Cobb-Douglasova proizvodna funkcija: primjeri rješenja

Proizvodnja je zapravo proces pretvaranja jednog proizvoda u drugi. U procesu koji iz ukupnosti jednostavnosti ispada nešto složenije u svojoj biti. Proizvodna funkcija Cobb-Douglas, kao i svaki drugi, odražava postojeći odnos između rezultata i kombinacije čimbenika koji su korišteni za njegovo postizanje. Razlike između različitih modela su u dubini njihove pokrivenosti stvarnom situacijom. Najjednostavnije je linearno, što odražava odnos između broja zaposlenih i stvarnog outputa. Cobb-Douglasov proizvodni model ne smatra samo rad kao resurs za dobivanje rezultata, nego i kapital. Najsloženiji su moderni modeli s više faktora. Oni uključuju zemlju, poduzetničke vještine, pa čak i informacije.

Proizvodnja kao proces

Proizvodnja u svojoj biti je transformacija raznih materijalnih i nematerijalnih ulaganja (planovi, know-how) za stvaranje predmeta namijenjenih potrošnji. To je proces stvaranja proizvoda ili usluge koji je koristan za pojedince. Rast proizvodnje znači poboljšanu ekonomsku dobrobit. To je zbog činjenice da se svi proizvodi izravno ili neizravno koriste za zadovoljavanje ljudskih potreba. A potonji su, kao što znate, beskrajni. Stoga se ekonomska dobrobit države često ocjenjuje stupnjem zadovoljenja potreba svojih građana. Njegovo povećanje pripisuje se dvaju čimbenika: poboljšanju omjera kvalitete i cijene dostupnih proizvoda i povećanju kupovne moći ljudi kroz učinkovitiju tržišnu proizvodnju.

Izvor ekonomske dobrobiti

Uglavnom u gospodarstvu postoje samo dva procesa: proizvodnja i potrošnja. I iste vrste glumaca. Proizvođači proizvode kako bi zadovoljili potrebe potrošača. Stoga se ekonomska dobrobit sastoji od dvije komponente. Prva je učinkovita proizvodnja, druga je interakcija između čimbenika. Dobrobit potrošača ovisi o proizvodima koje oni mogu priuštiti, a proizvođačima - o prihodima koje primaju kao naknadu za svoj rad te materijalnim i financijskim sredstvima uloženim u proizvodni proces. nematerijalna imovina.

Proces stvaranja proizvoda

Svaka tvrtka u svom radu bavi se različitim pojedinačnim akcijama. Međutim, radi lakšeg razumijevanja proizvodnje, uobičajeno je izdvojiti pet glavnih procesa, od kojih svaki ima svoju logiku, ciljeve, teoriju i ključne brojke. I važno ih je proučavati ne samo kao cjelinu, već i odvojeno. Stoga se tijekom proizvodnje razlikuju sljedeći postupci:

• Stvaran.
• Proces raspodjele dohotka.
• Proizvodnja.
• Monetarna.
• Proces određivanja tržišne vrijednosti.

Ekonomska definicija

Proizvodna funkcija je odnos između izdavanja i kombinacije čimbenika koji se koriste za njegovu provedbu. Glavni je rad. Jednostavan linearni model to samo razmatra. Proizvodna funkcija Cobb-Douglasa, čiji će primjer biti objašnjen u nastavku, uzima u obzir ne samo rad, već i kapital kao faktor u proizvodnom procesu. Drugi modeli dodatno uzimaju u obzir zemljište (P) i poduzetničke sposobnosti (H). Dakle, proizvodnja je funkcija kombinacije ovih pokazatelja ili Q = f (K, L, P, H). Svaka grana gospodarstva ili čak zasebno poduzeće ima svoje karakteristike. Stoga se proizvodne funkcije mogu pojaviti s beskonačnim brojem.

Jednostavni linearni model

Cobb-Douglasova proizvodna funkcija uzima u obzir dva čimbenika, kao što je uobičajeno u neoklasičnim teorijama. Međutim, mnogo je lakše razmotriti samo jedan. Teorija apsolutnih prednosti Adama Smitha, s kojim je cijelo moderno gospodarstvo zapravo počelo, temeljila se samo na radu kao faktoru proizvodnje. Nemojte pobjeći od te pretpostavke i David Ricardo. I tek su šezdesetih godina prošlog stoljeća švedski ekonomisti Eli Heckscher i Bertil Olin bili slobodni početi razmatrati još jedan faktor - kapital. Najjednostavniji model proizvodnje je linearan. Opisuje odnos između količine rada i outputa. Njezina jednadžba uključuje samo jednu neovisnu varijablu. Dakle, linearna proizvodna funkcija ima sljedeći oblik: Q = a * L, gdje je Q volumen izlaza, a je parametar, L je broj radnika zaposlenih u proizvodnji. Razmotrite poseban primjer. Jedan radnik može napraviti 10 stolica dnevno. U ovom slučaju, jednadžba će imati sljedeći oblik: Q = 10 * L.

Zakon o smanjenju opterećenja

Nastavite razmatrati gornji primjer. Linearna funkcija podrazumijeva da povećanje broja radnika uvijek dovodi do povećanja proizvodnje. Jedan majstor može napraviti 10 stolica dnevno, pet - 50, sto - 1000. Međutim, u stvarnosti je sve malo složenije. U takvim modelima treba uzeti u obzir fondove fiksnog kapitala i smanjenje povrata. Stoga se u jednadžbi pojavljuje dodatni parametar b. Nalazi se između nule i jednog, što proizlazi iz njegove ekonomske suštine. Sada se odnos između obujma proizvodnje i broja zaposlenih može opisati na sljedeći način: Q = a * L ^b . Jednadžba iz prethodnog primjera u stvarnosti će izgledati ovako: Q = 10 * L ^0.5 . A to znači da jedan radnik proizvodi 10 stolica, a pet nije 50, već samo 22. Stotinu obrtnika zapravo može napraviti ne tisuću proizvoda, već samo stotinu. I to je zakon smanjenja povrata u akciji.

Multifaktorijski modeli

Cobb-Douglasova proizvodna funkcija je: Q = a * L ^b * K ^c . Kao što se može vidjeti iz formule, već se bavimo trima parametrima (a, b, c) i dva faktora (L, K). Ona uzima u obzir ne samo to radne snage (broj zaposlenika), ali i kapital (broj pila na raspolaganju). Parametri Cobb-Douglasove proizvodne funkcije ne ovise samo o gospodarskom sektoru, već io tehnologiji koja se koristi u pojedinom poduzeću. Ne smijemo zaboraviti djelovanje zakona smanjivanja povrata od bilo kojeg korištenog faktora. Naša jednadžba iz gore navedenog primjera može se proširiti na sljedeći način: Q = 10 * L ^0.5 * K. Proizvodna funkcija Cobb-Douglasa najčešće se koristi u modernim neoklasičnim teorijama zbog svoje relativne jednostavnosti i blizine stvarnosti. Složeniji modeli tek se počinju širiti.

Fiksni omjeri

Pretpostavimo da je jedini način da se proizvede stolica da se svakom radniku da pila. Dodatni alati u ovom slučaju su jednostavno beskorisni. To znači da oslobađanje proizvoda podrazumijeva određeni omjer kapitalnih i radnih resursa. U ovom slučaju, obujam proizvodnje određen je "slabom vezom". U ovom slučaju, ekonomisti su izmislili posebnu funkciju. Ona ima sljedeći oblik: min {L, K}. Ako za izradu stolice trebate dva radnika i jednu pilu, onda min {2L, K}.

Idealne zamjene

Ako se jedan faktor može zamijeniti drugim, to će utjecati na izgled proizvodne funkcije. Na primjer, pretpostavimo da se roboti mogu koristiti umjesto stolara. Formula iz primjera će izgledati ovako: Q = 10 * L + 10 * R. Ili općenito: Q = a * L + d * R, gdje su a, d parametri, a L i R su broj stolara i robota. Ako su strojevi 10 puta brži od radnika, formula će izgledati ovako: Q = 10 * L + 100 * R.

Cobb-Douglasova proizvodna funkcija: svojstva

Započet ćemo razmatranje najpopularnijeg neoklasičnog modela s njegovim glavnim značajkama:

1. Proizvodne funkcije Cobb-Douglasa uzima u obzir dva čimbenika: rad i kapital.

2. Pozitivno smanjenje graničnog proizvoda.

3. Trajna elastičnost oslobađanja, jednaka b za L i c za K.

4. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija ima oblik: Q = a * L ^b * K ^c .

5. Stalni učinak ljestvice jednak zbroju b i c.

Povijesni podaci

Osnova svake ekonomske teorije su faktori proizvodnje. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija razmatra dva od četiri glavna: rad i kapital. Danas, za svaku tvrtku, možete smisliti pojedinačne primjere. Odluka o proizvodnim funkcijama Cobb-Douglasa nije se dogodila bez rada Knata Vixella (1851-1926). On je prvi konstruirao ovaj model. Charles Cobb i Paul Douglas, čija su imena kasnije nazvali, samo su je testirali u praksi. Godine 1928. objavljena je njihova knjiga koja opisuje američki gospodarski rast u razdoblju od 1899. do 1922. godine. Znanstvenici su to objasnili uz pomoć dva faktora: korištenih resursa radne snage i uloženog kapitala. Naravno, na ekonomski rast utječu i mnogi drugi parametri, ali statistika je dokazala da su to dvije odlučujuće koje je Knatne Wicksell izdvojila.

Prema Paulu Douglasu, prva formulacija funkcije pojavila se 1927. godine. U to je vrijeme pokušao izvesti matematički izraz povezanosti između radnika i kapitala. Okrenuo se svom kolegi Charlesu Cobbu. Potonji je uspio izvesti suvremenu jednadžbu, koja se, kako se ispostavilo, koristila za korištenje Knuta Wicksella u njegovim djelima. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, znanstvenici su mogli prikazati radnu eksponentu (0,75). Njegovu vrijednost potvrdio je Nacionalni zavod za ekonomska istraživanja. U četrdesetim godinama prošlog stoljeća znanstvenici su se odmaknuli od konstanti i izjavili da se eksponenti mogu mijenjati tijekom vremena.

Pretpostavke modela

Ako je rezultat izveden iz dva faktora (rad i kapital), tada će elastičnost cijele funkcije ovisiti o graničnoj produktivnosti svake od njih. Tako su Cobb i Douglas izgradili svoj model na temelju sljedećih pretpostavki:

• Proizvodnja se ne može nastaviti u odsutnosti jednog od čimbenika. Rad i kapital nisu zamjene koje se mogu zamijeniti u procesu oslobađanja. Dodatne pile ne mogu stvoriti stolice bez sudjelovanja stolara.
• Granična produktivnost svakog od faktora proporcionalna je volumenu proizvodnje po jedinici.

Otpustite elastičnost

Očito, smanjenje količine upotrijebljenih materijala dovodi do smanjenja količine proizvoda. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija bavi se marginalnim otpuštanjem. Elastičnost u ekonomiji je postotna promjena vrijednosti jednog pokazatelja kao odgovor na smanjenje ili povećanje drugog pokazatelja povezanog s njim. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija podrazumijeva da su b i c konstante. Ako je b 0,2, a broj radnika će se povećati za 10%, tada će se proizvodnja povećati za 2%.

Efekt skale

Za realno povećanje proizvodnje, volumen faktora proizvodnje koji se koriste mora se proporcionalno povećati. Ako je to slučaj, onda kažemo da ga koristimo učinak razmjera. Cobb-Douglasova proizvodna funkcija, čija su svojstva već razmatrana, uzima u obzir. Ako je b + c = 1, to znači da se radi o konstantnom efektu skale,> 1 - povećanju, <1 - opadajućem.

Faktor vremena

Cobb-Douglasov model proizvodne funkcije često se koristi za opisivanje srednjoročnog do dugoročnog razdoblja. Očito je često lakše zaposliti nove ljude nego povećati količinu kapitalnih sredstava. Stoga neki ekonomisti tvrde da je jednostavan linearni model najprikladniji za opisivanje kratkih vremenskih razdoblja poduzeća. Tvrtka posjeduje određenu veličinu prostorije, ograničen broj strojeva, što se može promijeniti samo kroz dugoročno planiranje. Vrijeme koje je potrebno za to može varirati od jednog poduzeća do drugog, kao i elastičnost Cobb-Douglasove proizvodne funkcije.

Problemi s aplikacijom

Unatoč činjenici da je dvofaktorska proizvodna funkcija postala široko rasprostranjena i koju su statistički testirali Cobb i Douglas, neki ekonomisti još uvijek sumnjaju u njegovu točnost u različitim industrijama i vremenskim razdobljima. Glavna pretpostavka ovog modela je postojanost elastičnosti rada i kapitala u razvijenim zemljama. No, je li to doista slučaj? Ni Cobb ni Douglas nisu pružili teorijsku podlogu za njegovo postojanje. Stalnost koeficijenata b i c uvelike pojednostavljuje izračune, a to je sve. Istodobno, znanstvenici nisu ništa razumjeli o inženjerstvu, tehnologiji i upravljanju proizvodnim procesom. Osim toga, mogućnost njezine uporabe na mikrorazini ne ukazuje na njegovu ispravnost u makroekonomskim uvjetima, i obrnuto.

Kritika je slijedila produkcijsku funkciju Cobb-Douglasa od njenog začetka 1928. godine. Isprva je bilo tako frustrirajuće za znanstvenike da su htjeli prestati raditi na tome. Ali onda su odlučili nastaviti. Godine 1947. Douglas je došao do novih potvrda svoje ispravnosti kao predsjednika Američke ekonomske udruge. Znanstvenik nije mogao nastaviti raditi na tome zbog zdravstvenih problema. U budućnosti, produkciju su poboljšali Paul Samuelson i Robert Solow, zauvijek mijenjajući ideje o proučavanju makroekonomije.

Danas je Cobb-Douglasova proizvodna funkcija jedan od najvažnijih pojmova. Opisuje odnos između ugniježđenih čimbenika i rezultata. Za razliku od jednostavnih linearnih modela, koji su pogodni samo za opisivanje kratkog razdoblja života tvrtke, mogu se koristiti za dugoročno planiranje. Međutim, ne treba zaboraviti niz pretpostavki i problema s kojima su njegove aplikacije povezane.