Volumen konusa, njegov izračun

Geometrija kao znanost nastala je u drevnom Egiptu i dosegla visok stupanj razvoja. Poznati filozof Platon utemeljio je Akademiju, gdje je velika pozornost posvećena sistematizaciji postojećeg znanja. Konus kao jedan od geometrijski oblici prvi put se spominje u poznatoj raspravi Euklida "Početak". Euclid je poznavao Platonova djela. Sada malo ljudi zna da riječ "stožac" u prijevodu s grčkog znači "šišarka". Grčki matematičar Euklid, koji je živio u Aleksandriji, smatra se utemeljiteljem geometrijske algebre. Stari Grci nisu samo postali nasljednici znanja Egipćana, već su i uvelike proširili teoriju.

Povijest definicije konusa

Geometrija kao znanost proizašla je iz praktičnih zahtjeva konstrukcije i promatranja prirode. Postupno se eksperimentalno znanje generaliziralo, a svojstva nekih tijela dokazala su se kroz druge. Stari Grci uveli su pojam aksioma i dokaza. Aksiom je izjava dobivena na praktičan način i ne zahtijeva dokaz.

U svojoj knjizi Euclid je naveo definiciju konusa kao lik koji se dobiva rotiranjem pravokutnog trokuta oko jedne od nogu. On također posjeduje glavni teorem koji određuje volumen konusa. I ovaj teorem dokazao je stari grčki matematičar Eudoxus Cnidus.

Drugi matematičar antičke Grčke, Apolonije iz Perga, koji je bio učenik Euklida, razvio je i izložio teoriju koničnih površina u svojim knjigama. On pripada definiciji konične površine i sekantiranoj prema njoj. Učenici našega dana proučavaju euklidsku geometriju, koja je od antičkih vremena sačuvala glavne teoreme i definicije.

Osnovne definicije

Ravni kružni konus se oblikuje rotiranjem pravog trokuta oko jedne noge. Kao što se može vidjeti, pojam kupe se nije promijenio od dana Euklida.

Hypotenusa AS pravokutni trokut AOS, kada se okreće oko nogu OS-a, oblikuje bočnu površinu stožca, stoga se naziva generatrix. Noga OS trokuta se istovremeno pretvara u visinu stožca i njegovu os. Točka S postaje vrh stošca. Catet AO, opisujući krug (bazu), pretvorio se u radijus konusa.

Ako je ravnina povučena od vrha kroz vrh i os konusa, tada možete vidjeti da je rezultirajući aksijalni presjek jednakokračan trokut, u kojem je os visina trokuta.

Također je često potrebno izračunati površinu bočne površine tijela okretanja. Područje bočne površine stošca je jednako produktu od pola duljine opsega baze i tvorbe konusa.

S = C * L / 2 = n * R * L / 2

gdje je C opseg baze, l je dužina generusa konusa, R je osnovni radijus.

Formula za izračunavanje volumena konusa

Sljedeća formula koristi se za izračunavanje volumena konusa:

V = S * H ​​/ 3,

gdje je S područje baze konusa. Kako je baza krug, njezina se površina izračunava na sljedeći način:

S = nR ² .

Slijedi:

V = n * R2 * H / 3,

gdje je V volumen konusa;

n je broj jednak 3.14;

R je osnovni radijus koji odgovara segmentu AO na slici 1;

H - visina jednaka segmentu OS.

Volumen skraćenog konusa

Postoji ravan kružni konus. Ako je ravnina okomita na visinu, odrezati gornji dio, dobivate krnje stožac. Dvije su osnove kružnog oblika s polumjerima R1 i R2.

R1 = A;

R2 = B;

H = H.

Ako je ravan konus oblikovan okretanjem pravokutnog trokuta, tada se krnji konus okreće. pravokutni trapez oko ravne strane.

Volumen krnjeg stošca izračunava se pomoću sljedeće formule:

V = n * (Ri2 + R2 + R1 * R2) * H / 3.

Konus i njegov dio po ravnini

Drevni grčki matematičar Peru Apolonije od Pergskog pripada teoretskom radu "Konusni odsjek". Zahvaljujući njegovu radu u geometriji pojavile su se definicije krivulja: parabole, elipse, hiperbole. Razmislite, i ovdje je stožac.

Uzmi ravno kružni konus. Ako ga ravnina presijeca okomito na os, tada se u presjeku formira krug. Kada sekant prelazi konus pod kutom prema osi, dobiva se elipsa u presjeku.

Sekantna ravnina okomita na bazu i paralelna s osi konusa tvori hiperbolu na površini. Ravnina koja reže konus pod kutom prema bazi i paralelna je s tangentom na stožac stvara krivulju na površini, koja se naziva parabola.

Rješavanje problema

Čak i jednostavni zadatak kako napraviti kantu određenog volumena zahtijeva znanje. Na primjer, morate izračunati veličinu žlice tako da ima volumen od 10 litara.

dati:

V = 10 1 = 10 dm3;

R1 = 15 cm;

R2 = 25 cm.

Zamah konusa ima oblik koji je shematski prikazan na slici 3.

L - oblikovanje konusa.

Otkriti površinu žlice koja se izračunava prema sljedećoj formuli:

S = n * (R1 + R2) * L,

potrebno je izračunati generator. Nalazimo ga iz volumena V = n * (R ₂ ² + R2 + R1 * R2) * H / 3.

Dakle, H = 3V / n * (R'2 + R2 + R1 * R2).

Krnji konus se oblikuje rotiranjem pravokutnog trapeza, u kojem bočna strana tvori konus.

L2 = (R2-R1) ² + H2.

Sada imamo sve podatke za izgradnju žlice za crtanje.

Zašto su vatrene kante oblikovane kao stožac?

Tko je pomislio, zašto vatrene kante imaju naizgled čudan konični oblik? I to nije samo. Pokazuje se da konusna posuda za gašenje požara ima mnoge prednosti u odnosu na konvencionalni, skraćeni konusni oblik.

Prvo, kako se ispostavlja, vatrogasna žlica se brže puni vodom i ne prosipa kada se nosi. Stožac koji je veći od obične kašike dopušta prijenos više vode.

Drugo, voda iz nje može biti izbačena iz veće udaljenosti od obične kašike.

Treće, ako se konusna posuda oslobodi ruku i padne u vatru, onda se sva voda izlije na izvor požara.

Svi ovi faktori mogu uštedjeti vrijeme - glavni čimbenik u gašenju požara.

Praktična primjena

Učenici često imaju pitanje zašto bi trebali naučiti kako izračunati volumen različitih geometrijskih tijela, uključujući i stožac.

I projektanti se stalno suočavaju s potrebom izračunavanja volumena koničnih dijelova dijelova mehanizama. To su vrhovi bušilica, dijelovi strojeva za struganje i glodanje. Stožasti oblik omogućit će bušilicama da lako uđu u materijal, bez potrebe za početnim lomljenjem specijalnim alatom.

Volumen stošca ima hrpu pijeska ili zemlje, izliven na tlo. Ako je potrebno, jednostavnim mjerenjima možete izračunati njegov volumen. Neki će biti zbunjeni pitanjem kako pronaći radijus i visinu hrpe pijeska. Naoružani mjernom trakom, izmjerite opseg brežuljka C. Prema formuli R = C / 2n, učimo radijus. Bacanjem konopca (vrpca) preko vrha, nalazimo duljinu generatora. I izračunati visinu Pitagorina teorema i volumen nije težak. Naravno, takav je izračun približan, ali vam omogućuje da odredite jeste li vas prevarili donoseći tonu pijeska umjesto kocke.

Neke zgrade imaju oblik krnjeg stošca. Primjerice, televizijski toranj Ostankino približava se stožastom obliku. Može se prikazati kao da se sastoje od dva čunja postavljena jedan na drugi. Kupole starih dvoraca i katedrala su stožac, čiji je obim drevnih arhitekata izračunat s nevjerojatnom točnošću.

Ako pažljivo pogledate okolne objekte, mnogi od njih su čunjići:

• limenke za zalijevanje tekućina;
• zvučnik sa sirenom;
• šupljine za parkiranje;
• abažur za svjetiljke;
• poznato božićno drvce;
• puhački instrumenti.

Kao što se može vidjeti iz gornjih primjera, sposobnost izračunavanja volumena konusa, površina njegove površine je neophodna u profesionalnom i svakodnevnom životu. Nadamo se da će vam članak pomoći.