Diferencijalna homogena jednadžba: značajke i rješenja

Analizirajmo jednu od važnih klasa diferencijalnih jednadžbi koje se rješavaju reduciranjem na metodu odvajanja varijabli supstitucijom - homogenim jednadžbama. Mi ćemo se dotaknuti metoda rješavanja. linearne jednadžbe koji se često brkaju s homogenim.

Homogene jednadžbe

Za početak, dajemo definiciju. F je homogena ako je istina da je f (kx, ky) = f (x, y), gdje je k bilo koje različito od nule. Primjeri homogene funkcije:

Da bi potvrdili njihovu homogenost, dovoljno je argumente funkcije F ili A pomnožiti s faktorom i vidjeti smanjuje li se.

Zamjena e (t) = f (1, t)

Iznad je bilo rečeno da se diferencijalne jednadžbe s homogenim funkcijama zamjenjuju na one koje se mogu odvojiti. Da bismo to objasnili, razmotrimo lemu.

Lema 1. Ako je w homogena funkcija prvog stupnja s argumentima x i y, tada je identitet w (x, y) = e (y / x) istinit, a e (t) = f (1, t).

Ova se lema dokazuje na trivijalan način: za to jednostavno trebamo postaviti k = 1 / x za sve nule x.

Primjena zamjene na rješenje y '= f (x, y)

Pretpostavimo da imamo y '= f, gdje je f homogena funkcija. Za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe na temelju Leme 1 možemo predstaviti y '= e (y / x). Jednadžba je rješiva ​​razdvajanjem varijabli. Neka je y / x = v željena funkcija. Dakle y = xv i y '= v + xv'. Dobivamo jednadžbu oblika v + xv '= e (v) ili xv' = e (v) - v.

Razmotrite to detaljnije. U ovom slučaju, rješenja jednadžbe su sve vrijednosti v = v _n - točke na kojima funkcija [e (v) - v] nestaje. Prema tome, vrijednosti y _n = v _n x - su rješenje y '= e (y / x). U području vrijednosti gdje [e (v) - v] ne nestaje, može se primijeniti razdvajanje varijabli. To je:

Integracijom dobivamo rješenje E = ln | x | + C.

bilješka

Razmotrite zašto gornja zamjena djeluje pri rješavanju homogenih diferencijalnih jednadžbi. Da biste to učinili, uzmite opće rješenje E = ln | x | + C i zamijenite x sa kx i y s ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. S druge strane, izraz ln (k) + C može se predstaviti kao W, a zatim će rješenje izgledati kao E = ln | x | + W.

Ispada da zamjena x s kx i y s ky dovodi samo do zamjene jednog rješenja s drugim, ali iz iste klase. Drugim riječima, drugo rješenje također zadovoljava izvornu jednadžbu. Opisano svojstvo na koordinatnoj ravnini naziva se homothety, to jest, integralne krivulje homogenih diferencijalnih jednadžbi pretvaraju se jedna u drugu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu l ² + ml + m ² l '+ m ² = 0. Nađemo njezino rješenje. Neiskusno oko može žurno zaključiti da ova jednadžba nije homogena, jer zamjena km umjesto m i kn umjesto n ne daje izvornu jednadžbu. Pogreška u ovom slučaju je da jednadžba nije prethodno riješena u odnosu na derivat n '. Učinimo to.

U ovom obliku lako je odrediti da je jednadžba homogena.

Nastavljamo s rješenjem zamjenom l / m = v. Dobivamo l = vm i l '= mv' + v. Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbi:

Dobivamo mv '= - (v + 1) ² . Očigledno, točka -1 je 'nj rješenje jednadžbe, a prije zamjene n = -m. Kada v + 1 nije jednak nuli, podijelite varijable:

Iz dobivene jednadžbe u diferencijalnom obliku lako se pronalazi zajednički integral:

Izvršit ćemo zamjenu za povrat:

Također ne smijete zaboraviti prethodno pronađeno rješenje n = -m.

Linearne diferencijalne jednadžbe

Često se homogene diferencijalne jednadžbe miješaju s linearnim. Radi cjelovitosti, razmotrimo malo i ovu klasu. Dakle, diferencijalna jednadžba naziva se linearna, u kojoj su funkcija i njezin derivat raspoređeni u linearnom odnosu, odnosno dobivamo jednadžbu koja ima sljedeći oblik:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - predstavljaju sve funkcije.

Da bismo riješili ovu jednadžbu za y ', potrebno je uzeti u obzir sve korijene o (x). Pretpostavimo da za neki broj o (x ₀ ) = 0, onda je jedno od rješenja opisane jednadžbe x ₀ , jer dobivamo o (x ₀ ) dy = 0 i dx = 0. To postaje očito ako zapišemo diferencijalni oblik jednadžbe množenjem obiju strana s dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Uklanjanjem nultih vrijednosti o (x), za preostale vrijednosti x, napišite jednadžbu u razriješenom obliku, dijeleći je na o (x).

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi

U ovoj klasi jednadžbi postoje dvije opcije. Prvi je kada je slobodni pojam p (x) jednak nuli (homogeni), a drugi je kada je p (x) ne-nula (nehomogena). Dakle, imamo sljedeća dva slučaja:

• y '+ r (x) y = 0 je homogena jednadžba.
• y '+ r (x) y = p (x) je nehomogena jednadžba.

Homogeni se lako reducira na podijeljeni oblik y '/ y = -r (x) ili dy / y = -r (x) dx. Nakon integracije dobivamo opće rješenje za homogene jednadžbe: y = Ce ^{–r (x)} .

U općem slučaju, linearna jednadžba (nehomogena) rješava se u nekoliko faza:

1. Prvo, odgovarajuća je jednadžba jednolično riješena: p (x) je konvencionalno izjednačena s 0. Pretpostavimo da je u željeno rješenje, tj. Imamo u '+ r (x) u = 0. Zapamtite taj identitet.
2. U nehomogenoj jednadžbi unosimo zamjenu y = uv, zatim (uv) '+ (uv) r (x) = p (x). Nakon nekih transformacija imamo v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). Pozivajući se na identitet iz točke 1, dobivamo v'u = p (x). U ovom slučaju, primitiv se lako može pronaći iz v '= p / u.
3. Kao rezultat toga, nehomogeno rješenje sastoji se od dva dijela: u (C + V), u kojima je u homogena otopina s nultom konstantom, a V je primitivan za p / u omjer.

Još jedna konfuzija homogenih jednadžbi javlja se kada se razmatraju homogeni sustavi jednadžbi. Međutim, ovo je drugo pitanje čije razmatranje je izvan dosega ovog članka.

primjeri

S obzirom na problem. Trebate pronaći rješenje.

Očito je da je ova jednadžba neujednačena, pa prvo rješavamo sljedeću jednadžbu:

Valja napomenuti da je jedno od rješenja jednadžbe y = 0. Pronalaženje općeg rješenja događa se kroz diferencijalni oblik, koji vam omogućuje da koristite odvajanje varijabli:

Integracija dovodi do rješenja: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Predstavljajući A kao ln B, možete napisati rješenje elegantnije:

Rješenje nehomogene jednadžbe moguće je izvesti u drugom, na sličan način, što se naziva metodom varijacije konstante ili Lagrangeovom metodom. Teoretski ga opisujemo.

U diferencijalnoj jednadžbi oblika r (x) y + y '= p (x) mijenjamo y = c (x) e- ^{R (x)} , pri čemu je R (x) primitivni r (x), a sa (x) - određuje se nepoznata funkcija.

Nakon svih transformacija, ispada da je c '(x) = e ^{R (x)} f (x). Odatle se (x) lako integrira. Zamjenjujući c (x) natrag u y = c (x) e- ^{R (x)} , dobivamo y = e- ^{R (x)} c (x) + De- ^{R (x)} - opće rješenje jednadžbe, gdje je D konstanta , što se događa kada je c (x) integriran.

Koristeći Lagrangeovu metodu za naš problem, postavljamo:

Zamjenjujući ovu promjenu izvornom jednadžbom, nalazimo da je c (t) = (1/2) t ² . Pišemo rješenje nehomogene jednadžbe:

Razmotrite još jedan primjer. Nađite rješenja (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Imajte na umu da je y = 0 jedno od rješenja jednadžbe. Koristeći tu činjenicu, sve dijelove jednadžbe možemo podijeliti s izrazom y ² dy. Nakon provedenih transformacija dobivamo:

Treba napomenuti da smo, čini se, razvili ovisnost. Zašto ne? X i y funkcije su jednake i ovise jedna o drugoj. Sada ne rješavamo funkciju y (x), već x (y), a x ' _y nije ništa drugo nego derivat funkcije x (y) u odnosu na varijablu y. Ili dx / dy. U ovom obliku lako je odrediti da se radi o nehomogenoj jednadžbi, pa ćemo riješiti ovu homogenu jednadžbu ovako:

Dobivamo x = Cy ² e ^{1 / y} . Ostaje samo pronaći rješenje izvorne jednadžbe varijacijskom metodom, postavljajući x = y ² c (y) e ^{1 / y} . Nakon zamjene ove supstitucije u jednadžbi, imamo:

Odakle izračunamo da je c (y) = e ^{-1 / y} + D. Rješenje problema će biti kako slijedi:

y = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Razmotrili smo načine rješavanja linearnih homogenih jednadžbi.