Pronađite obod trokuta na različite načine.
Perimetar bilo kojeg trokuta je duljina crte koja ograničava oblik. Da biste ga izračunali, morate znati zbroj svih strana ovog poligona.
Izračun s tih duljina stranica
Kada je njihovo značenje poznato, to je lako učiniti. Označavajući te parametre slovima m, n, k i perimetrom slovom P dobivamo formulu za izračun: P = m + n + k. Zadatak: Poznato je da trokut ima stranice duljine 13,5 decimetra, 12,1 decimetara i 4,2 decimetra. Saznaj perimetar. Rješavamo: Ako su stranice zadanog poligona a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, tada je P = 29,8 dm. Odgovor: P = 29,8 dm.
Perimetar trokuta koji ima dvije jednake strane
Takav se trokut naziva jednakokračan. Ako su te jednake stranice dugačke jedan centimetar, a treća strana b centimetra duga, onda se perimetar lako prepoznaje: P = b + 2a. Zadatak: trokut ima dvije strane od 10 decimetara, bazu od 12 decimetara. Pronađi P. Rješenje: Neka je a = c = 10 dm, baza b = 12 dm. Zbroj strana je P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Odgovor: P = 32 decimetra.
Perimetar jednakostraničnog trokuta
Ako sve tri strane trokuta imaju jednak broj jedinica, to se naziva istostraničnim. Točno je drugo ime. Perimetar pravilnog trokuta nalazi se pomoću formule: P = a + a + a = 3 · a. Zadatak: Imamo jednakostraničnu trokutastu parcelu. Jedna strana je 6 metara. Pronađite duljinu ograde, koja može obuhvatiti ovo područje. Rješenje: Ako je strana ovog poligona a = 6m, duljina ograde je P = 3,6 = 18 (m). Odgovor: P = 18 m.
Trokut koji ima kut od 90 °
Naziva se pravokutnim. Prisutnost pravog kuta omogućuje pronalaženje nepoznatih strana pomoću definicije trigonometrijskih funkcija i Pitagorina teorema. Najduža strana se naziva hipotenuza i označena je c. Postoje još dvije strane, a i b. Slijedeći teorem koji nosi naziv Pitagora, imamo c 2 = a 2 + b 2 . Noge su a = √ (c 2 - b 2 ) i b = √ (c 2 - a 2 ). Poznavajući duljinu dvije noge a i b, izračunamo hipotenuzu. Tada nalazimo zbroj strana slike, dodajući te vrijednosti. Potraga: Cateta pravokutni trokut duljine su 8,3 cm i 6,2 cm. Potrebno je izračunati opseg trokuta. Mi rješavamo: Označavamo noge a = 8,3 cm, b = 6,2 cm, slijedeći Pitagorin teorem, hipotenuza je c = √ (8,3 2 + 6,2 2 ) = √ (68,89 + 38,44) = 7107 33,30,4 (cm). P = 24,9 (cm). Ili P = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = 24.9 (cm). Odgovor: P = 24,9 cm, vrijednosti korijena uzete su do desetog. Ako znamo vrijednosti hipotenuze i nogu, tada se vrijednost P dobiva izračunavanjem P = √ (c 2 - b 2 ) + b + c. Zadatak 2: Zemljište koje se nalazi nasuprot kutu od 90 stupnjeva, 12 km, jedna od nogu je 8 km. Koliko vremena možete proći cijelim područjem, ako se krećete brzinom od 4 kilometra na sat? Rješenje: ako je najveći segment 12 km, manje od b = 8 km, duljina cijelog puta će biti P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2 ) = 20 + =80 = 20 + 8.9 = 28.9 ( km). Pronaći ćemo vrijeme dijeljenjem puta brzinom. 28,9: 4 = 7,225 (h). Odgovor: možete se kretati oko 7,3 sati kvadratni korijeni a odgovor zauzimamo do desetine. Možete pronaći zbroj stranica pravokutnog trokuta ako je jedna od strana dane i vrijednost jednog od oštrih kutova. Poznavajući duljinu noge b i vrijednost suprotnog kuta β, nalazimo nepoznatu stranu a = b / tg β. Pronađite hipotenuzu c = a: sinα. Perimetar takvog broja nalazi se dodavanjem dobivenih vrijednosti. P = a + a / sinα + a / tg α, ili P = a (1 / sin α + 1 + 1 / tg α). Zadatak: U pravokutnom Δ AVS s pravim kutom C, noge sunca su dugačke 10 m, a kut A je 29 stupnjeva. Potrebno je pronaći zbroj sudionika Δ AVS. Rješenje: Označujemo poznatu nožicu BC = a = 10 m, kut nasuprot njemu, =A = α = 30 °, zatim nogu AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m), hipotenuza AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Ili P = 10 · (1 + 1.72 + 2) = 47.2 m. Imamo: P = 47.2 m. Uzmemo vrijednost trigonometrijskih funkcija s točnošću od stotinke, duljinu stranica i perimetar zaokružimo na deseti. Imajući vrijednost nogu α i susjednog kuta β, utvrđujemo što je druga noga jednaka: b = a tan β. Hipotenuza će u ovom slučaju biti jednaka nogu podijeljena kosinusom kuta β. Perimetar je poznat po formuli P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1 + 1: cos β) · a. Zadatak: Noga trokuta s kutom od 90 stupnjeva 18 cm, susjedni kut je 40 stupnjeva. Pronađi P. Rješenje: Označavamo poznatu nogu BC = 18 cm, =β = 40 °. Tada je nepoznata noga AC = b = 18 · 0.83 = 14.9 (cm), hipotenuza AB = c = 18: 0.77 = 23.4 (cm). Zbroj strana slike jednak je R = 56,3 (cm). Ili P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm. Odgovor: P = 56,3 cm. Ako je poznata duljina hipotenuze c i bilo koji kut α, noge će biti jednake proizvodu hipotenuze za prvi - na sinusu, a drugi - na kosinusu ovog kuta. Perimetar ove brojke je P = (sin α + 1 + cos α) * c. Zadatak: Hipotenuza pravog trokuta AB = 9,1 cm, i kut od 50 stupnjeva. Nađi zbroj strana ove brojke. Rješenje: Označimo hipotenuzu: AB = c = 9,1 cm, =A = α = 50 °, tada jedna od BC nogu ima duljinu a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), ACH = b = 9 Analitički izračunato za C24H20N3O2: 0, 0.64 = 5.8 (cm). Tako je opseg tog poligona P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Ili P = 9,1 · (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odgovor: P = 21,9 centimetara.
Proizvoljni trokut, čija je jedna strana nepoznata
Ako imamo vrijednosti dviju strana a i c, a kut između tih strana je γ, nalazimo treći kosinusni teorem: b 2 = s 2 + a 2 - 2 as cos β, gdje je β kut između strana a i c. Onda ćemo naći perimetar. Zadatak: Δ AVS ima segment AB duljine 15 dm, segment AU čija je duljina 30,5 dm. Kut između ovih strana je 35 stupnjeva. Izračunajte zbroj sudionika C ABC. rješenje: Kosinusni teorem izračunajte duljinu treće strane. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 · 30,5 · 15 · 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Imamo: P = 65,6 dm.
Zbroj strana proizvoljnog trokuta čije su duljine dvije strane nepoznate
Kada znamo duljinu samo jednog segmenta i vrijednost dvaju kutova, možemo pronaći duljinu dvije nepoznate strane, koristeći sinusni teorem: "u trokutu, strane su uvijek proporcionalne sinusnim vrijednostima suprotnih kutova". Gdje je b = (a * sin β) / sin a. Slično tome, c = (sin γ): sin a. Perimetar u ovom slučaju će biti P = a + (sin β) / sin a + (sin γ) / sin a. Zadatak: Imamo Δ ABC. U njemu je dužina strane BC 8,5 mm, vrijednost kuta C je 47 °, a kut B je 35 stupnjeva. Nađi zbroj strana ove brojke. Rješenje: Označiti duljine stranica BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, = A = α = 47 °, =B = β = 35 °, = C = γ = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Iz odnosa izvedenih iz sinusnog teorema, nalazimo noge AC = b = (8.5 · 0.57): 0.73 = 6.7 (mm), AB = c = (7 · 0.99): 0.73 = 9,5 (mm). Stoga je zbroj stranica ovog poligona P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odgovor: P = 23,5 mm. U slučaju kada postoji samo duljina jednog segmenta i vrijednosti dvaju susjednih kutova, najprije izračunamo kut nasuprot poznatoj strani. Svi kutovi ove brojke imaju ukupno 180 stupnjeva. Stoga, =A = 180 ° - (+B + )C). Zatim nalazimo nepoznate segmente koristeći sinusni teorem. Zadatak: Imamo Δ ABC. Ima segment BC jednak 10 cm, kut B je 48 stupnjeva, kut C 56 stupnjeva. Nađi zbroj strana Δ abc. Rješenje: Najprije pronađite vrijednost kuta A, nasuprot strani BC. A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Sada uz sinusni teorem izračunamo duljinu stranice AC = 10,70: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Perimetar trokuta je P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (cm). Rezultat: P = 26,2 cm.
Izračunavanje opsega trokuta pomoću radijusa kružnice upisane u nju
Ponekad nije poznat niti jedan uvjet problema. Ali postoji vrijednost područje trokuta i polumjer kružnice upisane u nju. Ove vrijednosti su povezane: S = r p. Znajući vrijednost površine trokuta, radijusa r, možemo naći poluperimetar str. Nađi p = S: r. Zadatak: Parcela ima površinu od 24 m 2 , radijus r je 3 m. Nađite broj drveća koje treba ravnomjerno posaditi duž crte koja obuhvaća ovaj dio ako je između dva susjedna razmaka 2 metra. Rješenje: Suma strana ove brojke pronađena je na sljedeći način: P = 2, 24: 3 = 16 (m). Tada podijelite s dva. 16: 2 = 8. Ukupno: 8 stabala.
Zbroj strana trokuta u kartezijanskim koordinatama
Vertice ΔAVS imaju koordinate: A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ), C (x 3 ; y 3 ). Nađite kvadrate svake strane AB 2 = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ; AC 2 = (x 1 - x 3 ) 2 + (y 1 - y 3 ) 2 . Da biste pronašli perimetar, dovoljno je dodati sve segmente. Zadatak: Vertex koordinate AB ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Nađi zbroj strana ove brojke. Rješenje: stavljanjem vrijednosti odgovarajućih koordinata u perimetarsku formulu dobivamo P = √ (4 + 9) + √ (1 + 25) + √ (1 + 64) = +13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8,0 = 16,6. Imamo: P = 16.6. Ako brojka nije u ravnini, nego u prostoru, onda svaki od vrhova ima tri koordinate. Stoga će zbroj stranaka imati još jedan mandat.
Vektorska metoda
Ako je oblik dan koordinatama vrhova, perimetar se može izračunati pomoću vektorske metode. Vektor je segment koji ima smjer. Njegov modul (dužina) označen je simbolom. Udaljenost između točaka je dužina odgovarajućeg vektora ili modul vektora. Razmotrite trokut koji leži na ravnini. Ako vrhovi imaju koordinate A (x 1 ; y 1 ), M (x 2 ; y 2 ), T (x 3 ; y 3 ), duljina svake strane se nalazi po formulama: AM = √ ((x 1 - x 2) ) 2 + (y 1 - y 2 ) 2 ), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3 ) 2 + (y 2 - y 3 ) 2 ), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 ). Perimetar trokuta dobiva se dodavanjem duljina vektora. Slično tome, pronađite zbroj strana trokuta u prostoru.