Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta: osnovne formule

27. 6. 2019.

Područje jednakostraničnog trokuta možete pronaći koristeći bilo koju formulu za proizvoljnu figuru ovog tipa ili upotrijebite one koje već uzimaju u obzir osobitost ove figure, a matematički izrazi su značajno pojednostavljeni.

U prvom slučaju treba zamijeniti sve strane istom vrijednošću i uzeti u obzir da su svi kutovi trokuta 60º. Tada će biti potrebno provesti jednostavne transformacije, što će dovesti do toga da formule dane u gotovom obliku malo niže.

područje jednakostraničnog trokuta

Formula 1: poznata strana

U ovoj i sljedećim formulama usvojena je standardna oznaka za vrijednosti trokuta. Više detalja možete pronaći u predloženoj tablici.

vrijednost Njegova oznaka
sa strane i
područje S
visinu n
radijusi upisanih i opisanih krugova r i R

Izračun površine trokuta u ovom slučaju izvršit će se prema formuli:

S = /3 / 4 * a 2 .

Lako se dobiva iz onoga što je poznato za proizvoljnu figuru s tri strane. Samo u formuli morate uzeti u obzir činjenicu da su sve strane trokuta jednake.

Točnije, potrebna je formula Gerone: S = √ (p (pa) (pb) (pc)). Vrijednost polu-perimetra za jednakostraničan trokut bit će 3a / 2. Stoga se izraz ((3a / 2) - a) dobiva u svakoj zagradi ispod korijena. To će dati nakon pretvorbe a / 2.

Budući da postoje tri zagrade, ovaj izraz će imati treći stupanj. Dakle, bit će pretvoren u 3/8.

Potrebno ga je još pomnožiti polu-perimetrom, koji se definira kao zbroj strana podijeljenih s 2. Dobiva se izraz: 3a 4/16. Nakon ekstrakcije kvadratni korijen ostaje samo izraz koji je dan u prvoj formuli za područje jednakostraničnog trokuta.

izračun površine trokuta

Stoga nema potrebe pamtiti puno formula. Jednostavno se možete sjetiti jedne - Gerona. Iz nje, jednostavnim matematičkim preobrazbama, dobivaju se svi ostali, na primjer, za jednakostraničan trokut.

Formula 2: radijus upisane kružnice

Ovaj izraz je vrlo sličan prethodnom unosu. Ali još uvijek postoje značajne razlike: koristi se još jedno slovo, iracionalnost je prešla u nazivnik, pojavio se faktor 3 i broj 4 je nestao.

S = 3'3 * r2.

Ovu formulu također je lako dobiti od dane za proizvoljni trokut. U njemu se radijus množi sa zbrojem strana i dijeli s 4. Budući da strane imaju istu vrijednost, zbroj će biti zamijenjen s 3a. Sada morate ukloniti "a" da bi ostala samo vrijednost radijusa. To će zahtijevati izraz u kojem je strana podijeljena proizvodom 2 i sinusom suprotne strane kuta. Budući da je kut 60º, sinusna vrijednost će biti /3 / 2. Tada će se strana izraziti radijusom kako slijedi: a = R3R. Nakon jednostavne transformacije, možete doći do izraza za područje, koje je dano na početku.

Formula 3: opisani su kružni krug i njegov radijus

Vrlo je slična prvoj. Samo se u brojniku pojavljuje broj 3, a slovo se mijenja u R.

S = 3'3 / 4 * R2.

Budući da je radijus dva puta veći od onog razmatranog u prethodnom odlomku, jasno je kako ispada. Jednostavno zamjenjuje r sa r / 2. I potrebne transformacije se provode.

područje jednakostraničnog trokuta jednako je

Stoga se formula ne može zapamtiti. Samo imajte na umu omjer upisanog radijusa i opisan oko jednakostraničnog trokuta krugova.

Formula 4: poznata visina

U ovom slučaju, područje jednakostraničnog trokuta je:

S = n2 / .3.

Kako bi razumjeli kako se dobiva ova formula, bit će potrebno ponovno koristiti zajednički za sve trokute. Izgleda kao proizvod sa strane i visine za ½. Da bismo saznali područje jednakostraničnog trokuta, potrebno je podsjetiti ili izvesti matematički izraz za visinu.

Lako je naučiti ako iskoristite činjenicu da se visina formira pravokutni trokut. Dakle, visina se može naći kao noga - iz Pitagorina teorema. Druga noga bit će jednaka polovici stranice, budući da je visina također medijan (ovo je dobro poznato svojstvo jednakostraničnog trokuta). Tada će se visina odrediti kao kvadratni korijen razlike dvaju kvadrata. Prvi "a", a drugi "a / 2". Nakon erekcije u drugom stupnju i vađenja korijena ostaje: n = (/3 / 2) * a. Iz nje a = 2n / .3. Nakon što ga zamijenimo u osnovnu formulu za sve trokute, dobivamo izraz koji je označen na početku odjeljka.

Primjer br

Stanje. Izračunajte površinu jednakostraničnog trokuta, ako je poznato da je njegova strana 4 cm.

Odluka. Budući da je vrijednost strana slike poznata, potrebno je koristiti prvu formulu.

Prvo morate kvadrirati broj 4. Iz ove akcije dobivate broj 16. Sada se smanjuje s četiri stoje u nazivniku. I kao rezultat, 4 i remain3 ostaju u brojniku, a nazivnik postaje jednak jednom, što znači da se jednostavno ne može zabilježiti. To je rezultat koji je potreban da bi se pronašao u problemu.

Odgovor: 4,3 cm2.

područje jednakostraničnog trokuta

Primjer 2

Stanje. Sve strane jednakostraničnog trokuta jednake su 2√2 dm. Izračunajte njegovo područje.

Odluka. Argumenti su isti kao u prvom zadatku. Samo će kvadratić biti drugačiji. Mora se ugraditi zasebno drugi stupanj 2 i iracionalnost. A rezultat će biti sljedeći: 4 * 2 = 8. Nakon redukcije s nazivnikom, 2 i remain3 ostaju u brojniku frakcije, a nazivnik nestaje.

Odgovor: 2√3 dm 2 .

Primjer broj 3

Stanje. Krug je upisan u jednakostraničan trokut, njegov radijus je 2,5 cm. Potrebno je izračunati površinu trokuta.

Odluka. Da biste izračunali željenu vrijednost, morate upotrijebiti drugu formulu.

Prvo, vrijednost radijusa mora biti kvadratna. Ispada 6.25. Tada se ta vrijednost mora pomnožiti s 3. Rezultat ove akcije bit će broj 18.75. Ali to nije konačna vrijednost: ona će imati faktor ,3, koji je prisutan u korištenoj formuli.

Odgovor: 18.75√3 cm2.

područje jednakostraničnog trokuta

Primjer 4

Stanje. Potrebno je odrediti koja je površina jednakostraničnog trokuta jednaka ako je njegova visina poznata - 3 dm.

Odluka. Naravno, morate odabrati četvrtu formulu. Uz njegovu pomoć, najlakši način da pronađete odgovor na ovaj problem.

Dovoljno je samo zbrojiti broj 3, to jest visinu, koja će dati vrijednost 9. I onda je podijeliti s √3, stojeći u formuli.

Budući da u matematici nije uobičajeno ostaviti iracionalnost u nazivniku odgovora, morate ga se riješiti. Da bi se to postiglo, frakciju 9/3 treba pomnožiti s frakcijom s istim brojnikom i nazivnikom, odnosno √3 / .3. Iz ove akcije, u brojniku se pojavljuje vrijednost 9√3, a broj 3 se pojavljuje u nazivniku.

Ovaj dio može i treba biti smanjena za 3. To je krajnji rezultat.

Odgovor: površina je 3√3 dm 2 .

područje jednakostraničnog trokuta jednako je

Primjer broj 5

Stanje. Daje se jednakostraničan trokut s površinom od 27 cm2. Ovom vrijednošću morate znati duljinu stranice slike.

Odluka. Budući da se radi o strani, prva formula će učiniti. Iz nje odmah možete izvesti matematički izraz koji vam omogućuje da odredite stranu trokuta.

Da biste to učinili, područje se mora pomnožiti s 4 i podijeliti s kvadratnim korijenom od tri. Tako dobijete vrijednost za stranu na trgu. Da biste dobili samo stranu, morate izdvojiti korijen. Izraz za stranu će izgledati ovako: a = 2 * √ (S / )3).

Budući da je područje poznato, možete odmah nastaviti s izračunom. Radikalni izraz izgleda kao kvocijent 27 i .3. Trebate se riješiti iracionalnosti u nazivniku. Ispada da je 27√3, podijeljeno s 3. Nakon redukcije, 1 ostaje u nazivniku, koji ne možete pisati, a 9√3 ostaje u brojniku.

Sljedeći korak je izdvajanje korijena iz rezultirajućeg izraza. Prvi faktor daje vrijednost 3. No drugi, √3, zahtijeva pozornost. Da biste pojednostavili zadatak, možete izvaditi te korijene i zaokružiti vrijednosti.

3 = 1,73; sada izvadimo korijen iz njega i dobijemo 1.32.

Ostaje samo pomnožiti ga s 2 i dobiti željeni rezultat.

Odgovor: strana je jednaka 2,64 cm.