Kako izračunati volumen različitih geometrijskih tijela?

Tijekom stereometrije jedno od glavnih pitanja je kako izračunati volumen određenog geometrijskog tijela. Sve počinje jednostavnim paralelopipedom i završava se loptom.

U životu, također, često moraju rješavati slične probleme. Na primjer, za izračunavanje količine vode koja se stavlja u kantu ili bačvu.

Svojstva poštena prema volumenu svakog tijela

1. Ova vrijednost je uvijek pozitivan broj.
2. Ako se tijelo može podijeliti na dijelove tako da nema sjecišta, tada je ukupni volumen jednak zbroju volumena dijelova.
3. Jednaka tijela imaju isti volumen.
4. Ako se manje tijelo potpuno uklopi u veći, tada je volumen prvog manji od drugog.

Opće oznake za sva tijela

U svakoj od njih nalaze se rubovi i podnožja u kojima se grade visine. Stoga su takvi elementi za njih jednako označeni. Tako se pišu u formulama. Kako izračunati volumen svakog tijela - naučit ćemo dalje i primijeniti nove vještine u praksi.

Neke formule imaju i druge vrijednosti. O njihovom imenovanju raspravljat će se kada se pojavi takva potreba.

Prizma, paralelopiped (ravna i kosa) i kocka

Ta su tijela kombinirana jer izgledaju vrlo slično, a formule za izračunavanje volumena su identične:

V = S ₀ * h.

Samo će se S0 razlikovati. U slučaju paralelepipeda, izračunava se kao za pravokutnik ili kvadrat. U prizmi, baza može biti trokut, paralelogram, proizvoljni četverokut ili drugi poligon.

Za kocku je formula znatno pojednostavljena, jer su sve njene dimenzije jednake:

V = a ³ .

Piramida, tetraedar, krnja piramida

Za prvo od ovih tijela postoji takva formula za izračunavanje volumena:

V = 1/3 * S ₀ * n.

Tetraedar je poseban slučaj trokutaste piramide. Svi rubovi su jednaki. Stoga opet dobivamo pojednostavljenu formulu:

V = (a3 * )2) / 12, ili V = ^_1/3 S0 h

Skraćena piramida postaje kad je njen gornji dio odrezan. Stoga je njegov volumen jednak razlici između dvije piramide: one koja bi bila netaknuta i udaljenog vrha. Ako je moguće saznati obje baze takve piramide (S ₁ je veća i S ₂ je manja), onda je prikladno koristiti ovu formulu za izračunavanje volumena:

V = 1/3 * h * (S1 + √ (S1S2) + S2).

Cilindar, konus i krnji stožac

Ako želite izračunati volumen spremnika Možete koristiti formulu koja je specificirana za prizmu. Ponekad je prikladno pisati u ovom obliku:

V = π * r ² * h.

Situacija s konusom nešto je složenija. Za njega postoji formula:

V = 1/3 π * r ² * h. Vrlo je slična onoj za cilindar, samo se vrijednost smanjuje tri puta.

Kao i kod skraćene piramide, situacija nije jednostavna s konusom koji ima dvije baze. Formula za izračunavanje volumena krnjeg stošca je sljedeća:

V = 1/3 π * h * (r ₁ ² + r ₁ r ₂ + r ₂ ² ). Ovdje je r ₁ polumjer donje baze, r2 je gornji (manji).

Ball, segmenti lopte i sektor

Te formule su najteže zapamtiti. za volumen lopte izgleda ovako:

V = 4/3 π * r ³ .

U problemima se često postavlja pitanje kako izračunati volumen sfernog segmenta - dio kugle koja je, kako je bilo, izrezana paralelno s promjerom. U tom slučaju, spašava se sljedeća formula:

V = π h ² * (r - h / 3). U njemu, za h, uzima se visina segmenta, odnosno dio koji ide uzduž radijusa lopte.

Sektor je podijeljen u dva dijela: konus i segment lopte. Stoga se njegov volumen definira kao zbroj tih tijela. Formula nakon transformacije izgleda ovako:

V = 2/3 πr ² * h. Ovdje je h također visina segmenta.

Primjeri zadataka

Volumeni cilindra, lopte i konusa

Stanje: promjer cilindra (1 tijelo) jednak je njegovoj visini, promjeru kuglice (2 tijela) i visini stožca (3 tijela); provjeriti proporcionalnost volumena V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1

Odluka. Prvo, morate napisati tri formule za volumene. Zatim uzmite u obzir da je polumjer pola promjera. To znači da će visina biti jednaka dva radijusa: h = 2r. Nakon jednostavne zamjene, ispada da će formule za volumene izgledati ovako:

V ₁ = 2 π r ³ ; V ₃ = 2/3 π r ³ . Formula za volumen lopte se ne mijenja, jer se u njoj visina ne pojavljuje.

Sada ostaje pisanje odnosa volumena i smanjenje 2π i r3. Ispada da je V ₁ : V ₂ : V ₃ = 1: 2/3: 1/3. Ovi brojevi lako vode do zapisa 3: 2: 1.

Odgovor je. V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1.

O glasnoći lopte

Stanje: postoje dvije lubenice radijusa 15 i 20 cm; Koji je najpovoljniji način da ih pojedete: prva četiri ili drugi od njih?

Odluka. Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate pronaći omjer volumena komada koji će dobiti od svake lubenice. Uzimajući u obzir da su to loptice, morate napisati dvije formule za svezak. Zatim uzmite u obzir da će od prvog dobiti samo četvrti dio, a od drugog - osmi.

Ostaje da se zabilježi omjer volumena dijelova. Izgledat će ovako:

(V ₁ : 4) / (V ₂ : 8) = (1/3 π r ₁ ³ ) / (1/6 π r ₂ ³ ). Nakon pretvorbe ostaje samo frakcija: (2 r ₁ ³ ) / r ₂ ³ . Nakon zamjene vrijednosti i proračuna dobivena je frakcija 6750/8000. Iz nje je jasno da će dio iz prve lubenice biti manji nego iz drugog.

Odgovor je. Isplativije je jesti osmi dio lubenice u radijusu od 20 cm.

O volumenu piramide i kocke

Stanje: tu je piramida od gline s pravokutnom podlogom 8x9 cm i visinom od 9 cm; iz istog su gline napravili kocku; Kakav je njegov rub?

Odluka. Ako označimo strane pravokutnika slovima ui sa, onda se površina baze piramide računa kao njihov proizvod. Zatim formulu za njen volumen:

V ₁ = 1/3 * sunce * h.

Formula za volumen kocke napisana je u gornjem članku. Ove dvije vrijednosti su jednake: V ₁ = V ₂ . Ostaje ravnati se s desnim stranama formula i izvesti potrebne izračune. Ispada da je rub kocke jednak 6 cm.

Odgovor je. a = 6 cm

O volumenu paralelepipeda

Stanje: potrebno je izraditi kutiju kapaciteta 0,96 m ³ , poznatu širinu i dužinu - 1,2 i 0,8 metara; Koja bi trebala biti njegova visina?

Odluka. Budući da je baza paralelopipeda pravokutnik, njegovo područje je definirano kao produkt duljine (a) i širine (c). Stoga formula za volumen izgleda ovako:

V = a * c * n.

Iz nje je lako odrediti visinu dijeljenjem glasnoće s područjem. Ispada da visina treba biti jednaka 1 m.

Odgovor je. Visina kutije je jedan metar.