Vektor. Što je vektor?

Takav se pojam kao vektor razmatra u gotovo svim prirodnim znanostima i može imati potpuno različita značenja, stoga je nemoguće dati jedinstvenu definiciju vektora za sva područja. Ali pokušajmo to shvatiti. Dakle, što je vektor?

Pojam vektora u klasičnoj geometriji

Vektor u geometriji je segment za koji je naznačeno koja je od njegovih točaka početak, a koji je kraj. Drugim riječima, vektor je usmjereni segment.

U skladu s tim, vektor je označen (što se smatra gore navedenim), kao i segment, to jest, dva velikim slovima Latinska abeceda s crticom ili strelicom prema gore s desne strane. Također ga možete potpisati malim slovom latinice s crticom ili strelicom. Strelica je uvijek usmjerena udesno i ne mijenja se ovisno o mjestu vektora.

Dakle, vektor ima smjer i duljinu.

Oznaka vektora sadrži njegov smjer. To je izraženo kao na donjoj slici.

Promjena smjera mijenja vrijednost vektora u suprotno.

Duljina vektora je duljina segmenta iz kojeg se formira. Označava se kao modul vektora. To je prikazano na sljedećoj slici.

Prema tome, nula je vektor čija je duljina nula. Iz toga slijedi da je nulti vektor točka, au njoj se podudaraju točke početka i kraja.

Duljina vektora - vrijednost uvijek nije negativna. Drugim riječima, ako postoji segment, onda on nužno ima određenu duljinu ili točku, a njezina je duljina jednaka nuli.

Koncept točke je osnovan i nema definicije.

Vektorski dodatak

Postoje posebne formule i pravila za vektore s kojima možete dodati.

Pravilo trokuta. za vektorski dodaci prema ovom pravilu, dovoljno je kombinirati kraj prvog vektora i početak drugog, dok se koristi paralelni prijevod, te ih povezati. Dobiveni treći vektor bit će jednak dodatku druga dva.

Pravilo paralelograma. Za dodavanje prema ovom pravilu, potrebno je izvući oba vektora iz jedne točke, a zatim izvući još jedan vektor od kraja svakog. To jest, drugi će biti izvučen iz prvog vektora, a prvi iz drugog. Rezultat je nova točka presijecanja i formira se paralelogram. Ako kombiniramo sjecište početaka i kraja vektora, tada će rezultirajući vektor biti rezultat zbrajanja.

Slično tome, moguće je izvršiti i oduzeti.

Vektorska razlika

Slično vektorskom dodatku, moguće ih je oduzeti. Temelji se na načelu prikazanom na donjoj slici.

To jest, dovoljno je prikazati oduzeti vektor u obliku vektora, suprotno od njega, i napraviti izračun prema principima zbrajanja.

Također, apsolutno bilo koji ne-nulti vektor može se pomnožiti s bilo kojim brojem k, što će promijeniti njegovu dužinu k puta.

Osim ovih, postoje i druge formule vektora (na primjer, izraziti duljinu vektora kroz njegove koordinate).

Položaj vektora

Sigurno je da su mnogi bili suočeni s takvim konceptom kao kolinearni vektor. Što je kolinearnost?

Kolinearnost vektora ekvivalentna je paralelnim linijama. Ako dva vektora leže na pravim linijama koje su paralelne jedna drugoj, ili na jednoj pravoj liniji, tada se takvi vektori nazivaju kolinearni.

Smjer. S obzirom na međusobno, kolinearni vektori mogu biti su-usmjereni ili suprotni, što je određeno smjerom vektora. Prema tome, ako je vektor su-usmjeren s drugim, tada je vektor suprotan njemu suprotan.

Prva slika prikazuje dva suprotno usmjerena vektora i treći, koji im nije kolinearan.

Nakon uvođenja gore navedenih svojstava moguće je dati definiciju i jednake vektore - to su vektori koji su usmjereni u istom smjeru i imaju istu duljinu segmenata iz kojih se formiraju.

U mnogim znanostima koristi se i koncept vektora radijusa. Takav vektor opisuje položaj jedne točke ravnine u odnosu na drugu fiksnu točku (često je to izvorište).

Vektori u fizici

Pretpostavimo da je pri rješavanju problema nastalo stanje: tijelo se kreće brzinom od 3 m / s. To znači da se tijelo kreće s određenim smjerom u jednoj pravoj liniji, tako da će ova varijabla biti vektorska vrijednost. Za rješenje je važno znati i vrijednost i smjer, jer ovisno o razmatranju brzina može biti jednaka 3 m / s i -3 m / s.

Općenito, vektor u fizici se koristi za označavanje smjera sile koja djeluje na tijelo i za određivanje rezultanta.

Kada su te sile prikazane na slici, one su označene strelicama s potpisom vektora iznad njega. Klasično, dužina strelice je jednako važna, uz pomoć nje ukazuju na to koja sila djeluje snažnije, ali ova strana svojstva nije vrijedna oslanjanja na nju.

Vektor u linearnoj algebri i matematičkoj analizi

Elementi linearnih prostora nazivaju se i vektori, ali u ovom slučaju oni su uređeni sustav brojeva koji opisuju neke od elemenata. Stoga smjer u ovom slučaju više nema nikakvu važnost. Vektorska definicija u klasičnoj geometriji i u matematička analiza uvelike se razlikuju.

Projekcijski vektori

Projekcijski vektor - što je to?

Vrlo često, za točan i praktičan izračun, potrebno je proširiti vektor u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom prostoru, duž osi koordinata. Ova operacija je potrebna, na primjer, u mehanici pri izračunavanju sila koje djeluju na tijelo. Vektor u fizici često se koristi.

Za projiciranje dovoljno je spustiti okomice od početka i kraja vektora na svaku od koordinatnih osi, a dobiveni segmenti nazvat će se projekcijom vektora na os.

Za izračunavanje duljine projekcije dovoljno je početnu duljinu pomnožiti s određenom trigonometrijskom funkcijom, koja se dobiva rješavanjem mini-problema. U biti, postoji pravokutni trokut u kojoj je hipotenuza izvorni vektor, jedna od nogu je projekcija, a druga je spuštena okomita.