Perimetar kvadrata i pravokutnika. Metode određivanja i primjeri rješenja.

Često, na internetu, možete pronaći podsmijeh o tome kako znanje matematike - integrali, diferencijali, trigonometrijske funkcije i drugi dijelovi teme - ne pomažu olakšati život osobe. Takvi vicevi su uzaludni, jer kao što pomaže u ispravnom izračunu perimetra kvadrata, pravokutnika i drugih geometrijskih oblika u građevinskim radovima. Potrošnja materijala: pločice, tapete, podovi - ne može se odrediti bez razumijevanja osnovnih matematičkih formula i geometrijskih oblika.

Kvadratna svojstva

Svaki izračun u matematici temelji se na svojstvima objekta. Da bi odgovorili na pitanje: "Što je perimetar kvadrata?" - preporuča se podsjetiti na karakteristične osobine ove figure.

1. Jednakost svih strana.
2. Prisutnost četiri kuta od 90 stupnjeva.
3. Paralelnost stranaka.
4. Pivot simetrija. Kada se brojka okrene, njen izgled ostaje nepromijenjen.
5. Sposobnost opisivanja i ulaska u krug.
6. Dijagonale na raskrižju dijele se na pola.
7. Područje slike obilježava prostor ispunjen kvadratom u dvodimenzionalnom prostoru.
8. Perimetar figure nije ništa drugo do zbroj duljina njegovih strana.
9. Iz prethodnog svojstva slijedi da će mjerne jedinice perimetra biti jedinice duljine: m, cm, dm i druge.

Da biste prebrojali podne daske da biste dovršili popravke u kvadratnoj sobi, morate znati dužinu sobe. Da biste to učinili, izračunajte njegov perimetar.

perimetar

Prevedeno s grčke riječi znači "mjeriti okolo". Pojam se odnosi na sve zatvorene oblike: kvadrat, krug, pravokutnik, trokut, trapez i druge. Poznavanje definicije perimetra elementarnih brojki nužno je za rješavanje složenih geometrijskih problema s objektima nepravilnog oblika. Primjerice, za izračun postolja u prostoriji s rasporedom tipa "G", ili kako se također naziva "čizma", bit će potrebno odrediti opseg kvadrata i pravokutnika. Uostalom, oblik sobe sastoji se od tih elementarnih figura.

Standardna oznaka takve veličine je slovo R. Svaka figura, uzimajući u obzir njegova svojstva, ima svoju formulu za određivanje perimetra.

Svojstva pravokutnika

1. Jednakost suprotnih strana.
2. Jednakost dijagonala.
3. Sposobnost opisivanja kruga.
4. Visine pravokutnika jednake su njegovim stranama.
5. Zbroj kutova je 360 ​​stupnjeva, a svi kutovi su ispravni.
6. Paralelnost suprotnih strana.
7. Perpendikularnost susjednih strana.
8. Zbroj kvadrata dijagonala pravokutnika jednak je zbroju kvadrata njegovih strana.
9. Prekrižući se, dijagonale dijelimo na pola.
10. Nemogućnost postavljanja kruga u obliku.

Kvadrat perimetra

Ovisno o utvrđenim (poznatim) parametrima kvadrata postoje različite formule za određivanje njegovog perimetra. Jednostavan zadatak je izračunati perimetar na fiksnoj duljini njegove strane. U ovom slučaju, R = s + s + s + s ili 4 * s. Primjerice, duljina stranice kvadrata je 7 cm, a perimetar figure će biti 28 cm (4 * 7).

U prvom slučaju sve je jasno, ali kako pronaći perimetar trg, znajući njegovo područje? I ovdje je sve vrlo jasno. Budući da se površina figure određuje množenjem jedne strane s drugom, a sve strane su jednake na kvadratu, potrebno je izdvojiti korijen iz poznate vrijednosti. Primjer: postoji kvadrat s površinom od 25 dm ² . Korijen od 25 je 5 - ova vrijednost označava duljinu stranice kvadrata. Sada, zamjenjujući pronađenu vrijednost - 5 dm ² - originalnoj perimetričnoj formuli, možemo riješiti problem. Odgovor će biti vrijednost 20 dm. To jest, 4 pomnoženo s 5, dobilo je željenu vrijednost.

Kvadrat i krug

Iz svojstava razmatrane figure čini se da se krug može upisati u kvadrat i opisati oko figure.

Prva mogućnost je pronaći perimetar duž oboda kružnice. Upisan je kvadrat čiji su vrhovi na kružnici. Polumjer kruga je 1/2 dijagonalne duljine. Ispada da je promjer jednak dijagonali. Sada morate razmotriti pravokutni trokut koji je bio rezultat dijeljenja dijagonale trga. Rješenje problema svodi se na pronalaženje strana ovog trokuta. BC je poznata vrijednost, promjer kružnice. Pretpostavimo da je jednak 3 cm, Pitagorin teorem u slučaju jednakih strana trokuta će izgledati ovako: 2c ² = 3 ² . U formuli simbol s predstavlja duljinu stranice trokuta i kvadrata; 3 - poznata vrijednost hipotenuze. Dakle, c = /9 / 2. Znajući stranu kvadrata, njezin obim nije problem za izračun.

Karakteristika upisane kružnice je podjela strana kvadrata na pola. Stoga je radijus jednak polovici duljine stranice kvadrata. Zatim strana c = 2 * radijus. Perimetar kvadrata u ovom slučaju je 4 * 2 * radijusa ili 8 polumjera kruga.

Pravokutnik perimetra

Najosnovnija formula za određivanje opsega pravokutnika kroz poznate vrijednosti njegovih stranica je sljedeća: P = 2 (a + b), gdje su a i b duljine stranica figure.

Dijagonala pravokutnika, slična kvadratu, dijeli lik na pola, tvoreći pravokutni trokut. Međutim, zadatak je kompliciran činjenicom da su strane ovog trokuta neujednačene. U slučaju poznate vrijednosti jedne od strana i dijagonale, drugo se može pronaći slijedeći Pitagorin teorem: d ² = a ² + u ² , gdje su a i v strane figure, a d je dijagonala.

Ako nijedna strana nije nepoznata, tada dolazi do znanja o trigonometriji: sinusima, kosinusima i drugim funkcijama.

Pronalaženje perimetra duž opisne kružnice i poznatog promjera svodi se na činjenicu da je promjer jednak duljini dijagonale slike. Nadalje, rješenje problema određeno je prisutnošću poznatih količina. Ako se daju kutovi, onda kroz trigonometrijske funkcije. Ako je neka strana dana, odgovor će se naći kroz Pitagorin teorem.

Pravokutnik i trigonometrijske funkcije

Radi jasnoće, primjer rješavanja problema. S obzirom na: pravokutnik AVSD; duljina dijagonale ( d ) 20 cm; kut f - 30 °. Nađite obod slike.

Iz trigonometrije, treba se prisjetiti sljedećeg: sinus kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru suprotne noge i hipotenuze. Sinus od 30 ° (postoje tablice pomoću kojih se mogu odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija za ispravne kutove) je 1/2. Ispada 1/2 = omjer u d . Nepoznata vrijednost u će biti jednaka d / 2 = 20/2 = 10 cm.

Da biste izračunali opseg, trebali biste pronaći drugu stranu slike. To je moguće kroz Pitagorin teorem, budući da su duljine hipotenuze i jedne od nogu poznate, ili opet kroz omjer za kosinus kuta.

Kosinus kuta as izražava se kao omjer susjedne noge i hipotenuze i jednak je /3 / 2.

/3 / 2 = n / d , n = (d * )3) / 2 ili 10 * .3. Nakon vađenja korijena iz 3, dobivamo duljinu stranice trokuta: 10 * 1,73 = 17,3 cm.

Perimetar je 2 (17,3 + 10) = 2 * 27,3 = 54,6 cm.

Perimetar i odnos

U školskom programu postoje problemi u geometriji, kada se dužine stranica pravokutnika izražavaju njihovim međusobnim odnosom. Razmatranje rješenja ovog problema prikazano je u nastavku.

Poznato je da je zbroj duljina svih strana pravokutnika, odnosno njegovog perimetra, 84 cm, a odnos duljine (d) prema širini (w) je 3: 2. Nađite strane na slici.

Rješenje: neka je duljina 3x, a širina 2x, prema odnosu iz stanja problema. Formula perimetra pravokutnika s podacima duljina stranica bit će kako slijedi: 3x + 3x + 2x + 2x = 84. Nadalje, 10x = 84, x = 8,4 cm. Duljina će biti: 3 * 8,4 = 25,2 cm; širina: 2 x 8,4 = 16,8 cm.

Članak je posvećen rješavanju najčešćih zadataka iz školskog kurikuluma. I to nisu svi načini pronalaženja perimetra kvadrata i pravokutnika.