trigonometrije za lutke.