Pronaći korijen jednadžbe? To je lako!

U matematici postoje različite jednadžbe. Uvijek ih treba riješiti, tj. Tražiti sve brojeve koji će ga učiniti istinskom jednakošću. Načini pronalaženja rješenja određeni su izvornim oblikom jednadžbe. Iz nje će ovisiti o broju pravih vrijednosti varijable, koje su označene kao korijen jednadžbe. Taj broj može varirati od nule do beskonačnosti.

Što se podrazumijeva pod jednadžbom i njezinim korijenom?

Iz naslova je jasno da izjednačava dvije vrijednosti koje se mogu prikazati numeričkim ili abecednim izrazima. Osim toga, sadrže još nepoznate količine. Najjednostavnija jednadžba ima samo jednu.

Postoji velik broj tipova jednadžbi, ali pojam korijena za njih je uvijek isti. Korijen jednadžbe je takva vrijednost nepoznatog broja na kojem jednadžba pretpostavlja istinsku jednakost. Postoje situacije kada postoji nekoliko takvih brojeva, a nepoznato se naziva varijablom.

Pronalaženje svih mogućih korijena jednadžbe je njegovo rješenje. To znači da morate izvesti niz matematičkih operacija koje ga pojednostavljuju. I onda voditi prema jednakosti, koja sadrži samo nepoznato i broj.

U algebri se pri rješavanju jednadžbi može doći do situacije da uopće neće biti korijena. Tada kažu da je nerješiv. I u odgovoru takve jednadžbe potrebno je zapisati da nema rješenja.

Ali ponekad se događa suprotno. To jest, vanjski korijeni pojavljuju se u procesu brojnih transformacija. Oni neće dati istinsku jednakost pri zamjeni. Stoga, brojeve uvijek treba provjeriti kako bi se izbjegla situacija s nepotrebnim korijenima u odgovoru. Inače se jednadžba neće smatrati riješenom.

O linearnoj jednadžbi

Ona se uvijek može pretvoriti u zapis sljedećeg oblika: a * x + v = 0. U njemu "a" je uvijek ne-nula. Da bismo razumjeli koliko korijena ima jednadžba, trebat će ga riješiti u općem obliku.

Transformacije algoritma:

• premjestiti pojam “u” na desnu stranu jednakosti, zamjenjujući njegov znak suprotnim;
• podijeliti obje strane rezultirajuće jednakosti s koeficijentom "a".

Opći pogled na rješenje je:

x = -in / a .

Iz toga je jasno da je odgovor jedan broj. To je samo jedan korijen.

Kvadratna jednadžba

Njegov opći oblik: a * x ² + b * x + c = 0 . Ovdje su koeficijenti bilo koji brojevi osim prvog, "a" koji ne može biti jednak nuli. Uostalom, automatski će postati linearan. Odgovor na pitanje koliko korijena ima jednadžba više nije tako jednostavan kao što je bio u prethodnom slučaju.

Sve će ovisiti o vrijednosti diskriminanta. Izračunava se pomoću formule D = u ² - 4 a * s . Nakon izračuna, "D" može biti više, manje ili jednako nuli. U prvom slučaju, korijeni jednadžbe će biti dva, u drugom će odgovor biti “bez korijena”, a treća će dati samo jednu nepoznatu vrijednost.

Formule koje se koriste za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe, a sadrže diskriminant

U općem slučaju, kada je "D" pozitivan broj, nije jednak nuli, morate koristiti sljedeću formulu:

x _1,2 = (-v ± )D) / (2 * a) .

Ovdje uvijek postoje dva odgovora. To je zbog činjenice da je izvorna formula znak plus / minus. Značajno mijenja vrijednost nepoznatog.

Kada je "D" jednako nuli, korijen jednadžbe je jedini broj. Samo zato kvadratni korijen od nule je nula. Dakle, dodavanje i oduzimanje morat će biti nula. Iz tog broja neće se promijeniti. Stoga se formula korijena jednadžbe može napisati bez spominjanja "D":

x = (-v) / (2 * a).

Ako je diskriminant negativan, nije moguće izvaditi kvadratni korijen iz njega. Stoga korijeni takve jednadžbe neće biti.

Napomena. To vrijedi za školski tečaj koji se ne uči. složenih brojeva. Kada se uđu, ispada da će u ovoj situaciji biti dva odgovora.

Formule za izračun korijena kvadratne jednadžbe koje ne koriste diskriminantne

Riječ je o teoremu Vieta. To vrijedi u slučaju kada je kvadratna jednadžba napisana u nešto drugačijoj formi:

x ² + c * x + c = 0.

Zatim korijensku formulu kvadratna jednadžba svodi se na rješavanje dvaju linearnih:

x ₁ + x ₂ = -in
i
x ₁ * x ₂ = s.

Riješeno je zbog činjenice da je izraz za jedan od korijena izveden iz prvog. Ova vrijednost mora biti zamijenjena drugom. Tako će se naći drugi korijen, a zatim prvi.

Ova opcija uvijek može doći iz općeg oblika kvadratne jednadžbe.

Dovoljno je podijeliti sve koeficijente na "a".

Što ako trebate znati najmanju vrijednost korijena?

Riješite jednadžbu i pronađite sve moguće brojeve koji su prikladni za odgovor. I onda odaberite najmanji. To će biti najmanji korijen jednadžbe.

Najčešće se takva pitanja nalaze u zadacima koji imaju stupanj veći od 2 ili sadrže trigonometrijske funkcije. Primjer kada trebate pronaći najmanji korijen je sljedeća jednakost:

2 x ⁵ + 2 x ⁴ - 3 x ³ - 3 x ² + x + 1 = 0.

Da bismo pronašli svaku vrijednost koja se može nazvati "korijen jednadžbe", ova se jednadžba treba transformirati. Prva akcija: grupirati članove u parovima: prvi s drugim i tako dalje. Zatim iz svakog para napravite zajednički faktor.

U svakoj zagradi ostaje (x + 1). Zajednički faktor u prvom paru bit će 2 x ⁴ , u drugom 3 x ² . Sada opet trebate napraviti nametanje zajedničkog faktora, koji će biti isti zagrada.

Nakon množitelja (x + 1) bit će (2 x ⁴ - 3 x ² + 1). Proizvod dva faktora jednak je nuli, samo ako jedan od njih uzima vrijednost jednaku nuli.

Prva zagrada je nula za x = -1. To će biti jedan od korijena jednadžbe.

Drugi će se dobiti iz jednadžbe koju oblikuje druga zagrada, jednako nuli. To je biquadratic. Da biste ga riješili, morate unijeti zapis: x ² = y. Tada će se jednadžba značajno promijeniti i poprimiti uobičajeni oblik kvadratne jednadžbe.

Njegov diskriminant je D = 1. Veći je od nule, što znači da će postojati dva korijena. Prvi je korijen jednak 1, drugi će biti 0,5. Ali to su vrijednosti za y.

Potrebno je vratiti unesenu oznaku. x _1.2 = ± 1, x _3.4 = ± .0.5. Svi korijeni jednadžbe: -1; 1; -√0,5; √0,5. Najmanji od njih je -1. To je odgovor.

Kao zaključak

Podsjetnik: sve jednadžbe treba provjeriti je li korijen prikladan. Možda je on stranac? Vrijedi provjeriti predloženi primjer.

Ako zamijenimo jedinicu u početno danoj jednadžbi umjesto "x", onda se ispostavi da je 0 = 0. Ovaj je korijen točan.

Ako je x = -1, rezultat je isti. Korijen je također prikladan.

Slično tome, kada su vrijednosti "x" jednake and0,5 i .50,5, istinska jednakost ponovno izlazi. Svi korijeni pristaju.

Ovaj primjer nije dao korijen. To nije uvijek slučaj. Vrlo je moguće da najmanja vrijednost ne bi bila prikladna za testiranje. Onda bih morao birati od ostalih.

Zaključak: potrebno je zapamtiti o čeku i pažljivo pristupiti rješenju.