Trapezoidno područje: formule i metode proračuna

Kako bi se pouzdano i uspješno riješili problemi u nastavi geometrije, nije dovoljno naučiti formule. Oni prvo moraju razumjeti. Bojati se, a još više mrziti formule, neproduktivno je. U ovom članku, dostupnim jezikom će se analizirati različiti načini pronalaženja područja trapeza. Za bolje ovladavanje relevantnim pravilima i teoremima, posvetit ćemo određenu pozornost njegovim svojstvima. To će vam pomoći da shvatite kako pravila funkcioniraju i u kojim slučajevima treba primijeniti ove ili one formule.

Odredite trapezoid

Što je ta brojka općenito? Trapez je poligon iz četiri ugla s dvije paralelne strane. Druge dvije strane trapeza mogu se nagnuti pod različitim kutovima. Njezine paralelne strane nazivaju se bazama, a za ne-paralelne strane koristi se naziv "strane" ili "bokovi". Takve su brojke uobičajene u svakodnevnom životu. Konture trapeza mogu se vidjeti u siluetama odjeće, interijera, namještaja, posuđa i mnogih drugih. Trapez može biti različitih vrsta: svestran, jednakostraničan i pravokutan. Više pojedinosti o njihovim vrstama i svojstvima će biti objašnjeno kasnije u članku.

Trapezna svojstva

Ukratko ćemo raspraviti o svojstvima ove brojke. Zbroj kutova susjednih s obje strane uvijek je 180 °. Treba napomenuti da svi kutovi trapeza iznose 360 ​​°. Trapez ima koncept srednje linije. Ako spojite središnje točke stranica s segmentom, to će biti srednja crta. Označen je kao m. Srednja crta ima važna svojstva: ona je uvijek paralelna s bazama (sjetimo se da su baze također paralelne jedna s drugom) i jednake njihovoj polovici:

m = (a + b) / 2.

Ova se definicija mora naučiti i razumjeti, jer je to ključ za rješavanje mnoštva problema!

U trapezu uvijek možete spustiti visinu na bazu. Visina je okomita, često označena simbolom h, koji se vuče iz bilo koje točke jedne baze u drugu bazu ili njezin nastavak. Srednja linija i visina pomoći će u pronalaženju područja trapeza. Takvi zadaci su najčešći u školskoj geometriji i redovito se pojavljuju među ispitnim i ispitnim radovima.

Najjednostavnije formule trapeznog područja

Razmotrimo dvije najpopularnije i jednostavne formule pomoću kojih možemo pronaći područje trapeza. Dovoljno je pomnožiti visinu s pola zbroja baza kako biste lako pronašli željenu:

S = h * (a + b) / 2.

U ovoj formuli, a, b označavaju bazu trapeza, h - visinu. Za praktičnost opažanja, u ovom članku znakovi množenja označeni su simbolom (*) u formulama, iako je u službenim referentnim knjigama znak množenja obično izostavljen.

Razmotrite primjer.

S obzirom na trapezoid s dvije podloge od 10 i 14 cm, visina je 7 cm, što je područje trapeza?

Analizirajmo rješenje ovog problema. Prema toj formuli, prvo trebate pronaći pola zbroja baza: (10 + 14) / 2 = 12. Dakle, polu-suma je 12 cm, a zatim pomnožimo pola suma po visini: 12 * 7 = 84. Potrebno je naći. Odgovor: površina trapeza je 84 kvadratna metra. cm.

Druga poznata formula kaže: područje trapeza jednako je proizvodu središnje linije i visini trapeza. To je, zapravo, iz prethodnog pojma srednje linije: S = m * h.

Korištenje dijagonala za izračune

Drugi način pronalaženja trapezoidnog područja zapravo nije toliko kompliciran. To je povezano s njegovim dijagonalama. Prema toj formuli, da bi se pronašlo područje, potrebno je umnožiti poluproizvod njegovih dijagonala (d ₁ d ₂ ) sinusom kuta između njih:

S = ½ d ₁ d ₂ sin a.

Razmotrite zadatak koji pokazuje primjenu ove metode. S obzirom na: trapezoid s duljinom dijagonala 8 i 13 cm, kut a između dijagonala je 30 °. Pronađite područje trapeza.

Odluka. Koristeći gornju formulu, lako je izračunati potrebnu. Kao što znate, grijeh 30 ° je 0.5. Dakle, S = 8 x 13 * 0.5 = 52. Odgovor: površina je 52 četvornih metara. cm.

Tražimo područje jednakostraničnog trapeza

Trapez može biti jednakostraničan. Njegove strane su iste, a uglovi u podnožju jednaki, što je dobro ilustrirano crtežom. Jednakostraničan trapez ima ista svojstva kao i običan, plus određeni broj posebnih. Krug se može opisati oko ekipolarnog trapeza, au njega se može upisati krug.

Koje su metode izračunavanja površine takvog broja? Sljedeća metoda zahtijeva velike izračune. Da biste ga koristili, morate znati vrijednosti sinusa (sin) i kosinusa (cos) kuta u podnožju trapeza. Da biste ih izračunali, potrebne su Bradisove tablice ili inženjerski kalkulator. Evo ove formule:

S = c * sin a * ( a - c * cos a ),

gdje je c lateralna bedra, a je kut na donjoj bazi.

Jednakostraničan trapez ima dijagonale iste duljine. Isto je tako i obratno: ako je dijagonalni trapez jednak, onda je to jednakost. Stoga je sljedeća formula koja pomaže pronaći područje trapeza poluproizvod kvadrata dijagonala na sinusu kuta između njih: S = ½ d ² sin a.

Pronađite područje pravokutnog trapeza

Poznati posebni slučaj pravokutni trapez. To je trapezoid, u kojem je jedna strana (bedro) susjedna bazama pod pravim kutom. Ima svojstva običnog trapeza. Osim toga, ima vrlo zanimljivu značajku. Razlika kvadrata dijagonala takvog trapeza jednaka je razlici kvadrata njezinih baza. Za to koriste sve prethodno opisane metode za izračunavanje površine.

Primijenite genijalnost

Postoji jedan trik koji može pomoći u slučaju zaboravljivosti određenih formula. Pažljivo razmislite što trapezoid. Ako ga mentalno podijelimo na dijelove, postat ćemo poznati i razumljivi geometrijski oblici: kvadrat ili pravokutnik i trokut (jedan ili dva). Ako su visina i strane trapeza poznate, možete koristiti formule područje trokuta i pravokutnik, zatim zbrojite sve dobivene vrijednosti.

To ilustriramo sljedećim primjerom. S obzirom na pravokutni trapezoid. Kut C = 45 °, kutovi A, D su 90 °. Gornja baza trapeza je 20 cm, visina 16 cm, a potrebno je izračunati površinu figure.

odluka

Ova brojka očito se sastoji od pravokutnika (ako su dva kuta 90 °) i trokuta. Budući da je trapez pravokutan, njegova visina je jednaka njegovoj strani, tj. 16 cm. Imamo pravokutnik sa stranama od 20 odnosno 16 cm. Razmotrimo sada trokut čiji je kut 45 °. Znamo da je jedna strana 16 cm, jer je ta strana istodobno visina trapeza (a znamo da visina pada podnožju pod pravim kutom), stoga je drugi kut trokuta 90 °. Stoga je preostali kut trokuta 45 °. Posljedica toga je da dobijemo pravokutni jednakokračan trokut, čije su dvije strane jednake. To znači da je druga strana trokuta jednaka visini, tj. 16 cm, ali ostaje izračunati površinu trokuta i pravokutnika i dodati dobivene vrijednosti.

područje pravokutni trokut jednaka polovici proizvoda njegovih nogu: S = (16 * 16) / 2 = 128. Površina pravokutnika jednaka je produktu njegove širine po duljini: S = 20 * 16 = 320. Pronašli smo potrebnu: površinu trapeznog S = 128 + 320 = 448 kvadrat. Možete jednostavno ponovno provjeriti koristeći gore navedene formule, odgovor će biti identičan.

Koristite formulu Pick

Konačno, predstavljamo još jednu originalnu formulu koja pomaže u pronalaženju područja trapeza. To se zove Pick formula. Pogodno je koristiti ga kada je trapez nacrtan na karirastom papiru. Slični zadaci često se nalaze u GIA materijalima. Izgleda ovako:

S = M / 2 + N - 1,

u ovoj formuli, M je broj čvorova, tj. sjecište crta figure s linijama ćelije na granicama trapeza (narančaste točke na slici), N je broj čvorova unutar slike (plave točke). Najpogodnije je koristiti ga za pronalaženje područja nepravilnog poligona. Međutim, što je veći broj korištenih metoda, manje je pogrešaka i boljih rezultata.

Naravno, dane informacije nisu iscrpljene vrstama i svojstvima trapeza, kao ni načinom traženja njegovog područja. Ovaj članak daje pregled njegovih najvažnijih karakteristika. U rješavanju geometrijskih problema važno je postupati postupno, početi s jednostavnim formulama i zadacima, dosljedno konsolidirati razumijevanje, premjestiti se na drugu razinu složenosti.

Sastavljanje najčešćih formula pomoći će učenicima da se orijentiraju na različite načine izračunavanja površine trapeza i bolje se pripreme za testove i testove na ovu temu.