Regresijska jednadžba Jednadžba višestruke regresije

Tijekom studija učenici se često susreću s različitim jednadžbama. Jedan od njih - regresijska jednadžba - razmatra se u ovom članku. Ovaj tip jednadžbe koristi se specifično za opisivanje karakteristika odnosa između matematičkih parametara. Ova vrsta jednakosti koristi se u statistici i ekonometriji.

Definicija regresije

U matematici, regresija se odnosi na određenu vrijednost koja opisuje ovisnost prosječne vrijednosti ukupnosti podataka od vrijednosti druge vrijednosti. Regresijska jednadžba pokazuje prosječnu vrijednost drugog atributa kao funkciju određenog atributa. Regresijska funkcija ima oblik jednostavne jednadžbe y = x, u kojoj je y zavisna varijabla, a x je neovisna (znakovni faktor). U stvari, regresija je izražena kao y = f (x).

Koje su vrste odnosa između varijabli?

Općenito, ističu se dvije suprotne vrste međusobnog povezivanja: korelacija i regresija.

Prvi karakterizira jednakost uvjetnih varijabli. U ovom slučaju nije pouzdano poznato koja varijabla ovisi o drugoj.

Ako ne postoji jednakost između varijabli i u uvjetima se kaže koja varijabla objašnjava i koja je ovisna, tada se može govoriti o prisutnosti drugog tipa veze. Kako bi se konstruirala jednadžba linearne regresije, bit će potrebno odrediti koji je tip odnosa uočen.

Vrste regresija

Do danas postoji 7 različitih tipova regresije: hiperbolički, linearni, višestruki, nelinearni, parni, inverzni, logaritamski linearni.

Hiperbolička, linearna i logaritamska

Linearna jednadžba Regresije se koriste u statistici kako bi se jasno objasnili parametri jednadžbe. Izgleda da je y = c + t * x + e. Hiperbolička jednadžba ima oblik regularne hiperbole: y = c + t / x + E. Logaritamski linearna jednadžba izražava odnos korištenjem logaritamske funkcije: U y = In c + t * In x + In E.

Množinski i nelinearni

Dva složenija tipa regresije višestruka su i nelinearna. Jednadžba višestruke regresije izražena je funkcijom y = f (x ₁ , x ₂ ... x _c ) + E. U ovoj situaciji y je zavisna varijabla, a x je eksplanatorna varijabla. Varijabla E je stohastička, ona uključuje utjecaj drugih čimbenika u jednadžbi. Jednadžba nelinearne regresije je pomalo kontradiktorna. S jedne strane, s obzirom na uzete u obzir pokazatelje, on nije linearan, nego, s druge strane, u ulozi ocjenjivanja pokazatelja, on je linearan.

Obrnuti i upareni tipovi regresija

Inverzna je vrsta funkcije koja se treba pretvoriti u linearni oblik. U najtradicionalnijim aplikacijskim programima ona ima oblik funkcije y = 1 / s + t * x + E. Jednadžba regresije u parovima pokazuje odnos između podataka kao funkcije y = f (x) + E. Kao i kod drugih jednadžbi, y ovisi o x, a E je stohastički parametar.

Pojam korelacije

To je pokazatelj koji pokazuje postojanje odnosa između dvije pojave ili procesa. Snaga odnosa izražava se kao koeficijent korelacije. Njegova vrijednost fluktuira unutar intervala [-1; +1]. Negativan pokazatelj ukazuje na prisutnost povratnih informacija, a pozitivan na izravnu. Ako koeficijent uzima vrijednost 0, onda nema veze. Što je vrijednost bliža 1, to je jača veza između parametara, što je bliža 0, to je slabija.

metode

Korelacijski parametarski postupci mogu procijeniti bliskost odnosa. Oni se koriste na temelju procjene raspodjele za proučavanje parametara koji poštuju zakon normalne distribucije.

Parametri jednadžbe linearne regresije potrebni su za identifikaciju vrste ovisnosti, funkcije regresijske jednadžbe i ocjenu pokazatelja odabrane formule za međusobnu povezanost. Polje korelacije koristi se kao metoda identifikacije komunikacije. Da biste to učinili, svi postojeći podaci moraju biti prikazani grafički. U pravokutnom dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu potrebno je primijeniti sve poznate podatke. To čini polje korelacije. Vrijednost opisujućeg faktora označena je duž osi apscise, dok su vrijednosti ovisnog faktora označene duž osi ordinate. Ako postoji funkcionalni odnos između parametara, oni su raspoređeni u obliku linije.

Ako je koeficijent korelacije takvih podataka manji od 30%, može se govoriti o gotovo potpunoj odsutnosti komunikacije. Ako je između 30% i 70%, to ukazuje na prisutnost veza srednje čvrstoće. 100% pokazatelj - dokaz funkcionalne komunikacije.

Nelinearna regresijska jednadžba, kao i linearna, mora se nadopuniti korelacijskim indeksom (R).

Korelacija višestruke regresije

Koeficijent određivanja je pokazatelj kvadrata višestruke korelacije. Govori o bliskosti odnosa prikazanog skupa pokazatelja s ispitivanom osobinom. On također može govoriti o prirodi utjecaja parametara na rezultat. Jednadžba višestruke regresije procjenjuje se pomoću ovog pokazatelja.

Za izračun indeksa višestruke korelacije potrebno je izračunati indeks.

Metoda najmanjih kvadrata

Ova metoda je metoda za procjenu faktora regresije. Njegova suština je u minimiziranju zbroja odstupanja kvadrata, dobivenih zbog ovisnosti faktora o funkciji.

Jednadžba linearne regresije u paru može se procijeniti pomoću ove metode. Ova se vrsta jednadžbi koristi u slučaju detekcije između pokazatelja linearnog odnosa u paru.

Parametri jednadžbi

Svaki parametar funkcije linearne regresije ima specifično značenje. Jednadžba uparene linearne regresije sadrži dva parametra: s i m. Parametar t prikazuje prosječnu promjenu konačnog pokazatelja funkcije y, uz uvjet smanjenja (povećanja) varijable x za jednu konvencionalnu jedinicu. Ako je varijabla x jednaka nuli, tada je funkcija jednaka parametru c. Ako varijabla x nije nula, tada faktor c nema ekonomski smisao. Jedini utjecaj na funkciju ima znak ispred faktora c. Ako postoji minus, onda možemo reći o sporoj promjeni rezultata u odnosu na faktor. Ako postoji plus, onda to ukazuje na ubrzanu promjenu rezultata.

Svaki parametar koji mijenja vrijednost regresijske jednadžbe može se izraziti kroz jednadžbu. Na primjer, faktor c ima oblik c = y - mx.

Grupirani podaci

Postoje takvi uvjeti problema u kojima su sve informacije grupirane na temelju x, ali u isto vrijeme za određenu skupinu označene su odgovarajuće srednje vrijednosti zavisnog pokazatelja. U ovom slučaju, prosječne vrijednosti opisuju kako se indeks, ovisno o x, mijenja. Dakle, grupirane informacije pomažu pronaći regresijsku jednadžbu. Koristi se kao analiza odnosa. Međutim, ova metoda ima svoje nedostatke. Nažalost, prosječni pokazatelji često su izloženi vanjskim fluktuacijama. Ove oscilacije nisu odraz uzorka odnosa, one samo prikrivaju njegovu “buku”. Prosjeci pokazuju da su obrasci odnosa mnogo gori od jednadžbe linearne regresije. Međutim, mogu se koristiti kao osnova za pronalaženje jednadžbe. Množenjem snage jedne populacije s odgovarajućim prosjekom, možete dobiti iznos y unutar grupe. Zatim morate poravnati sve primljene iznose i pronaći konačni pokazatelj. Nešto teže izračunati sa sumom xy. U tom slučaju, ako su intervali mali, uvjetno možete uzeti isti indikator x za sve jedinice (unutar grupe). Potrebno ga je pomnožiti sa sumom y, kako bi se izračunao zbroj proizvoda x po y. Nadalje, sve količine se zbrajaju i dobije se ukupna količina xy.

Višestruka regresijska jednadžba u paru: procjena važnosti komunikacije

Kao što je već spomenuto, višestruka regresija ima funkciju oblika y = f (x ₁ , x ₂ , ..., x _m ) + E. Najčešće se takva jednadžba koristi za rješavanje problema ponude i potražnje proizvoda, kamatnih prihoda na otkupljenim dionicama, proučavanja uzroka i vrste funkcije proizvodnih troškova. Također se aktivno koristi u raznim makroekonomskim istraživanjima i izračunima, ali na mikroekonomskoj razini takva se jednadžba koristi malo manje.

Glavni zadatak višestruke regresije je izgraditi podatkovni model koji sadrži ogroman količina informacija kako bi se dodatno odredio utjecaj svakog od faktora odvojeno i na njihovu ukupnost na indikator koji će se modelirati i njegove koeficijente. Regresijska jednadžba može poprimiti širok raspon vrijednosti. Istodobno se za procjenu interkonekcije obično koriste dvije vrste funkcija: linearne i nelinearne.

Linearna funkcija je predstavljena u obliku takvog međuodnosa: y = a ₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ , + ... + a _m x _m . U isto vrijeme, _a2, a _m , smatraju se "čistim" koeficijentima regresije. Oni su nužni za karakterizaciju prosječne promjene parametra y s promjenom (smanjenjem ili povećanjem) u svakom odgovarajućem parametru x za jednu jedinicu, uz uvjet stabilne vrijednosti drugih pokazatelja.

Nelinearne jednadžbe imaju, na primjer, oblik funkcije snage y = ax ₁ ^b1 x ₂ ^b2 ... x _m ^bm . U ovom slučaju, nazivaju se indikatori b ₁ , b ₂ ..... b _m - koeficijenti elastičnosti oni pokazuju kako se rezultat mijenja (koliko%) s povećanjem (smanjenjem) odgovarajućeg indikatora x za 1% i sa stabilnim pokazateljem preostalih čimbenika.

Koje čimbenike treba uzeti u obzir pri izgradnji višestruke regresije

Da bi se ispravno konstruirala višestruka regresija, potrebno je utvrditi koje čimbenike treba posvetiti posebnu pozornost.

Potrebno je imati određeno razumijevanje prirode odnosa ekonomskih faktora i modeliranog. Čimbenici koji trebaju biti uključeni moraju odgovarati sljedećim kriterijima:

• Treba biti predmetom kvantifikacije. Da bi se koristio faktor koji opisuje kvalitetu objekta, u svakom slučaju, treba mu dati kvantitativni oblik.
• Ne bi trebalo postojati međusobna povezanost čimbenika ili funkcionalni odnos. Takve akcije najčešće dovode do nepovratnih posljedica - sustav običnih jednadžbi postaje bezuvjetan, a to podrazumijeva njegovu nepouzdanost i neodređenost procjena.
• U slučaju postojanja velikog korelacijskog pokazatelja, ne postoji način da se odredi izolirani utjecaj čimbenika na konačni rezultat pokazatelja, stoga koeficijenti postaju neinterpretirani.

Metode izgradnje

Postoji veliki broj metoda i metoda koje objašnjavaju kako odabrati faktore za jednadžbu. Međutim, sve ove metode temelje se na odabiru koeficijenata pomoću indeksa korelacije. Među njima su:

• Metoda eliminacije.
• Metoda uključivanja.
• Korak-po-korak regresijska analiza.

Prva metoda uključuje uklanjanje svih koeficijenata iz kumulativnog skupa. Druga metoda uključuje uvođenje mnogih dodatnih čimbenika. I treći je eliminacija čimbenika koji su se ranije koristili za jednadžbu. Svaka od ovih metoda ima pravo postojanja. Oni imaju svoje prednosti i mane, ali mogu riješiti pitanje uklanjanja nepotrebnih pokazatelja na svoj način. U pravilu, rezultati dobiveni svakom pojedinačnom metodom su prilično bliski.

Metode multivarijatne analize

Takve metode određivanja čimbenika temelje se na razmatranju pojedinačnih kombinacija međusobno povezanih značajki. Oni uključuju diskriminantnu analizu, prepoznavanje lica, način na koji su glavne komponente i klaster analiza. Osim toga, tu je i faktorska analiza međutim, pojavio se zbog razvoja komponente metode. Sve se koriste u određenim okolnostima, pod određenim uvjetima i čimbenicima.