Vrste trokuta. Kutovi trokuta

Najjednostavniji poligon koji se proučava u školi je trokut. Studenti su razumljiviji i susreću se s manje poteškoća. Unatoč činjenici da postoje različite vrste trokuta, koji imaju posebna svojstva.

Koji oblik se naziva trokut?

Formirana je od tri točke i segmenata. Prvi se naziva vrhovima, a druga strana. Štoviše, sva tri segmenta trebaju biti spojena u obliku kutova između njih. Otuda i ime figure "trokut".

Razlike u nazivima uglova

Budući da mogu biti oštri, tupi i ravni, tipovi trokuta određeni su tim imenima. Prema tome, postoje tri skupine takvih brojki.

• Prvi. Ako su svi kutovi trokuta akutni, tada će imati naziv akutnog kuta. Sve je logično.

• Drugi. Jedan od uglova je tup, što znači trokutasti kut. Jednostavno nema mjesta.

• Treći. Postoji kut od 90 stupnjeva, koji se naziva ravan. Trokut postaje pravokutan.

Razlike u imenima sa strane

Ovisno o značajkama strana, razlikuju se ove vrste trokuta:

• opći slučaj je svestran, u kojem sve strane imaju proizvoljnu duljinu;

• jednakokračne, čije dvije strane imaju iste numeričke vrijednosti;

• jednakostranice, duljine svih njegovih strana su iste.

Ako zadatak ne specificira određenu vrstu trokuta, tada morate nacrtati proizvoljnu. U kojem su svi kutovi oštri, a stranice imaju različite duljine.

Svojstva koja su zajednička svim trokutima

1. Ako zbrojite sve kutove trokuta, dobivate broj jednak 180º. I bez obzira na to kako izgleda. Ovo pravilo je uvijek važeće.
2. Numerička vrijednost bilo koje strane trokuta je manja od druge dvije dodane zajedno. U isto vrijeme, to je više od njihove razlike.
3. Svaki vanjski kut ima vrijednost koja se dobiva dodavanjem dva unutarnja, a ne susjedna. Štoviše, ona je uvijek više od unutarnjeg susjeda.
4. Nasuprot manjoj strani trokuta uvijek je najmanji kut. I obrnuto, ako je strana velika, kut će biti najveći.

Ta svojstva su uvijek valjana, bez obzira na vrstu trokuta koji se razmatraju u problemima. Svi ostali slijede određene značajke.

Svojstva jednakostraničnog trokuta

• Kutovi koji se nalaze uz bazu jednaki su.
• Visina koja se drži do baze također je medijana i simetrala.
• Visine, medije i simetrale koje su izgrađene na stranama trokuta su jednake jedna drugoj.

Svojstva jednakostraničnog trokuta

Ako postoji takva figura, tada će sva gore opisana svojstva biti istinita. Jer jednakostraničan će uvijek biti jednakokračan. Ali ne obratno, jednakokračan trokut ne mora nužno biti jednakostraničan.

• Svi njegovi kutovi su jednaki i imaju vrijednost od 60º.
• Svaki medijan jednakostraničnog trokuta je njegova visina i simetrala. I svi su jednaki jedni drugima. Da bi odredili njihove vrijednosti, postoji formula koja se sastoji od proizvoda stranke kvadratni korijen od 3 podijeljeno s 2.

Svojstva pravokutnog trokuta

• Dva akutna kuta daju ukupnu vrijednost od 90 °.
• Duljina hipotenuze je uvijek veća od duljine bilo koje noge.
• Numerička vrijednost medijana provedena na hipotenuzu je polovica.
• Ista vrijednost jednaka je nozi, ako se nalazi nasuprot kutu od 30º.
• Visina, koja se izvlači s vrha s vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku ovisnost o nogama: 1 / n ² = 1 / a ² + 1 / u ² . Ovdje: a, c - noge, n - visina.

Zadaci s različitim tipovima trokuta

№1. Daje se jednakokračan trokut. Njegov je perimetar poznat i iznosi 90 cm, potrebno je znati njegove strane. Kao dodatni uvjet: strana je manja od baze za 1,2 puta.

odluka

Vrijednost perimetra izravno ovisi o vrijednostima koje je potrebno pronaći. Zbroj svih triju strana dat će 90 cm, a sada se moramo sjetiti znaka trokuta, u kojem je jednakokračan. To jest, dvije strane su jednake. Možete napraviti jednadžbu s dvije nepoznanice: 2a + b = 90. Ovdje je a strana, u - baza.

To je redak dodatnog uvjeta. Nakon toga dobiva se druga jednadžba: v = 1,2a. Ovaj izraz možete zamijeniti u prvom. Ispada: 2a + 1.2a = 90. Nakon transformacija: 3.2a = 90. Odavde a = 28.125 (cm). Sada je lako pronaći osnovu. To se najbolje postiže iz drugog uvjeta: c = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Za provjeru možete dodati tri vrijednosti: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). Tako je.

Odgovor: strane trokuta su 28.125 cm, 28.125 cm, 33.75 cm.

№2. Strana jednakostraničnog trokuta je 12 cm, a potrebno je izračunati njegovu visinu.

Odluka. Za traženje odgovora dovoljno je vratiti se na mjesto gdje su opisana svojstva trokuta. To je formula za pronalaženje visine, medijana i simetrala jednakostraničnog trokuta.

n = a * /3 / 2, gdje je n visina i a strana.

Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 (3 (cm).

Ovu formulu ne treba pamtiti. Dovoljno je podsjetiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štoviše, ispostavilo se da je to noga, a hipotenuza u njoj je strana izvornika, druga noga je pola poznate strane. Sada morate napisati Pitagorin teorem i izvesti formulu za visinu.

Odgovor: visina je 6 cm 3 cm.

№3. Navedeni su MKR - trokut, 90 stupnjeva u kojem se izvodi kut K. Stranice MR i KR su poznate, jednake su 30 odnosno 15 cm. Potrebno je utvrditi vrijednost kuta R.

Odluka. Ako napravite crtež, postaje jasno da je MR hipotenuza. I to je dvostruko više od KR. Ponovno se trebate pozvati na svojstva. Jedan od njih je povezan s uglovima. Iz njega je jasno da je kut CMR-a jednak 30º. Stoga će željeni kut P biti jednak 60º. To slijedi iz drugog svojstva koje navodi da bi zbroj dvaju akutnih kutova trebao biti 90º.

Odgovor: P kut je 60º.

№4. Morate pronaći sve kutove jednakokračnog trokuta. O njemu je poznato da je vanjski kut iz kuta kod baze 110º.

Odluka. Budući da je dan samo vanjski kut, to treba koristiti. Ona se oblikuje s unutarnjim kut otklopljen. Tako će ukupno dati 180º. To znači da će kut na bazi trokuta biti jednak 70º. Budući da je jednakokračan, drugi kut ima isto značenje. Ostaje izračunati treći kut. Prema svojstvu zajedničkom za sve trokute, zbroj kutova je 180º. Dakle, treći je definiran kao 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: kutovi su 70º, 70º, 40º.

№5. Poznato je da je u jednakokračnom trokutu kut koji leži nasuprot podnožju 90º. Na temelju označene točke. Segment koji ga povezuje pravim kutom dijeli ga u omjeru od 1 do 4. Morate znati sve kutove manjeg trokuta.

Odluka. Jedan od uglova se može odmah prepoznati. kao pravokutni trokut i jednakokračne, tada će one koje leže u bazi biti na 45º, to jest na 90º / 2.

Drugi od njih pomoći će u pronalaženju poznatog u odnosu uvjeta. Budući da je jednak 1 do 4, tada se dobivaju samo dijelovi na koje se dijeli. Stoga, da bi se otkrio manji kut trokuta, potrebno je 90º / 5 = 18º. Ostaje naučiti treće. Da biste to učinili, od 180º (zbroj svih kutova trokuta), oduzmite 45º i 18º. Izračuni su jednostavni i ispada: 117º.

Odgovor: 18º, 45º, 117º