Što je sinus i kosinus u trigonometriji?

Nastavnici vjeruju da bi svaki učenik trebao biti u stanju izvesti izračune, znati trigonometrijske formule, ali ne svaki učitelj objašnjava što su sinus i kosinus. Kakvo je njihovo značenje, gdje se koriste? Zašto govorimo o trokutima, au udžbeniku je nacrtan krug? Pokušajmo povezati sve činjenice zajedno.

Školski predmet

Proučavanje trigonometrije obično počinje u razredu 7-8. U ovom trenutku učenicima se govori što su sinus i kosinus, te predlažu rješavanje geometrijskih problema koristeći te funkcije. Kasnije se pojavljuju složenije formule i izrazi koji se moraju algebarski preoblikovati (formule dvostrukih i polu-kutova, funkcija moći), a rad se izvodi s trigonometrijskim krugom.

Međutim, nastavnici nisu uvijek u stanju jasno objasniti značenje korištenih pojmova i primjenjivosti formula. Stoga učenik često ne vidi smisao u ovoj temi, a zapamćene informacije brzo se zaboravljaju. Međutim, vrijedi jednom objasniti jednom srednjoškolcu, na primjer, povezanost između funkcije i oscilatornog gibanja, te logička veza će se pamtiti dugi niz godina, a šale o beskorisnosti subjekta bit će stvar prošlosti.

Upotreba

Pogledajmo radi radoznalosti u raznim dijelovima fizike. Želite li odrediti raspon projektila? Ili izračunati silu trenja između objekta i određene površine? Ljuljajući njihalo, gledajući zrake koje prolaze kroz staklo, izračunajte indukciju? Praktički u bilo kojoj formuli pojavljuju se trigonometrijski koncepti. Dakle, što je sinus i kosinus?

definirati

Sinus kuta je omjer suprotne noge i hipotenuze, kosinus susjedne noge je isti za istu hipotenuzu. Ne postoji ništa komplicirano. Možda su studenti obično zbunjeni vrijednostima koje vide u trigonometrijskoj tablici, jer se pojavljuju kvadratni korijeni. Da, izlazi iz njih decimalna nije vrlo zgodan, ali tko je rekao da svi brojevi u matematici bi trebao biti čak?

Zapravo, u problemskim knjigama trigonometrije možete pronaći smiješan savjet: većina odgovora ovdje su čak iu najgorem slučaju sadrže korijen od dva ili tri. Zaključak je jednostavan: ako u odgovoru dobijete frakciju s više priča, provjerite odluku o pogreškama u izračunima ili argumentima. I vjerojatno ćete ih naći.

Što trebate zapamtiti

Kao iu bilo kojoj znanosti, u trigonometriji postoje takvi podaci koji se moraju naučiti.

Prvo, zapamtite brojčane vrijednosti za sinus, kosinus pravokutni trokut 0 i 90, kao i 30, 45 i 60 stupnjeva. Ovi pokazatelji nalaze se u devet od deset školskih zadataka. Prebirući ove vrijednosti u udžbeniku, izgubit ćete puno vremena, a test ili ispit neće biti mjesta za gledanje.

Mora se imati na umu da vrijednost obje funkcije ne može biti veća od jedne. Ako negdje u izračunima dobijete vrijednost izvan raspona 0-1, zaustavite se i ponovno riješite problem.

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednak je jednom. Ako ste već pronašli neku od vrijednosti, pomoću ove formule pronađite preostale vrijednosti.

teorema

U osnovnoj trigonometriji postoje dva glavna teorema: sinus i kosinus.

Prvi kaže da je odnos svake strane trokuta prema sinusu suprotnog kuta isti. Drugi je da se kvadrat bilo koje strane može dobiti dodavanjem kvadrata preostale dvije strane i oduzimanjem njihovog dvostrukog proizvoda pomnoženog s kosinusom kuta između njih.

Dakle, ako u kosinusni teorem Zamijenimo vrijednost kuta od 90 stupnjeva, dobivamo ... Pitagorin teorem. Sada, ako želite izračunati površinu figure koja nije pravokutni trokut, više ne možete brinuti - dva razmatrana teorema značajno će pojednostaviti rješenje problema.

Ciljevi i ciljevi

Proučavanje trigonometrije bit će uvelike pojednostavljeno kada shvatite jednu jednostavnu činjenicu: sve akcije koje izvodite usmjerene su na postizanje samo jednog cilja. Bilo koji parametri trokuta mogu se naći ako znate minimalne informacije o tome - to može biti vrijednost jednog kuta i duljine dvije strane ili, na primjer, tri strane.

Da biste utvrdili sinus, kosinus, tangens bilo kojeg kuta ovih podataka je dovoljno, uz njihovu pomoć, možete lako izračunati područje slike. Gotovo uvijek jedna od navedenih vrijednosti potrebna je kao odgovor, a mogu se pronaći istim formulama.

Nedosljednosti u proučavanju trigonometrije

Jedno od opskurnih pitanja koje učenici preferiraju je izbjegavanje povezivanja različitih pojmova u trigonometriji. Čini se da se trokuti koriste za proučavanje sinusa i kosinusa uglova, ali iz nekog razloga, simboli se često nalaze na slici s krugom. Osim toga, postoji nerazumljiv valoviti grafikon koji se naziva sinusoid, koji nema vanjske sličnosti ni s krugom niti s trokutima.

Štoviše, kutovi se mjere u stupnjevima, zatim u radijanima, a broj Pi, napisan jednostavno kao 3.14 (bez jedinica), iz nekog se razloga pojavljuje u formulama koje odgovaraju 180 stupnjeva. Kako je sve to međusobno povezano?

Jedinice mjere

Zašto je pi točno 3,14? Sjećate li se koje je to vrijednosti? To je broj radijusa koji se uklapaju u polukružni luk. Ako je promjer kruga 2 centimetra, obujam bit će 3,14 * 2 ili 6,28.

Druga stvar: možda ste primijetili sličnost riječi "radian" i "radius". Činjenica je da je jedan radijan numerički jednak kutu između središta kruga i luka s duljinom jednog radijusa.

Sada ćemo kombinirati dobiveno znanje i razumjeti zašto je riječ "Pi u pola" napisana na osi koordinata u trigonometriji, a na lijevoj strani - "Pi". To je kutna vrijednost, mjerena u radijanima, jer je polukrug 180 stupnjeva ili 3,14 radijana. A gdje ima stupnjeva, postoje sinusi i kosinusi. Trokut se lako drži od željene točke, stavljajući segmente u središte i na os koordinata.

Pogledajte u budućnost

Trigonometrija, proučavana u školi, bavi se pravocrtnim koordinatnim sustavom, gdje, koliko god čudno zvučalo, ravna linija je ravna linija.

Ali postoje složeniji načini rada s prostorom: zbroj kutova trokuta ovdje će biti veći od 180 stupnjeva, a linija u našem pogledu će izgledati kao pravi luk.

Idemo od riječi do djela! Uzmi jabuku. Napravite tri rezove s nožem tako da kada gledate odozgo dobijete trokut. Izvadite nastali komad jabuke i pogledajte "rebra" gdje se kora završava. Oni uopće nisu izravni. Voće u vašim rukama može se zvati okruglo, a sada zamislite kako bi kompleksne formule trebale biti pomoću kojih možete pronaći područje izrezanog komada. No, neki stručnjaci svakodnevno rješavaju takve probleme.

Trigonometrijske funkcije u životu

Jeste li primijetili da najkraći put zrakoplova od točke A do točke B na površini našeg planeta ima izražen oblik luka? Razlog je jednostavan: Zemlja je u obliku kugle, što znači da ne možete mnogo izračunati uz pomoć trokuta - ovdje morate koristiti složenije formule.

Ne radite bez sinusa / kosinusa akutnog kuta u svim pitanjima vezanim uz prostor. Zanimljivo je da se ovdje susreće čitav niz čimbenika: trigonometrijske funkcije su potrebne pri izračunavanju gibanja planeta u krugovima, elipsama i različitim trajektorijama složenijih oblika; proces lansiranja raketa, satelita, shuttlova, odvajanja istražnih uređaja; promatranje udaljenih zvijezda i proučavanje galaksija koje čovjek ne može postići u doglednoj budućnosti.

Općenito, polje ljudske djelatnosti, koje posjeduje trigonometriju, vrlo je široko i, po svemu sudeći, samo će se vremenom širiti.

zaključak

Danas smo naučili ili, u svakom slučaju, ponovili što su sinus i kosinus. To su pojmovi koji se ne moraju bojati - trebali biste i želite razumjeti njihovo značenje. Zapamtite da trigonometrija nije cilj, već samo alat koji se može koristiti za zadovoljavanje stvarnih ljudskih potreba: graditi kuće, osigurati sigurnost prometa, čak i istraživati ​​otvorene prostore svemira.

Doista, sama znanost može izgledati dosadna, ali kad jednom nađete način da postignete vlastite ciljeve, samoostvarenje, proces učenja će postati zanimljiv, a vaša osobna motivacija će se povećati.

Kao domaća zadaća pokušajte pronaći načine za primjenu trigonometrijskih funkcija u području djelovanja koje vas osobno zanima. Zamislite, okrenite maštu i tada ćete sigurno otkriti da će vam nova znanja biti korisna u budućnosti. Osim toga, matematika je korisna za opći razvoj mišljenja.